11.6 so(3) 리 대수와 반대칭 행렬
1. \mathfrak{so}(3)의 정의와 의미
\mathfrak{so}(3)은 3차원 회전군 SO(3)의 리 대수이며, 항등 회전 근방에서의 무한소 회전을 표현한다. 형식적으로는 3 \times 3 반대칭 행렬의 집합으로 정의되며, 이는 SO(3)의 항등원에서의 접선 공간이다. \mathfrak{so}(3)의 원소는 각속도와 직접 연결되며, 회전 운동의 무한소 형태를 표현하는 핵심 도구이다. 본 절에서는 \mathfrak{so}(3)의 구조, 성질, 그리고 반대칭 행렬과의 일대일 대응 관계를 체계적으로 다룬다.
2. 반대칭 행렬
2.1 정의
n \times n 행렬 \mathbf{A}가 다음을 만족할 때 반대칭(skew-symmetric, antisymmetric) 행렬이라 한다.
\mathbf{A}^T = -\mathbf{A}
성분으로 표현하면 a_{ij} = -a_{ji}이며, 특히 대각 원소들은 모두 0이다.
2.2 차원 반대칭 행렬
3 \times 3 반대칭 행렬은 다음의 일반 형태를 가진다.
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}0 & -a & b \\ a & 0 & -c \\ -b & c & 0\end{bmatrix}
여기서 독립적인 매개변수가 3개(a, b, c)이다. 따라서 3차원 반대칭 행렬의 공간은 3차원 선형 공간이다.
2.3 반대칭 행렬의 성질
반대칭 행렬은 다음의 중요한 성질을 가진다.
- 대각 원소가 모두 0이다.
- 트레이스가 0이다: \mathrm{tr}(\mathbf{A}) = 0
- 행렬식이 0이다(홀수 차원의 경우): \det(\mathbf{A}) = 0
- 고유값이 모두 순허수 또는 0이다.
- 두 반대칭 행렬의 합도 반대칭이다.
- 반대칭 행렬의 스칼라 배도 반대칭이다.
3. \mathfrak{so}(3)의 정의
3.1 형식적 정의
\mathfrak{so}(3) = \{\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} : \mathbf{A}^T = -\mathbf{A}\}
이는 3차원 반대칭 행렬의 집합이며, 동시에 SO(3)의 리 대수이다.
3.2 차원
\mathfrak{so}(3)의 차원은 3이다. 이는 SO(3)의 차원과 일치한다.
3.3 선형 공간 구조
\mathfrak{so}(3)은 자연스럽게 선형 공간(벡터 공간)의 구조를 가진다.
- 덧셈: 두 반대칭 행렬의 합은 반대칭이다.
- 스칼라 곱: 반대칭 행렬의 스칼라 배는 반대칭이다.
- 영원: 영 행렬이 영원이다.
- 역원: -\mathbf{A}가 \mathbf{A}의 가산 역원이다.
4. 표준 기저
4.1 기저 행렬
\mathfrak{so}(3)의 표준 기저는 세 개의 반대칭 행렬로 구성된다.
\mathbf{E}_x = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{E}_y = \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{E}_z = \begin{bmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
이 세 행렬은 각각 x, y, z 축 주위의 무한소 회전에 해당한다.
4.2 일반 원소의 표현
임의의 \mathfrak{so}(3)의 원소는 기저 행렬의 선형 결합으로 표현된다.
\mathbf{A} = \omega_x\mathbf{E}_x + \omega_y\mathbf{E}_y + \omega_z\mathbf{E}_z
이는 명시적으로 다음과 같다.
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{bmatrix}
여기서 (\omega_x, \omega_y, \omega_z)가 \mathfrak{so}(3)의 원소의 좌표이다.
5. 벡터와 행렬 사이의 일대일 대응
5.1 해트(Hat) 사상
3차원 벡터에서 반대칭 행렬로의 사상을 해트 사상이라 하며, 다음과 같이 정의된다.
[\cdot]_\times : \mathbb{R}^3 \to \mathfrak{so}(3)
[\boldsymbol{\omega}]_\times = \begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{bmatrix}
다른 표기법으로 \boldsymbol{\omega}^\wedge나 \hat{\boldsymbol{\omega}}도 사용된다.
5.2 베(Vee) 사상
해트 사상의 역인 베(vee) 사상은 반대칭 행렬에서 벡터로 사상한다.
