11.12 리 군 위의 미분과 야코비안

1. 미분의 개요

리 군 위의 미분은 일반 유클리드 공간에서의 미분과 다른 특성을 가진다. 리 군이 비선형 다양체이므로, 한 점에서의 미분이 그 점에서의 접선 공간(리 대수)의 원소로 정의된다. 또한 리 군의 비가환성으로 인해 좌측 미분과 우측 미분이라는 두 가지 자연스러운 미분 개념이 존재한다. 이러한 미분과 야코비안의 이해는 자세 추정, 비선형 최적화, 매니퓰레이터 미분 운동학 등 로봇공학의 핵심 알고리즘을 깊이 이해하는 데 필수적이다.

2. 다양체 위의 미분

2.1 함수의 미분

매끄러운 다양체 $M$ 에서 또 다른 매끄러운 다양체 $N$ 으로의 매끄러운 사상 $f : M \to N$ 의 미분은 점별로 정의된다. 점 $p \in M$ 에서의 미분은 다음의 선형 사상이다.

$df_p : T_pM \to T_{f(p)}N$

이 사상은 $p$ 에서의 접선 벡터를 $f(p)$ 에서의 접선 벡터로 매핑한다.

2.2 곡선의 활용

$df_p(v)$ 는 다음과 같이 계산된다. $\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M$ 이 $\gamma(0) = p$ 이고 $\dot\gamma(0) = v$ 인 매끄러운 곡선이면

$df_p(v) = \frac{d}{dt}f(\gamma(t))\bigg|_{t=0}$

이는 곡선이 $f$ 를 통해 사상된 결과의 속도이다.

2.3 좌표 표현

차트를 사용하면 다양체 사이의 사상이 유클리드 공간 사이의 사상으로 표현되며, 그 미분은 일반적인 야코비 행렬이 된다.

3. 리 군 위의 매끄러운 함수

3.1 정의

리 군 $G$ 위의 매끄러운 함수는 다양체 위의 매끄러운 함수와 같은 의미이다. 정의역이 다양체이고 군 구조와 매끄러운 양립을 가질 뿐이다.

3.2 군 연산의 미분

리 군의 곱 연산 $m : G \times G \to G$ 의 미분이 매우 중요하다. 좌측 곱과 우측 곱의 미분은 다음 절에서 자세히 다룬다.

4. 좌측 곱의 미분

4.1 좌측 곱의 정의

리 군 원소 $g \in G$ 에 의한 좌측 곱은 다음과 같이 정의된다.

$L_g : G \to G, \quad L_g(h) = g \cdot h$

이는 $G$ 위의 미분 동형사상이며, 모든 점에서 미분이 정의된다.

4.2 좌측 곱 미분

좌측 곱의 미분 $(dL_g)_h : T_hG \to T_{gh}G$ 가 정의된다. 이 미분은 한 점의 접선 공간을 다른 점의 접선 공간으로 매핑한다.

4.3 항등원에서의 미분

특히 $(dL_g)_e : T_eG = \mathfrak{g} \to T_gG$ 는 리 대수에서 점 $g$ 의 접선 공간으로의 사상이다. 이 사상은 일대일이고 위로의 사상이며, 리 군의 동질성을 표현한다.

4.4 좌측 불변 벡터장

리 군 위의 벡터장 $X$ 가 좌측 곱에 의해 불변일 때 좌측 불변 벡터장이라 한다.

$(dL_g)_h(X_h) = X_{gh}$

좌측 불변 벡터장은 항등원에서의 값에 의해 완전히 결정되며, 이로 인해 리 대수와 좌측 불변 벡터장 사이의 일대일 대응이 성립한다.

5. 우측 곱의 미분

5.1 우측 곱의 정의

마찬가지로 우측 곱은 다음과 같이 정의된다.

$R_g : G \to G, \quad R_g(h) = h \cdot g$

5.2 우측 곱 미분

우측 곱의 미분 $(dR_g)_h : T_hG \to T_{hg}G$ 가 정의된다.

5.3 비가환성과 두 미분의 차이

리 군이 비가환이면 좌측 곱과 우측 곱이 다른 결과를 산출하며, 그 미분도 다르다. 이러한 차이가 좌측 야코비안과 우측 야코비안의 구분을 발생시킨다.

6. 지수 사상의 미분

6.1 미분의 형태

지수 사상 $\exp : \mathfrak{g} \to G$ 의 미분은 다음과 같이 표현된다.

