11.13 리 군의 좌불변 및 우불변 벡터장

1. 벡터장의 개요

리 군 위의 벡터장(vector field)은 각 점에 그 점의 접선 공간의 원소(접선 벡터)를 할당하는 매끄러운 사상이다. 좌불변 벡터장과 우불변 벡터장은 리 군의 특별한 종류의 벡터장이며, 군 연산에 의해 불변이다. 이러한 벡터장은 리 군과 리 대수 사이의 일대일 대응을 제공하며, 리 군 이론의 핵심 개념이다. 본 절에서는 좌불변 벡터장과 우불변 벡터장의 정의, 성질, 그리고 로봇공학에서의 응용을 다룬다.

2. 다양체 위의 벡터장

2.1 정의

다양체 $M$ 위의 벡터장은 매끄러운 사상

$X : M \to TM$

이며, 모든 점 $p \in M$ 에 대해 $X(p) \in T_pM$ 이다. 즉, 각 점에 그 점의 접선 벡터를 할당한다.

2.2 직관적 의미

벡터장은 다양체 위에서의 “흐름“이나 “방향장“으로 직관적으로 이해할 수 있다. 예를 들어 평면 위의 벡터장은 각 점에 그 점에서의 화살표를 할당한다.

2.3 적분 곡선

벡터장의 적분 곡선(integral curve)은 그 벡터장의 흐름을 따라가는 곡선이다. 형식적으로는 곡선 $\gamma : I \to M$ 이 모든 $t$ 에서 $\dot\gamma(t) = X(\gamma(t))$ 를 만족한다.

3. 리 군 위의 벡터장

3.1 매끄러운 벡터장

리 군은 다양체이므로 그 위의 벡터장이 정의된다. 군 구조를 활용하여 특별한 벡터장을 정의할 수 있다.

3.2 군 작용의 활용

리 군의 좌측 곱과 우측 곱은 미분 동형사상이며, 벡터장에 자연스럽게 작용한다. 이러한 작용에 의해 불변인 벡터장이 좌불변 벡터장과 우불변 벡터장이다.

4. 좌불변 벡터장

4.1 정의

리 군 $G$ 위의 벡터장 $X$ 가 다음을 만족하면 좌불변(left-invariant)이라 한다.

$(dL_g)_h X(h) = X(gh), \quad \forall g, h \in G$

여기서 $(dL_g)_h$ 는 좌측 곱 $L_g$ 의 점 $h$ 에서의 미분이다. 이 식은 좌측 곱에 의해 벡터장이 그대로 옮겨짐을 의미한다.

4.2 항등원에서의 값으로 결정됨

좌불변 벡터장은 항등원에서의 값에 의해 완전히 결정된다. 즉, 임의의 $\xi \in T_eG = \mathfrak{g}$ 에 대해 다음의 좌불변 벡터장이 존재한다.

$X^L_\xi(g) = (dL_g)_e\xi$

이로 인해 좌불변 벡터장의 집합과 리 대수 $\mathfrak{g}$ 사이의 일대일 대응이 성립한다.

4.3 행렬 리 군에서의 표현

행렬 리 군에서 좌불변 벡터장은 다음과 같이 표현된다.

$X^L_\xi(g) = g\xi$

여기서 $g$ 는 리 군의 원소(행렬)이고 $\xi$ 는 리 대수의 원소(행렬)이다. 좌측 곱에 의한 표현이다.

5. 우불변 벡터장

5.1 정의

마찬가지로 벡터장 $X$ 가 다음을 만족하면 우불변(right-invariant)이라 한다.

$(dR_g)_h X(h) = X(hg), \quad \forall g, h \in G$

5.2 항등원에서의 값

우불변 벡터장도 항등원에서의 값에 의해 결정된다.

$X^R_\xi(g) = (dR_g)_e\xi$

5.3 행렬 리 군에서의 표현

행렬 리 군에서 우불변 벡터장은

$X^R_\xi(g) = \xi g$

이는 우측 곱에 의한 표현이다.

