6.8 자전거 모델(Bicycle Model)
자전거 모델(Bicycle Model)은 4륜 차량의 좌우 바퀴를 각각 하나의 가상 바퀴로 축약하여 차량의 평면 운동을 기술하는 단순화 모델이다. 이 모델은 계산 효율성과 물리적 충실도 사이의 적절한 균형을 제공하며, 자율주행 제어기의 설계와 분석에서 가장 널리 사용되는 차량 모델이다. 본 절에서는 자전거 모델의 기본 가정, 운동학적 자전거 모델과 동역학적 자전거 모델의 수학적 정식화, 선형화, 그리고 적용 범위와 한계를 기술한다.
1. 자전거 모델의 기본 가정
자전거 모델은 다음과 같은 가정에 기반한다.
- 좌우 바퀴 축약: 동일 축의 좌측 바퀴와 우측 바퀴를 축의 중심선 상에 위치한 단일 바퀴로 축약한다. 이 가정은 좌우 바퀴의 수직 하중이 동일하고, 좌우 타이어의 특성이 대칭인 경우에 유효하다.
- 평면 운동: 차량의 운동을 수평 평면 내의 종방향 병진, 횡방향 병진, 요잉(yawing) 회전의 3자유도로 제한한다. 롤, 피치, 수직 방향 운동은 무시한다.
- 강체 가정: 차체는 변형이 없는 강체(rigid body)로 취급한다.
- 소조향각 가정: 일부 정식화에서는 조향각이 작다고 가정하여(\cos\delta_f \approx 1, \sin\delta_f \approx \delta_f) 수식을 단순화한다.
2. 운동학적 자전거 모델(Kinematic Bicycle Model)
운동학적 자전거 모델은 타이어에 작용하는 힘을 고려하지 않고, 타이어가 구르는 방향으로만 이동한다는 무슬립 조건(no-slip condition)에 기반하여 차량의 운동을 기술한다.
2.1 기하학적 유도
차량의 후축 중심을 기준점으로 설정하면, 운동학적 자전거 모델의 상태 방정식은 다음과 같이 유도된다.
\dot{X}_r = v_r \cos(\psi)
\dot{Y}_r = v_r \sin(\psi)
\dot{\psi} = \frac{v_r \tan(\delta_f)}{L}
여기서 (X_r, Y_r)는 후축 중심의 전역 좌표, v_r은 후축 중심의 속도, \psi는 방향각, \delta_f는 전륜 조향각, L = l_f + l_r은 축거(wheelbase)이다.
2.2 무게 중심 기준 정식화
무게 중심(CG)을 기준점으로 설정하면, 차체 슬립각 \beta를 도입하여 다음과 같이 표현된다.
\dot{X} = v \cos(\psi + \beta)
\dot{Y} = v \sin(\psi + \beta)
\dot{\psi} = \frac{v \cos(\beta) \tan(\delta_f)}{L}
\beta = \arctan\left(\frac{l_r \tan(\delta_f)}{L}\right)
여기서 v는 CG에서의 속도, \beta는 CG에서의 차체 슬립각이다. 차체 슬립각 \beta는 CG의 속도 벡터와 차량의 종축 사이의 각도를 나타내며, 후륜 구동 차량에서 후축 중심을 기준으로 하면 \beta = 0이 된다.
2.3 곡률과 회전 반경
운동학적 자전거 모델에서 차량의 순간 회전 반경(instantaneous turning radius) R과 경로의 곡률(curvature) \kappa는 다음과 같이 산출된다.
R = \frac{L}{\tan(\delta_f)}
\kappa = \frac{1}{R} = \frac{\tan(\delta_f)}{L}
이 관계는 Ackermann 기하학(Ackermann geometry)에 기반한 것으로, 저속 주행에서의 차량 회전 거동을 정확히 기술한다.
3. 동역학적 자전거 모델(Dynamic Bicycle Model)
동역학적 자전거 모델은 뉴턴의 운동 법칙에 기반하여 타이어가 발생시키는 힘을 명시적으로 고려한다. 고속 주행에서 타이어의 슬립이 무시할 수 없을 때 필수적인 모델이다.
