6.7 차량 동역학 모델(Vehicle Dynamics Model)

차량 동역학 모델(Vehicle Dynamics Model)은 차량의 물리적 운동을 수학적으로 기술하는 모델로, 자율주행 제어기의 설계와 검증에서 핵심적인 역할을 수행한다. 제어기의 성능은 사용하는 차량 모델의 정확도에 직접적으로 의존하며, 적용 조건에 적합한 모델의 선택이 제어 시스템 설계의 첫 번째 단계이다. 본 절에서는 차량 동역학 모델의 분류 체계, 각 모델의 수학적 정식화, 타이어 역학 모델, 그리고 자율주행 제어에서의 모델 선택 기준을 기술한다.

1. 차량 동역학 모델의 분류

차량 동역학 모델은 고려하는 물리적 현상의 범위와 복잡도에 따라 다양한 수준으로 분류된다.

2. 좌표계 정의

차량 동역학을 기술하기 위하여 두 가지 좌표계가 사용된다.

2.1 전역 좌표계(Global Frame)

전역 좌표계 (X, Y, Z)는 지면에 고정된 관성 좌표계(inertial frame)이다. 차량의 절대 위치와 방향을 이 좌표계에서 기술한다.

2.2 차체 좌표계(Body Frame)

차체 좌표계 (x, y, z)는 차량의 무게 중심(center of gravity, CG)에 원점을 두고 차량과 함께 이동하는 좌표계이다. x축은 차량의 전진 방향(종방향), y축은 좌측 방향(횡방향), z축은 수직 상방을 가리킨다. 이 좌표계에서 차량의 속도 성분을 v_x(종방향 속도)와 v_y(횡방향 속도)로 표현한다.

전역 좌표계와 차체 좌표계 사이의 관계는 방향각(yaw angle) \psi를 통한 회전 변환으로 기술된다.

\begin{bmatrix} \dot{X} \\ \dot{Y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi \\ \sin\psi & \cos\psi \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}

3. 운동학적 모델(Kinematic Model)

운동학적 모델은 타이어에 작용하는 힘을 고려하지 않고, 순수하게 기하학적 구속 조건만으로 차량의 운동을 기술한다. 이 모델은 타이어의 슬립이 무시할 수 있을 정도로 작은 저속 주행 조건에서 유효하다.

운동학적 모델의 가정은 다음과 같다.

• 타이어는 구르는 방향으로만 움직인다(슬립 없음, no-slip condition).
• 차량은 강체(rigid body)이다.
• 조향 입력에 대한 기하학적 관계만이 운동을 결정한다.

운동학적 자전거 모델의 운동 방정식은 다음과 같다.

\dot{X} = v \cos(\psi + \beta)

\dot{Y} = v \sin(\psi + \beta)

\dot{\psi} = \frac{v}{l_r} \sin(\beta)

\beta = \arctan\left(\frac{l_r}{l_f + l_r} \tan(\delta_f)\right)

여기서 v는 차량의 속력, \psi는 방향각, \beta는 차체 슬립각(body slip angle), l_f와 l_r은 각각 무게 중심에서 전축과 후축까지의 거리, \delta_f는 전륜 조향각이다.

4. 동역학적 모델(Dynamic Model)

동역학적 모델은 뉴턴의 운동 법칙에 기반하여 차량에 작용하는 힘과 모멘트를 명시적으로 고려한다. 고속 주행, 급격한 기동, 미끄러운 노면 등 타이어 슬립이 무시할 수 없는 조건에서 필수적이다.

4.1 평면 운동 모델(Planar Motion Model)

평면 운동 모델은 차량의 종방향 병진, 횡방향 병진, 요잉(yawing) 회전의 3자유도를 고려한다. 차체 좌표계에서의 운동 방정식은 다음과 같다.

종방향 운동:

m(\dot{v}_x - v_y \dot{\psi}) = F_{xf} \cos(\delta_f) - F_{yf} \sin(\delta_f) + F_{xr} - F_{aero} - F_{roll}

횡방향 운동:

m(\dot{v}_y + v_x \dot{\psi}) = F_{xf} \sin(\delta_f) + F_{yf} \cos(\delta_f) + F_{yr}

요잉 운동:

I_z \ddot{\psi} = l_f \left[ F_{xf} \sin(\delta_f) + F_{yf} \cos(\delta_f) \right] - l_r F_{yr}

여기서 각 변수의 의미는 다음과 같다.

운동 방정식에서 v_y \dot{\psi}와 v_x \dot{\psi} 항은 각각 원심력(centripetal force)에 의한 관성 효과를 나타내며, 회전 좌표계에서 뉴턴 법칙을 적용할 때 필연적으로 발생하는 코리올리(Coriolis) 항이다.

5. 타이어 역학 모델

차량 동역학 모델에서 타이어가 발생시키는 힘은 차량의 거동을 결정하는 가장 중요한 요소이다. 타이어 힘은 타이어의 슬립 상태에 의하여 결정된다.

5.1 타이어 슬립각(Tire Slip Angle)

타이어 슬립각 \alpha는 타이어의 진행 방향과 타이어가 향하고 있는 방향 사이의 각도 차이이다. 전륜과 후륜의 슬립각은 다음과 같이 산출된다.

\alpha_f = \delta_f - \arctan\left(\frac{v_y + l_f \dot{\psi}}{v_x}\right)

\alpha_r = -\arctan\left(\frac{v_y - l_r \dot{\psi}}{v_x}\right)

5.2 선형 타이어 모델

소슬립각 영역(\lvert \alpha \rvert < 5° 정도)에서는 타이어의 횡력이 슬립각에 비례하는 선형 관계를 가진다.