$(d\exp)_X : T_X\mathfrak{g} = \mathfrak{g} \to T_{\exp(X)}G$

이는 리 대수의 점 $X$ 에서의 접선 공간(리 대수 자체)을 리 군의 점 $\exp(X)$ 의 접선 공간으로 사상한다.

6.2 야코비안 행렬

이 미분을 좌측 곱을 통해 항등원의 접선 공간으로 평행 이동하면 행렬로 표현된다. 이 행렬이 좌측 야코비안 또는 우측 야코비안이다.

7. 좌측 야코비안과 우측 야코비안

7.1 좌측 야코비안의 정의

좌측 야코비안 $\mathbf{J}_l$ 은 다음 식을 만족하는 행렬이다.

$\frac{d}{dt}\exp(X(t))\bigg|_{t=0} = (dL_{\exp(X(0))})_e[\mathbf{J}_l(X(0))\dot X(0)]^\wedge$

행렬 형태로 다음과 같이 표현된다.

$\frac{d}{dt}\exp(X + tY)\bigg|_{t=0} = \exp(X)\mathbf{J}_l(X)Y$

(좌측 곱 형태에서)

7.2 우측 야코비안의 정의

우측 야코비안 $\mathbf{J}_r$ 은 우측 곱 형태로 정의된다.

$\frac{d}{dt}\exp(X + tY)\bigg|_{t=0} = \mathbf{J}_r(X)Y\exp(X)$

7.3 $SO(3)$ 의 닫힌 형태

$\mathfrak{so}(3)$ 에서 좌측 야코비안과 우측 야코비안은 다음과 같다.

$\mathbf{J}_l(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{I} + \frac{1 - \cos\theta}{\theta^2}[\boldsymbol{\omega}]_\times + \frac{\theta - \sin\theta}{\theta^3}[\boldsymbol{\omega}]_\times^2$

$\mathbf{J}_r(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{I} - \frac{1 - \cos\theta}{\theta^2}[\boldsymbol{\omega}]_\times + \frac{\theta - \sin\theta}{\theta^3}[\boldsymbol{\omega}]_\times^2$

여기서 $\theta = \lVert\boldsymbol{\omega}\rVert$ 이다.

7.4 두 야코비안의 관계

좌측 야코비안과 우측 야코비안 사이에는 다음의 관계가 있다.

$\mathbf{J}_l(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{J}_r(-\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{J}_r(\boldsymbol{\omega})^T$

또한

$\mathbf{J}_l(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{R}\mathbf{J}_r(\boldsymbol{\omega})$

여기서 $\mathbf{R} = \exp([\boldsymbol{\omega}]_\times)$ 이다. 이러한 관계는 좌측과 우측의 변환에 사용된다.

8. 야코비안의 역

8.1 좌측 야코비안의 역

좌측 야코비안의 역은 로그 사상의 미분에 사용된다.

$\mathbf{J}_l^{-1}(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{I} - \frac{1}{2}[\boldsymbol{\omega}]_\times + \left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{1 + \cos\theta}{2\theta\sin\theta}\right)[\boldsymbol{\omega}]_\times^2$

8.2 우측 야코비안의 역

마찬가지로 우측 야코비안의 역도 정의된다.

$\mathbf{J}_r^{-1}(\boldsymbol{\omega}) = \mathbf{I} + \frac{1}{2}[\boldsymbol{\omega}]_\times + \left(\frac{1}{\theta^2} - \frac{1 + \cos\theta}{2\theta\sin\theta}\right)[\boldsymbol{\omega}]_\times^2$

8.3 활용

야코비안과 그 역은 자세 추정, 비선형 최적화, 자동 미분 등에서 핵심 도구이다.

9. $SE(3)$ 의 야코비안

9.1 좌측 야코비안

$SE(3)$ 의 좌측 야코비안은 $6 \times 6$ 행렬이며, 회전 부분과 병진 부분의 결합 형태이다.

$\mathbf{J}_l(\boldsymbol{\xi}) = \begin{bmatrix}\mathbf{J}_l(\boldsymbol{\omega}) & \mathbf{Q}(\boldsymbol{\xi}) \\ \mathbf{0} & \mathbf{J}_l(\boldsymbol{\omega})\end{bmatrix}$

여기서 $\mathbf{Q}(\boldsymbol{\xi})$ 는 회전과 병진의 결합 항이며, 닫힌 형태가 존재하지만 복잡하다.