(\cdot)^\vee : \mathfrak{so}(3) \to \mathbb{R}^3
\begin{bmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{bmatrix}^\vee = \begin{bmatrix}\omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z\end{bmatrix}
5.3 동형사상
해트와 베 사상은 서로의 역이며, \mathbb{R}^3과 \mathfrak{so}(3) 사이의 선형 동형사상을 제공한다.
([\boldsymbol{\omega}]_\times)^\vee = \boldsymbol{\omega}, \quad [(\boldsymbol{\omega})^\vee]_\times = \boldsymbol{\omega}
6. 외적과의 관계
6.1 외적의 행렬 표현
벡터의 외적은 반대칭 행렬을 사용하여 다음과 같이 표현된다.
\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} = [\boldsymbol{\omega}]_\times\mathbf{v}
이 식은 매우 유용하며, 외적을 행렬 곱으로 변환하는 데 사용된다.
6.2 외적의 성질
외적의 성질이 반대칭 행렬의 성질로 변환된다.
| 외적 성질 | 반대칭 행렬 표현 |
|---|---|
| \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v} = -\mathbf{v} \times \boldsymbol{\omega} | [\boldsymbol{\omega}]_\times\mathbf{v} = -[\mathbf{v}]_\times\boldsymbol{\omega} |
| \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\omega} = \mathbf{0} | [\boldsymbol{\omega}]_\times\boldsymbol{\omega} = \mathbf{0} |
| 야코비 항등식 | \mathfrak{so}(3)의 야코비 항등식 |
6.3 이중 외적
이중 외적(BAC-CAB 공식)은 다음과 같다.
\boldsymbol{\omega}_1 \times (\boldsymbol{\omega}_2 \times \mathbf{v}) = (\boldsymbol{\omega}_1 \cdot \mathbf{v})\boldsymbol{\omega}_2 - (\boldsymbol{\omega}_1 \cdot \boldsymbol{\omega}_2)\mathbf{v}
이는 행렬 형태로
[\boldsymbol{\omega}_1]_\times[\boldsymbol{\omega}_2]_\times\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}_2(\boldsymbol{\omega}_1^T\mathbf{v}) - (\boldsymbol{\omega}_1^T\boldsymbol{\omega}_2)\mathbf{v}
7. \mathfrak{so}(3)의 리 괄호
7.1 행렬 교환자
\mathfrak{so}(3)의 리 괄호는 행렬 교환자로 정의된다.
[\mathbf{A}, \mathbf{B}] = \mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A}
두 반대칭 행렬의 교환자가 반대칭임을 확인할 수 있다.
7.2 외적과의 일치
벡터 표현에서 리 괄호는 외적과 일치한다.
[[\boldsymbol{\omega}_1]_\times, [\boldsymbol{\omega}_2]_\times] = [\boldsymbol{\omega}_1 \times \boldsymbol{\omega}_2]_\times
따라서
[\boldsymbol{\omega}_1, \boldsymbol{\omega}_2]_{\mathfrak{so}(3)} = \boldsymbol{\omega}_1 \times \boldsymbol{\omega}_2
이는 \mathfrak{so}(3)이 외적을 리 괄호로 갖는 리 대수임을 보여준다.
7.3 기저 행렬의 교환자
표준 기저 행렬들의 교환자는 다음과 같다.
[\mathbf{E}_x, \mathbf{E}_y] = \mathbf{E}_z, \quad [\mathbf{E}_y, \mathbf{E}_z] = \mathbf{E}_x, \quad [\mathbf{E}_z, \mathbf{E}_x] = \mathbf{E}_y
이는 표준 기저 벡터의 외적과 일치한다.
\hat{\mathbf{e}}_x \times \hat{\mathbf{e}}_y = \hat{\mathbf{e}}_z, \quad \hat{\mathbf{e}}_y \times \hat{\mathbf{e}}_z = \hat{\mathbf{e}}_x, \quad \hat{\mathbf{e}}_z \times \hat{\mathbf{e}}_x = \hat{\mathbf{e}}_y
7.4 야코비 항등식
리 괄호는 야코비 항등식을 만족한다.