3.1 운동 방정식
차체 좌표계에서의 동역학적 자전거 모델의 운동 방정식은 다음과 같다.
횡방향 병진:
m(\dot{v}_y + v_x \dot{\psi}) = F_{yf} + F_{yr}
요잉 회전:
I_z \ddot{\psi} = l_f F_{yf} - l_r F_{yr}
여기서 m은 차량 질량, I_z는 요축 관성 모멘트, v_x는 종방향 속도, v_y는 횡방향 속도, \dot{\psi}는 요레이트, F_{yf}와 F_{yr}은 각각 전륜과 후륜의 횡방향 타이어 힘이다.
이 정식화에서는 소조향각 가정(\cos\delta_f \approx 1)을 적용하였으며, 종방향 속도 v_x는 일정하다고 가정하여 종방향 운동 방정식을 분리하였다.
3.2 타이어 슬립각
전륜과 후륜의 타이어 슬립각은 다음과 같이 정의된다.
\alpha_f = \delta_f - \arctan\left(\frac{v_y + l_f \dot{\psi}}{v_x}\right) \approx \delta_f - \frac{v_y + l_f \dot{\psi}}{v_x}
\alpha_r = -\arctan\left(\frac{v_y - l_r \dot{\psi}}{v_x}\right) \approx -\frac{v_y - l_r \dot{\psi}}{v_x}
소각도 근사를 적용한 형태(우변)는 선형 분석에 사용된다.
3.3 선형 타이어 모델 적용
선형 타이어 모델 F_{yf} = -C_{\alpha f} \alpha_f, F_{yr} = -C_{\alpha r} \alpha_r을 적용하면, 동역학적 자전거 모델은 다음의 선형 상태 공간 형태로 표현된다.
\begin{bmatrix} \dot{v}_y \\ \ddot{\psi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{C_{\alpha f} + C_{\alpha r}}{m v_x} & -v_x - \frac{l_f C_{\alpha f} - l_r C_{\alpha r}}{m v_x} \\ -\frac{l_f C_{\alpha f} - l_r C_{\alpha r}}{I_z v_x} & -\frac{l_f^2 C_{\alpha f} + l_r^2 C_{\alpha r}}{I_z v_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_y \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{C_{\alpha f}}{m} \\ \frac{l_f C_{\alpha f}}{I_z} \end{bmatrix} \delta_f
이 선형 모델은 \dot{\mathbf{x}} = A \mathbf{x} + B \mathbf{u}의 표준 상태 공간 형태에 해당하며, LQR 설계, 선형 MPC, 안정성 분석 등에 직접 활용된다.
4. 정상 상태 분석(Steady-State Analysis)
선형 동역학적 자전거 모델의 정상 상태 응답을 분석하면, 차량의 조향 특성을 정량적으로 파악할 수 있다. 일정 속도 v_x에서 일정 조향각 \delta_f를 인가한 정상 원선회(steady-state circular motion) 조건에서, 정상 상태 요레이트 이득(steady-state yaw rate gain)은 다음과 같다.
\frac{\dot{\psi}_{ss}}{\delta_f} = \frac{v_x / L}{1 + K_{us} v_x^2}
여기서 K_{us}는 언더스티어 구배(understeer gradient)로, 다음과 같이 정의된다.
K_{us} = \frac{m}{L} \left(\frac{l_r}{C_{\alpha f}} - \frac{l_f}{C_{\alpha r}}\right)
언더스티어 구배의 부호에 따라 차량의 조향 특성이 결정된다.
| K_{us} 값 | 조향 특성 | 물리적 의미 |
|---|---|---|
| K_{us} > 0 | 언더스티어(Understeer) | 전륜 슬립각 > 후륜 슬립각, 회전 반경 증가 |
| K_{us} = 0 | 중립 조향(Neutral Steer) | 전륜 슬립각 = 후륜 슬립각 |
| K_{us} < 0 | 오버스티어(Oversteer) | 전륜 슬립각 < 후륜 슬립각, 회전 반경 감소 |
언더스티어 차량(K_{us} > 0)은 고속에서 안정적인 거동을 보이므로, 대부분의 양산 차량은 언더스티어 특성을 갖도록 설계된다.