F_y = -C_\alpha \cdot \alpha

여기서 C_\alpha는 코너링 강성(cornering stiffness) [N/rad]으로, 타이어의 횡력 발생 능력을 나타내는 핵심 파라미터이다. 음의 부호는 슬립각이 양의 방향일 때 횡력이 슬립을 억제하는 방향(음의 방향)으로 작용함을 나타낸다.

선형 타이어 모델은 일반적인 주행 조건에서 충분한 정확도를 제공하며, LQR이나 선형 MPC 등의 선형 제어기 설계에 필수적으로 사용된다.

5.3 Pacejka Magic Formula 타이어 모델

대슬립각 영역에서는 타이어 횡력과 슬립각의 관계가 비선형이 되며, 포화(saturation) 현상이 나타난다. Pacejka(2012)가 제안한 Magic Formula는 실험 데이터를 정확하게 근사할 수 있는 반경험적(semi-empirical) 모델로, 다음과 같은 형태를 가진다.

F_y = D \sin\left(C \arctan\left(B \alpha - E(B \alpha - \arctan(B \alpha))\right)\right)

여기서 각 계수의 의미는 다음과 같다.

코너링 강성은 C_\alpha = B \cdot C \cdot D로 표현된다. Magic Formula는 종방향 힘과 자기 정렬 토크(self-aligning torque)에도 동일한 형태로 적용할 수 있으며, 결합 슬립(combined slip) 조건에서의 타이어 거동 기술을 위한 확장 공식도 존재한다.

6. 하중 이동(Load Transfer)

차량이 가속, 감속, 또는 선회할 때 관성력에 의하여 각 바퀴에 작용하는 수직 하중(normal load)이 변화한다. 이 현상을 하중 이동이라 한다.

6.1 종방향 하중 이동

가감속 시 전후 바퀴의 수직 하중 변화는 다음과 같다.

\Delta F_{z,long} = \frac{m a_x h_{cg}}{L}

여기서 a_x는 종방향 가속도, h_{cg}는 무게 중심의 높이, L = l_f + l_r은 축거이다. 가속 시(a_x > 0) 후륜의 하중이 증가하고, 감속 시(a_x < 0) 전륜의 하중이 증가한다.

6.2 횡방향 하중 이동

선회 시 좌우 바퀴의 수직 하중 변화는 다음과 같다.

\Delta F_{z,lat} = \frac{m a_y h_{cg}}{t_w}

여기서 a_y는 횡방향 가속도, t_w는 윤거(track width)이다.

하중 이동은 타이어의 횡력 발생 능력에 직접적으로 영향을 미친다. 타이어의 코너링 강성과 최대 횡력은 수직 하중에 의존하며, 일반적으로 수직 하중이 증가하면 최대 횡력은 증가하지만, 단위 하중당 횡력(normalized lateral force)은 감소한다. 이러한 비선형 특성은 차량의 언더스티어(understeer)와 오버스티어(oversteer) 특성에 영향을 미친다.

7. 확장 동역학 모델

기본적인 3-DOF 평면 모델을 넘어서, 더 높은 정확도가 요구되는 경우 추가적인 자유도를 포함하는 확장 모델이 사용된다.

7.1 롤 동역학(Roll Dynamics)

차량의 롤 운동은 선회 시 차체의 기울어짐을 기술하며, 다음의 운동 방정식으로 표현된다.

I_{xx} \ddot{\phi} + c_\phi \dot{\phi} + k_\phi \phi = m_s h_r (a_y + g \sin\phi)

여기서 I_{xx}는 롤축 관성 모멘트, \phi는 롤각, c_\phi는 롤 감쇠 계수, k_\phi는 롤 강성, m_s는 스프링 상 질량(sprung mass), h_r은 롤 중심 위의 CG 높이이다.

롤 동역학은 하중 이동의 동적 특성을 기술하는 데 필요하며, 차량 안정성 제어(Vehicle Stability Control, VSC)에서 중요한 역할을 한다.

7.2 피치 동역학(Pitch Dynamics)

피치 운동은 가감속 시 차체의 앞뒤 기울어짐을 기술한다. 급제동 시의 노즈 다이브(nose dive)와 급가속 시의 스쿼트(squat) 현상이 이에 해당한다.

8. 모델 파라미터 식별

차량 동역학 모델의 정확도는 모델 파라미터의 정확한 식별(identification)에 의존한다. 주요 파라미터와 식별 방법은 다음과 같다.

모델 파라미터는 적재 하중, 타이어 마모, 노면 조건 등에 따라 변화할 수 있으므로, 온라인 파라미터 추정(online parameter estimation) 기법을 적용하여 실시간으로 파라미터를 갱신하는 접근법이 연구되고 있다.

9. 자율주행 제어에서의 모델 선택 기준

자율주행 제어기 설계에서 적절한 차량 모델을 선택하기 위한 주요 기준은 다음과 같다.

실용적인 자율주행 시스템에서는 속도 영역에 따라 운동학적 모델과 동역학적 모델을 전환(switching)하여 사용하거나, 전 속도 영역에서 동역학적 모델을 사용하되 저속 영역에서의 수치적 특이점(singularity)을 별도로 처리하는 방식이 채택된다.

참고문헌

• Rajamani, R. (2012). Vehicle Dynamics and Control (2nd ed.). Springer.
• Pacejka, H. B. (2012). Tire and Vehicle Dynamics (3rd ed.). Butterworth-Heinemann.
• Gillespie, T. D. (1992). Fundamentals of Vehicle Dynamics. SAE International.
• Kong, J., Pfeiffer, M., Schildbach, G., & Borrelli, F. (2015). Kinematic and Dynamic Vehicle Models for Autonomous Driving Control Design. IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV), 1094–1099.
• Jazar, R. N. (2014). Vehicle Dynamics: Theory and Application (2nd ed.). Springer.

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