[\boldsymbol{\omega}_1, [\boldsymbol{\omega}_2, \boldsymbol{\omega}_3]] + [\boldsymbol{\omega}_2, [\boldsymbol{\omega}_3, \boldsymbol{\omega}_1]] + [\boldsymbol{\omega}_3, [\boldsymbol{\omega}_1, \boldsymbol{\omega}_2]] = 0
이는 외적의 야코비 항등식과 일치한다.
8. 반대칭 행렬의 거듭제곱
8.1 단위 노름 벡터에 대한 결과
단위 벡터 \hat{\mathbf{u}}에 대해 다음의 항등식이 성립한다.
[\hat{\mathbf{u}}]_\times^2 = \hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}}^T - \mathbf{I}
[\hat{\mathbf{u}}]_\times^3 = -[\hat{\mathbf{u}}]_\times
이러한 항등식은 행렬 지수의 닫힌 형태를 유도하는 데 사용된다.
8.2 일반 벡터에 대한 결과
일반 벡터 \boldsymbol{\omega}에 대해서는 노름 \theta = \lVert\boldsymbol{\omega}\rVert를 사용하여
[\boldsymbol{\omega}]_\times^2 = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\omega}^T - \theta^2\mathbf{I}
[\boldsymbol{\omega}]_\times^3 = -\theta^2[\boldsymbol{\omega}]_\times
이 결과들은 로드리게스 공식의 유도에 활용된다.
9. 행렬 지수와 로드리게스 공식
9.1 행렬 지수
\mathfrak{so}(3)의 원소 [\boldsymbol{\omega}]_\times의 행렬 지수는 다음과 같이 정의된다.
\exp([\boldsymbol{\omega}]_\times) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{[\boldsymbol{\omega}]_\times^k}{k!}
9.2 닫힌 형태 (로드리게스 공식)
위의 거듭제곱 항등식을 이용하여 닫힌 형태가 유도된다.
\exp([\boldsymbol{\omega}]_\times) = \mathbf{I} + \frac{\sin\theta}{\theta}[\boldsymbol{\omega}]_\times + \frac{1 - \cos\theta}{\theta^2}[\boldsymbol{\omega}]_\times^2
여기서 \theta = \lVert\boldsymbol{\omega}\rVert이다. 이것이 로드리게스 공식이며, \mathfrak{so}(3)에서 SO(3)으로의 지수 사상의 명시적 형태이다.
9.3 단위 벡터로의 표현
\boldsymbol{\omega} = \theta\hat{\mathbf{u}}로 표현하면
\exp([\theta\hat{\mathbf{u}}]_\times) = \mathbf{I} + \sin\theta[\hat{\mathbf{u}}]_\times + (1 - \cos\theta)[\hat{\mathbf{u}}]_\times^2
이는 단위 축 \hat{\mathbf{u}} 주위의 \theta 회전을 나타내는 회전 행렬이다.
10. 회전 운동학과의 관계
10.1 회전 행렬의 시간 미분
회전 행렬 \mathbf{R}(t)의 시간 미분은 다음과 같이 표현된다.
\dot{\mathbf{R}}(t) = \mathbf{R}(t)[\boldsymbol{\omega}_b]_\times = [\boldsymbol{\omega}_s]_\times\mathbf{R}(t)
여기서 \boldsymbol{\omega}_b는 본체 각속도, \boldsymbol{\omega}_s는 공간 각속도이다. 두 표현은 좌측 곱과 우측 곱의 차이이다.
10.2 두 각속도의 관계
본체와 공간 각속도는 회전 행렬을 통해 변환된다.
\boldsymbol{\omega}_s = \mathbf{R}\boldsymbol{\omega}_b
이러한 관계는 좌표계 변환의 일반적 패턴이다.
10.3 미분 방정식
회전 행렬의 운동학은 다음의 행렬 미분 방정식으로 표현된다.
\dot{\mathbf{R}}(t) = \mathbf{R}(t)[\boldsymbol{\omega}_b(t)]_\times
이 방정식의 해가 회전의 시간 진화이다.
11. 무한소 회전
11.1 작은 각도 근사
작은 각도 \theta에 대해 회전 행렬은 다음과 같이 근사된다.
\exp([\theta\hat{\mathbf{u}}]_\times) \approx \mathbf{I} + \theta[\hat{\mathbf{u}}]_\times = \mathbf{I} + [\boldsymbol{\omega}]_\times
여기서 \boldsymbol{\omega} = \theta\hat{\mathbf{u}}이다. 이는 1차 근사이며, 각속도와 시간 간격의 곱이 매우 작을 때 유효하다.