오버스티어 차량(K_{us} < 0)에서는 임계 속도(critical speed) v_{cr} = \sqrt{-1/K_{us}}가 존재하며, 이 속도 이상에서는 요잉 운동이 불안정해진다.
5. 오차 동역학 모델(Error Dynamics Model)
경로 추종 제어기 설계를 위해서는 참조 경로에 대한 오차 동역학을 유도하는 것이 유용하다. 횡방향 위치 오차 e_{lat}과 방향각 오차 e_\psi를 상태 변수로 하는 오차 동역학 모델은 다음과 같다.
\dot{e}_{lat} = v_y + v_x e_\psi
\dot{e}_\psi = \dot{\psi} - \dot{\psi}^{ref}
여기서 \dot{\psi}^{ref} = v_x \kappa^{ref}는 참조 경로의 곡률 \kappa^{ref}에 의한 참조 요레이트이다.
이를 동역학적 자전거 모델과 결합하면, 4차 상태 벡터 \mathbf{x} = [e_{lat}, \; \dot{e}_{lat}, \; e_\psi, \; \dot{e}_\psi]^T를 가지는 선형 시스템을 구성할 수 있으며, 이는 LQR 및 MPC 기반 횡방향 제어기의 설계 기반이 된다.
6. 이산 시간 자전거 모델
디지털 제어 시스템에서의 적용을 위하여 연속 시간 자전거 모델을 이산 시간(discrete-time)으로 변환해야 한다. 전방 오일러(forward Euler) 방법을 적용하면 다음과 같다.
\mathbf{x}_{k+1} = (I + A T_s) \mathbf{x}_k + B T_s \, \mathbf{u}_k = A_d \mathbf{x}_k + B_d \mathbf{u}_k
여기서 T_s는 샘플링 주기, A_d = I + A T_s, B_d = B T_s이다. 보다 정확한 이산화를 위해서는 행렬 지수 함수(matrix exponential)를 이용한 정확 이산화(exact discretization)가 사용된다.
A_d = e^{A T_s}, \quad B_d = \int_0^{T_s} e^{A \tau} B \, d\tau
7. 자전거 모델의 적용 범위와 한계
자전거 모델은 자율주행 제어에서 광범위하게 활용되지만, 다음과 같은 한계가 존재한다.
| 한계 사항 | 설명 |
|---|---|
| 좌우 하중 이동 미반영 | 좌우 바퀴를 통합하였으므로, 선회 시 좌우 하중 이동에 의한 타이어 특성 변화를 반영할 수 없다 |
| 롤 동역학 미반영 | 롤 운동을 무시하므로, 롤에 의한 하중 이동과 캠버(camber) 변화를 고려하지 못한다 |
| 대슬립 조건 부적합 | 선형 타이어 모델을 사용하는 경우, 타이어 포화 영역에서의 거동을 정확히 기술할 수 없다 |
| 저속 특이점 | 동역학적 모델에서 v_x가 분모에 위치하므로, v_x \to 0에서 수치적 특이점이 발생한다 |
저속 특이점 문제를 해결하기 위하여 속도가 임계값 이하로 감소하면 운동학적 모델로 전환하거나, 분모에 소량의 정규화 항(regularization term) \epsilon을 추가하는 방법(v_x + \epsilon)이 사용된다.
이러한 한계에도 불구하고, 자전거 모델은 제어기 설계의 핵심 모델로서 자율주행 산업과 학계에서 표준적으로 사용되고 있다.
참고문헌
- Rajamani, R. (2012). Vehicle Dynamics and Control (2nd ed.). Springer.
- Kong, J., Pfeiffer, M., Schildbach, G., & Borrelli, F. (2015). Kinematic and Dynamic Vehicle Models for Autonomous Driving Control Design. IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV), 1094–1099.
- Gillespie, T. D. (1992). Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE International.
- Polack, P., Altché, F., d’Andréa-Novel, B., & de La Fortelle, A. (2017). The Kinematic Bicycle Model: A Consistent Model for Planning Feasible Trajectories for Autonomous Vehicles? IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV), 812–818.
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