6. 좌불변과 우불변 벡터장의 관계

6.1 비가환성과의 관계

리 군이 비가환이면 좌불변 벡터장과 우불변 벡터장이 일반적으로 다르다. 가환 리 군에서는 두 종류의 벡터장이 일치한다.

6.2 변환 관계

같은 리 대수 원소 $\xi$ 에 대응하는 좌불변 벡터장과 우불변 벡터장은 수반 표현으로 연결된다.

$X^L_\xi(g) = X^R_{\mathrm{Ad}_g(\xi)}(g)$

이는 좌측과 우측의 차이가 수반 표현에 의해 매개됨을 보여준다.

6.3 한 형태에서 다른 형태로의 변환

한 형태의 벡터장에서 다른 형태로 변환하는 데 수반 표현이 사용된다.

7. 매개 변수 부분 군

7.1 정의

리 군의 1매개 변수 부분 군(one-parameter subgroup)은 매끄러운 사상

$\gamma : \mathbb{R} \to G$

이며 $\gamma(s + t) = \gamma(s)\gamma(t)$ 를 만족하는 군 준동형사상이다. 특히 $\gamma(0) = e$ 이다.

7.2 좌불변 벡터장의 적분 곡선

좌불변 벡터장 $X^L_\xi$ 의 항등원을 지나는 적분 곡선이 정확히 1매개 변수 부분 군이며, 다음과 같이 표현된다.

$\gamma_\xi(t) = \exp(t\xi)$

이러한 관계가 좌불변 벡터장과 지수 사상을 직접 연결한다.

7.3 매개 변수 부분 군과 리 대수

1매개 변수 부분 군은 리 대수의 원소 $\xi$ 에 의해 완전히 결정되며, 리 대수와 1매개 변수 부분 군 사이의 일대일 대응이 성립한다.

8. 리 괄호와 벡터장

8.1 벡터장의 리 괄호

벡터장 사이의 리 괄호는 두 벡터장의 흐름의 비가환성을 측정한다. 두 벡터장 $X$ , $Y$ 의 리 괄호 $[X, Y]$ 는 다음과 같이 정의된다.

$[X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$

여기서 $f$ 는 매끄러운 함수이며, $Xf$ 는 $X$ 방향으로의 미분이다.

8.2 좌불변 벡터장의 리 괄호

두 좌불변 벡터장 $X^L_\xi$ 와 $X^L_\eta$ 의 리 괄호는 다시 좌불변 벡터장이며, 다음과 같이 표현된다.

$[X^L_\xi, X^L_\eta] = X^L_{[\xi, \eta]}$

여기서 $[\xi, \eta]$ 는 리 대수의 리 괄호이다. 이는 벡터장의 리 괄호와 리 대수의 리 괄호가 일치함을 보여준다.

8.3 우불변 벡터장의 리 괄호

우불변 벡터장의 리 괄호는 부호가 반대이다.

$[X^R_\xi, X^R_\eta] = -X^R_{[\xi, \eta]}$

이러한 부호의 차이가 좌측과 우측의 본질적 차이를 표현한다.

9. 좌측 흐름과 우측 흐름

9.1 좌측 흐름

좌불변 벡터장 $X^L_\xi$ 의 적분 흐름은 우측 곱으로 표현된다.

$\Phi^L_t(g) = g\exp(t\xi)$

이는 점 $g$ 에서 시작하여 $t$ 시간 동안 흘렀을 때의 위치이다.

9.2 우측 흐름

우불변 벡터장 $X^R_\xi$ 의 적분 흐름은 좌측 곱으로 표현된다.

$\Phi^R_t(g) = \exp(t\xi)g$

9.3 흐름과 곱의 관계

좌불변 벡터장의 흐름이 우측 곱이고, 우불변 벡터장의 흐름이 좌측 곱이라는 점은 흥미로운 이중성이다. 이는 리 군의 대칭성을 표현한다.

10. 응용 예시: $SO(3)$ 의 벡터장

10.1 좌불변 벡터장

$SO(3)$ 의 좌불변 벡터장은 회전 행렬에 본체 각속도를 곱한 형태이다.