9.2 우측 야코비안

마찬가지로 $SE(3)$ 의 우측 야코비안도 정의된다.

9.3 활용

$SE(3)$ 의 야코비안은 강체 변환의 미분 운동학, 시각적 SLAM의 번들 조정, 비선형 최적화 등에서 사용된다.

10. 리 군 위의 함수의 미분

10.1 단일 변수 함수

리 군 위의 실수 값 함수 $f : G \to \mathbb{R}$ 의 미분은 다음과 같이 정의된다.

$\frac{\partial f}{\partial g}\bigg|_{g_0}$

이는 점 $g_0$ 에서의 함수 $f$ 의 변화율이다. 좌측과 우측의 두 가지 자연스러운 정의가 가능하다.

10.2 좌측 미분과 우측 미분

좌측 미분과 우측 미분은 다음과 같이 정의된다.

$\frac{\partial f}{\partial g}\bigg|^L_{g_0}(\delta) = \frac{d}{dt}f(g_0\exp(t\delta))\bigg|_{t=0}$

$\frac{\partial f}{\partial g}\bigg|^R_{g_0}(\delta) = \frac{d}{dt}f(\exp(t\delta)g_0)\bigg|_{t=0}$

여기서 $\delta$ 는 리 대수의 원소이며, 미분의 방향이다.

10.3 두 미분의 관계

좌측 미분과 우측 미분 사이에는 수반 표현을 통한 관계가 있다.

$\frac{\partial f}{\partial g}\bigg|^R_{g_0} = \frac{\partial f}{\partial g}\bigg|^L_{g_0} \cdot \mathrm{Ad}_{g_0}$

이러한 관계는 좌표계 선택의 효과를 표현한다.

11. 합성 함수의 미분

11.1 사상의 합성

두 사상의 합성 $g \circ f : M \to N$ 의 미분은 연쇄 법칙에 의해 두 미분의 합성이다.

$d(g \circ f)_p = dg_{f(p)} \circ df_p$

이는 일반 유클리드 공간에서의 연쇄 법칙과 같다.

11.2 리 군 위의 연쇄 법칙

리 군 위에서도 연쇄 법칙이 적용되며, 야코비안 행렬의 곱으로 표현된다.

12. 자동 미분과 리 군

12.1 자동 미분의 도전

자동 미분은 미분의 자동 계산을 가능하게 하는 도구이지만, 다양체 위의 변수에 대해서는 직접 적용하기 어렵다. 변수가 다양체 위에 머물러야 하기 때문이다.

12.2 리 군 위의 자동 미분

리 군 위의 자동 미분은 일반적으로 다음과 같이 처리된다. 변수의 작은 변화가 리 대수의 원소(접선 벡터)로 매개변수화되며, 비용 함수의 변화를 이 접선 벡터에 대해 미분한다.

12.3 라이브러리 지원

Ceres Solver, GTSAM, Sophus 등의 라이브러리는 리 군 위의 자동 미분을 지원한다.

13. 최적화 문제에의 응용

13.1 자세 변수의 최적화

비선형 최적화에서 자세 변수가 등장하면 다양체 위의 최적화가 필요하다. 일반적인 방법은 명목 자세 주위의 작은 변화로 매개변수화하는 것이다.

$\mathbf{R} = \hat{\mathbf{R}}\exp([\boldsymbol{\delta\omega}]_\times)$

여기서 $\hat{\mathbf{R}}$ 이 명목 자세이고 $\boldsymbol{\delta\omega}$ 가 최적화 변수이다.

13.2 야코비안 계산

비용 함수의 자코비안은 $\boldsymbol{\delta\omega}$ 에 대해 계산되며, 우측 또는 좌측 야코비안이 등장한다.

13.3 갱신

최적화의 한 단계 후 명목 자세가 갱신된다.

$\hat{\mathbf{R}} \leftarrow \hat{\mathbf{R}}\exp([\boldsymbol{\delta\omega}^*]_\times)$

여기서 $\boldsymbol{\delta\omega}^*$ 는 최적 보정이다.

14. 매니퓰레이터 미분 운동학

14.1 자코비안의 정의

매니퓰레이터의 자코비안은 관절 속도를 말단 장치의 트위스트로 매핑하는 행렬이다.

$\mathcal{V} = \mathbf{J}(\boldsymbol{\theta})\dot{\boldsymbol{\theta}}$

이 자코비안의 각 열이 한 관절의 트위스트(스크류 축)이다.