11.2 무한소 회전의 가환성
서로 다른 축 주위의 무한소 회전은 거의 가환적이다. 즉, 1차 근사 수준에서
\exp([\boldsymbol{\omega}_1]_\times)\exp([\boldsymbol{\omega}_2]_\times) \approx \exp([\boldsymbol{\omega}_1 + \boldsymbol{\omega}_2]_\times)
다만 정확한 계산에서는 BCH 공식의 더 높은 차수 항이 필요하다.
12. \mathfrak{so}(3)과 외적 대수
12.1 외적 대수로서의 \mathfrak{so}(3)
\mathfrak{so}(3)은 외적을 리 괄호로 갖는 3차원 실수 리 대수이며, 외적 대수와 동치이다. 이는 매우 자연스러운 대수적 구조이다.
12.2 단순 리 대수
\mathfrak{so}(3)은 단순 리 대수(simple Lie algebra)이며, 비자명한 정규 부분 대수가 없다. 이는 \mathfrak{so}(3)의 분류에서 중요한 사실이다.
12.3 컴팩트 형태
\mathfrak{so}(3)은 컴팩트 리 대수이다. 컴팩트 리 군 SO(3)의 리 대수이기 때문이다.
13. \mathfrak{su}(2)와의 동형
13.1 \mathfrak{su}(2)의 정의
SU(2)의 리 대수는 트레이스가 0인 2 \times 2 반에르미트 행렬의 집합이다.
\mathfrak{su}(2) = \{X \in \mathbb{C}^{2 \times 2} : X^* = -X, \mathrm{tr}(X) = 0\}
차원은 3이다.
13.2 두 리 대수의 동형
\mathfrak{so}(3)과 \mathfrak{su}(2)는 동형 리 대수이다.
\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)
이는 두 리 대수가 동일한 대수적 구조를 가짐을 의미한다.
13.3 파울리 행렬
\mathfrak{su}(2)의 표준 기저는 파울리 행렬과 관련이 있다.
\sigma_x = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}
\mathfrak{su}(2)의 기저는 -i\sigma_k/2이다.
13.4 동형사상의 의미
두 리 대수의 동형은 단위 쿼터니언이 회전을 표현할 수 있음의 대수적 기반이다. 다만 리 군 수준에서는 SU(2)가 SO(3)의 이중 덮개이다.
14. 응용에서의 활용
14.1 자세 추정
자세 추정 알고리즘에서 자세 오차가 \mathfrak{so}(3)의 원소(작은 회전 벡터)로 표현된다. 곱셈 확장 칼만 필터와 오차 상태 칼만 필터의 핵심 개념이다.
14.2 운동학
매니퓰레이터의 회전 관절은 \mathfrak{so}(3)의 원소(스크류 축)로 표현된다. 곱지수 공식에서 활용된다.
14.3 동역학
각속도가 \mathfrak{so}(3)의 원소이며, 회전 운동의 시간 미분이 자연스럽게 표현된다.
14.4 비선형 최적화
회전 변수의 최적화에서 \mathfrak{so}(3)의 매개변수화가 사용된다. 작은 회전을 회전 벡터로 표현하여 갱신한다.
14.5 비주얼 SLAM
카메라의 회전이 SO(3)의 원소이지만, 갱신과 미분에서 \mathfrak{so}(3)의 표현이 사용된다.
15. 학습의 가치
\mathfrak{so}(3)을 깊이 이해하는 것은 다음과 같은 이점을 제공한다.
- 회전의 무한소 형태와 유한 형태의 관계를 명확히 한다.
- 각속도와 회전 벡터의 통합적 시각을 제공한다.
- 외적과 리 괄호의 연결을 이해할 수 있다.
- 자세 추정 알고리즘의 깊이 있는 이해가 가능하다.
- 학술 문헌의 표준 표기를 이해할 수 있다.
16. 참고 문헌
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- Stillwell, J. (2008). Naive Lie Theory. Springer.
- Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
- Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
- Sola, J., Deray, J., & Atchuthan, D. (2018). “A Micro Lie Theory for State Estimation in Robotics.” arXiv:1812.01537.
- Selig, J. M. (2005). Geometric Fundamentals of Robotics (2nd ed.). Springer.
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