$X^L_{\boldsymbol{\omega}}(\mathbf{R}) = \mathbf{R}[\boldsymbol{\omega}]_\times$

이는 회전 행렬의 시간 미분을 본체 각속도로 표현한 식과 일치한다.

$\dot{\mathbf{R}} = \mathbf{R}[\boldsymbol{\omega}_b]_\times$

10.2 우불변 벡터장

마찬가지로 우불변 벡터장은 공간 각속도와 관련된다.

$X^R_{\boldsymbol{\omega}}(\mathbf{R}) = [\boldsymbol{\omega}]_\times\mathbf{R}$

이는 공간 각속도로 표현한 회전 행렬의 시간 미분이다.

$\dot{\mathbf{R}} = [\boldsymbol{\omega}_s]_\times\mathbf{R}$

10.3 두 표현의 의미

본체 각속도와 공간 각속도는 같은 회전을 다른 좌표계에서 표현한 것이다. 좌불변과 우불변 벡터장이 이 두 표현에 자연스럽게 대응된다.

11. 응용 예시: $SE(3)$ 의 벡터장

11.1 좌불변 벡터장

$SE(3)$ 의 좌불변 벡터장은 본체 트위스트를 표현한다.

$X^L_{\boldsymbol{\xi}}(\mathbf{T}) = \mathbf{T}\hat{\boldsymbol{\xi}}$

이는 강체 변환의 시간 미분을 본체 트위스트로 표현한 식과 일치한다.

$\dot{\mathbf{T}} = \mathbf{T}\hat{\mathcal{V}}_b$

11.2 우불변 벡터장

우불변 벡터장은 공간 트위스트와 관련된다.

$X^R_{\boldsymbol{\xi}}(\mathbf{T}) = \hat{\boldsymbol{\xi}}\mathbf{T}$

$\dot{\mathbf{T}} = \hat{\mathcal{V}}_s\mathbf{T}$

11.3 매니퓰레이터에서의 활용

매니퓰레이터의 운동학에서 본체 트위스트와 공간 트위스트가 모두 사용되며, 응용에 따라 적절한 표현을 선택한다.

12. 좌측 곱과 우측 곱의 선택

12.1 본체 좌표계 vs 공간 좌표계

좌측 곱과 우측 곱의 선택은 본체 좌표계와 공간 좌표계의 선택에 대응된다. 좌측 곱은 본체 좌표계에서의 표현이고, 우측 곱은 공간 좌표계에서의 표현이다.

12.2 응용에 따른 선택

응용에 따라 어느 좌표계가 자연스러운지가 다르다. 예를 들어 매니퓰레이터의 곱지수 공식은 일반적으로 공간 좌표계를 사용하며, 이는 우불변 형태에 대응한다.

12.3 표기의 일관성

문헌마다 좌측과 우측의 표기가 다를 수 있으므로 일관된 표기를 유지하는 것이 중요하다. 본 책에서는 명확히 표기한다.

13. 자코비안과의 연결

13.1 좌측 자코비안

좌측 야코비안 $\mathbf{J}_l$ 은 좌불변 벡터장과 관련된 미분의 행렬 표현이다. 지수 사상의 미분이 좌불변 벡터장의 형태로 자연스럽게 표현된다.

13.2 우측 자코비안

마찬가지로 우측 야코비안 $\mathbf{J}_r$ 은 우불변 벡터장과 관련된다.

13.3 활용

이러한 야코비안은 자세 추정, 비선형 최적화, 매니퓰레이터의 미분 운동학 등에서 사용된다.

14. 운동학과 동역학

14.1 운동학에서의 활용

리 군 위의 운동학은 좌불변 또는 우불변 벡터장의 흐름으로 표현된다. 강체의 운동이 자연스럽게 벡터장의 형태로 기술된다.

14.2 동역학에서의 활용

강체의 운동 방정식에서 좌불변과 우불변 벡터장이 등장한다. 라그랑지안 동역학과 해밀턴 동역학에서 두 표현이 모두 사용된다.