14.2 공간 자코비안과 본체 자코비안

자코비안은 공간 좌표계와 본체 좌표계에서 다르게 표현된다. 두 표현 사이의 변환은 수반 표현으로 이루어진다.

14.3 야코비안 계산

매니퓰레이터의 자코비안은 곱지수 공식의 미분으로 계산된다. 각 관절에 대한 미분이 트위스트의 형태로 나타난다.

15. 자세 추정의 미분

15.1 갱신의 미분

자세 추정 알고리즘의 갱신 단계에서 측정 잔차가 자세 변화에 어떻게 의존하는지를 미분으로 표현해야 한다. 이는 칼만 필터의 측정 모형의 자코비안에 해당한다.

15.2 측정 모형

측정 모형 $h(\mathbf{R})$ 의 자세에 대한 미분은 우측 곱 형태로 다음과 같이 표현된다.

$\frac{\partial h}{\partial\mathbf{R}}(\hat{\mathbf{R}}) = \lim_{\delta \to 0}\frac{h(\hat{\mathbf{R}}\exp([\delta]_\times)) - h(\hat{\mathbf{R}})}{\delta}$

이러한 미분이 칼만 필터의 측정 자코비안을 구성한다.

16. 자동 미분 라이브러리

16.1 Ceres Solver

Ceres Solver는 비선형 최소제곱 최적화 라이브러리이며, 리 군 위의 변수를 매개변수화 클래스를 통해 지원한다.

16.2 GTSAM

GTSAM은 그래프 SLAM 라이브러리이며, 리 군 변수의 자동 미분을 내장한다.

16.3 Sophus

Sophus 라이브러리는 리 군의 야코비안 계산을 지원하며, 자동 미분 라이브러리와 호환된다.

16.4 manif

manif 라이브러리는 리 군의 미분을 명시적으로 표현하며, 다양한 응용에서 활용된다.

17. 학습의 가치

리 군 위의 미분과 야코비안을 깊이 이해하는 것은 다음과 같은 이점을 제공한다.

자세 추정 알고리즘의 핵심 단계를 깊이 이해할 수 있다.
비선형 최적화에서 자세 변수를 정확히 처리할 수 있다.
매니퓰레이터의 미분 운동학을 효율적으로 구현할 수 있다.
시각적 SLAM의 번들 조정의 기초를 형성한다.
학술 문헌의 야코비안 표기를 이해할 수 있다.

18. 응용 예시: 시각적 SLAM의 번들 조정

번들 조정에서 카메라 자세 $\mathbf{T} \in SE(3)$ 가 변수이고, 비용 함수는 측정 잔차의 제곱합이다. 이 비용 함수의 자세에 대한 야코비안을 계산하기 위해서는 리 군 위의 미분이 필요하다.

변수를 $\mathbf{T}\exp(\hat{\boldsymbol{\delta}})$ 로 매개변수화하고 $\boldsymbol{\delta}$ 에 대한 미분을 계산한다. 이 자코비안이 GTSAM, g2o 등의 SLAM 솔버에서 사용된다.

19. 응용 예시: 매니퓰레이터의 역기구학

수치적 역기구학에서 자코비안의 의사역행렬을 사용한 방법이 일반적이다.

$\dot{\boldsymbol{\theta}} = \mathbf{J}^\dagger(\mathcal{V}_d - \mathcal{V}(\boldsymbol{\theta}))$

여기서 $\mathcal{V}_d$ 는 목표 트위스트, $\mathcal{V}(\boldsymbol{\theta})$ 는 현재 트위스트이다. 자세 오차의 트위스트 표현은 로그 사상으로 계산되며, 자코비안의 미분 공식이 활용된다.

20. 응용 예시: 자세 추정의 측정 갱신

자세 추정에서 측정 갱신은 다음과 같다.

$\boldsymbol{\delta\omega} = \mathbf{K}(\mathbf{z} - h(\hat{\mathbf{R}}))$

$\hat{\mathbf{R}} \leftarrow \hat{\mathbf{R}}\exp([\boldsymbol{\delta\omega}]_\times)$

여기서 $\mathbf{K}$ 는 칼만 게인이며, 측정 모형 $h$ 의 자세에 대한 자코비안이 필요하다. 리 군 위의 미분이 이 자코비안 계산의 기초이다.

21. 참고 문헌

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