14.3 매니퓰레이터 동역학

매니퓰레이터의 동역학 방정식에서 트위스트와 렌치가 주요 변수이며, 좌불변과 우불변 벡터장의 형태로 표현될 수 있다.

15. 학습의 가치

좌불변 벡터장과 우불변 벡터장을 이해하는 것은 다음과 같은 이점을 제공한다.

리 군과 리 대수의 깊은 연결을 이해할 수 있다.
본체 좌표계와 공간 좌표계의 차이를 명확히 알 수 있다.
자세 추정 알고리즘의 좌측과 우측 갱신을 구분할 수 있다.
매니퓰레이터의 미분 운동학과 동역학의 기초를 형성한다.
리 군 이론의 학술 문헌을 이해하는 데 필수적이다.

16. 응용 예시: 매니퓰레이터의 자코비안

매니퓰레이터의 공간 자코비안과 본체 자코비안은 각각 우불변과 좌불변 벡터장의 표현에 대응한다.

16.1 공간 자코비안

공간 좌표계에서의 매니퓰레이터의 자코비안 $\mathbf{J}_s$ 는 우불변 형태이다.

$\mathcal{V}_s = \mathbf{J}_s(\boldsymbol{\theta})\dot{\boldsymbol{\theta}}$

16.2 본체 자코비안

본체 좌표계에서의 자코비안 $\mathbf{J}_b$ 는 좌불변 형태이다.

$\mathcal{V}_b = \mathbf{J}_b(\boldsymbol{\theta})\dot{\boldsymbol{\theta}}$

16.3 두 자코비안의 변환

두 자코비안 사이의 변환은 수반 표현으로 이루어진다.

$\mathbf{J}_b = [\mathrm{Ad}_{\mathbf{T}_{bs}}]\mathbf{J}_s$

17. 응용 예시: 자세 추정의 갱신

자세 추정 알고리즘의 갱신 단계에서 좌측 곱과 우측 곱의 선택이 결과를 좌우한다.

17.1 우측 곱 갱신 (본체 좌표계 보정)

$\hat{\mathbf{R}}_{k+1} = \hat{\mathbf{R}}_k\exp([\boldsymbol{\delta\omega}_b]_\times)$

이는 본체 좌표계에서의 자세 보정이다.

17.2 좌측 곱 갱신 (공간 좌표계 보정)

$\hat{\mathbf{R}}_{k+1} = \exp([\boldsymbol{\delta\omega}_s]_\times)\hat{\mathbf{R}}_k$

이는 공간 좌표계에서의 자세 보정이다.

17.3 두 표현의 동치

두 표현은 좌표계 변환을 통해 서로 변환될 수 있다.

$\boldsymbol{\delta\omega}_s = \mathbf{R}\boldsymbol{\delta\omega}_b = \mathrm{Ad}_{\mathbf{R}}(\boldsymbol{\delta\omega}_b)$

18. 응용 예시: 시각적 SLAM의 매개변수화

시각적 SLAM의 번들 조정에서 카메라 자세의 매개변수화에 좌측 또는 우측 곱이 선택된다.

18.1 우측 곱 매개변수화

$\mathbf{T}(\boldsymbol{\delta}) = \hat{\mathbf{T}}\exp(\hat{\boldsymbol{\delta}})$

18.2 좌측 곱 매개변수화

$\mathbf{T}(\boldsymbol{\delta}) = \exp(\hat{\boldsymbol{\delta}})\hat{\mathbf{T}}$

각 매개변수화에 대해 야코비안과 갱신 공식이 다르다. 솔버의 구현에 따라 일관된 선택이 필요하다.

19. 참고 문헌

Hall, B. C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction (2nd ed.). Springer.
Lee, J. M. (2012). Introduction to Smooth Manifolds (2nd ed.). Springer.
Warner, F. W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Lynch, K. M., & Park, F. C. (2017). Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control. Cambridge University Press.
Sola, J., Deray, J., & Atchuthan, D. (2018). “A Micro Lie Theory for State Estimation in Robotics.” arXiv:1812.01537.

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