11.1 리 군의 정의와 기본 성질

1. 리 군의 직관적 이해

리 군(Lie group)은 매끄러운 다양체(smooth manifold)이면서 동시에 군(group) 구조를 가진 수학적 대상이며, 두 구조가 매끄럽게 양립한다. 직관적으로 리 군은 “연속적으로 변하는 대칭 변환의 집합“으로 이해할 수 있다. 예를 들어, 평면의 회전들은 모두 합쳐서 리 군을 이루며, 회전 각도를 매끄럽게 변화시킬 수 있다. 마찬가지로 3차원 공간의 회전들도 리 군을 형성한다. 이러한 구조는 물리학과 공학의 다양한 영역에서 자연스럽게 등장하며, 로봇공학에서는 강체의 자세와 운동을 표현하는 데 필수적이다.

2. 군의 정의 복습

2.1 군의 공리

집합 $G$ 와 이항 연산 $\cdot : G \times G \to G$ 가 다음의 네 가지 공리를 만족할 때 $(G, \cdot)$ 를 군이라 한다.

닫힘: 모든 $a, b \in G$ 에 대해 $a \cdot b \in G$
결합 법칙: 모든 $a, b, c \in G$ 에 대해 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
항등원: 어떤 $e \in G$ 가 존재하여 모든 $a \in G$ 에 대해 $a \cdot e = e \cdot a = a$
역원: 모든 $a \in G$ 에 대해 어떤 $a^{-1} \in G$ 가 존재하여 $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$

2.2 가환 군과 비가환 군

군의 연산이 가환적, 즉 $a \cdot b = b \cdot a$ 를 모든 원소에 대해 만족할 때 가환 군(아벨 군) 또는 가환 군이라 한다. 그렇지 않으면 비가환 군이라 한다. 3차원 회전군은 비가환 군이며, 평면 회전군은 가환 군이다.

3. 매끄러운 다양체의 정의

3.1 다양체의 직관

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상적으로 같은 공간이며, 위상적 공간 위에 매끄러운 좌표계가 정의된 대상이다. 직관적으로 매끄러운 다양체는 “굴곡 있는 매끄러운 표면이나 그 일반화“이다. 구의 표면, 원환면, 회전군 등이 다양체의 예이다.

3.2 차트와 아틀라스

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 동치인 차트(chart)들의 집합인 아틀라스(atlas)로 정의된다. 한 점 $p$ 에 대해 그 근방을 유클리드 공간의 부분 집합과 일대일 대응시키는 차트가 존재한다.

3.3 매끄러움

차트들 사이의 전이 사상이 모두 매끄러운(즉, 모든 차수의 미분이 존재하는) 함수일 때, 다양체를 매끄러운 다양체라 한다. 매끄러움은 미적분학의 적용을 가능하게 한다.

4. 리 군의 형식적 정의

4.1 정의

매끄러운 다양체 $G$ 가 다음의 두 조건을 만족할 때 리 군이라 한다.

$G$ 가 군의 구조를 갖는다(즉, 군 연산 $\cdot : G \times G \to G$ 와 역원 연산 $(\cdot)^{-1} : G \to G$ 가 정의된다).
군 연산과 역원 연산이 다양체의 매끄러운 사상이다.

이 정의가 리 군의 핵심이다. 군 연산과 역원 연산의 매끄러움이 다양체 구조와 군 구조를 양립시킨다.

4.2 정의의 의미

리 군의 정의는 두 개의 별개 구조(다양체와 군)가 단순히 같은 집합 위에 있는 것이 아니라, 매끄러움을 통해 양립하도록 요구한다. 이로 인해 리 군은 미적분학과 군론 양쪽의 도구를 사용할 수 있는 풍부한 구조를 가진다.

5. 리 군의 차원

리 군의 차원은 그 다양체로서의 차원이며, 일반적으로 자연수이다. 차원은 군의 자유도를 나타낸다.

리 군	차원	의미
$SO(2)$ (평면 회전)	1	회전 각
$SO(3)$ (3차원 회전)	3	3축 주위 회전
$SE(2)$ (평면 강체 변환)	3	평면 위치와 회전
$SE(3)$ (3차원 강체 변환)	6	3차원 위치와 자세
$GL(n, \mathbb{R})$ (가역 행렬)	$n^2$	일반 선형 변환

6. 리 군의 예시

6.1 가산 군 $\mathbb{R}^n$

$n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 은 벡터 덧셈에 대해 가환 리 군이다. 항등원은 영 벡터이며, 역원은 부호를 뒤집은 벡터이다. 차원은 $n$ 이다.

6.2 곱 군 $\mathbb{R}^*$

영을 제외한 실수 $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ 은 곱셈에 대해 가환 리 군이다. 항등원은 1이며, 역원은 $1/x$ 이다. 다만 이 군은 두 개의 연결 성분(양수와 음수)을 가지므로 연결 리 군이 아니다.

6.3 양의 실수 $\mathbb{R}_+$

양의 실수 $\mathbb{R}_+$ 는 곱셈에 대해 가환 리 군이며 연결되어 있다.

6.4 원 군 $S^1 = U(1) = SO(2)$

단위 원 $S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$ 은 복소수 곱셈에 대해 가환 리 군이다. 이 군은 평면 회전군 $SO(2)$ 와 동형이며, 또한 1차원 유니타리 군 $U(1)$ 과도 동형이다.

6.5 일반 선형군 $GL(n, \mathbb{R})$

가역 $n \times n$ 실수 행렬의 집합이며, 행렬 곱셈에 대해 군을 이룬다. $GL(n, \mathbb{R})$ 은 비가환 리 군이며, 차원은 $n^2$ 이다. 이 군은 모든 행렬 리 군의 모체가 된다.

6.6 특수 선형군 $SL(n, \mathbb{R})$

행렬식이 1인 가역 행렬의 집합이며, $GL(n, \mathbb{R})$ 의 부분 군이다. 차원은 $n^2 - 1$ 이다.

6.7 직교군 $O(n)$

$\mathbf{R}^T\mathbf{R} = \mathbf{I}$ 를 만족하는 행렬의 집합이다. 차원은 $n(n-1)/2$ 이다. 두 개의 연결 성분(행렬식 $\pm 1$ )을 가진다.

6.8 특수 직교군 $SO(n)$

$O(n)$ 의 행렬식이 $+1$ 인 부분 집합이며, 회전군이다. 연결되어 있고, 차원은 $n(n-1)/2$ 이다. $SO(3)$ 은 로봇공학에서 가장 중요한 리 군 중 하나이다.

6.9 유니타리 군 $U(n)$

복소 행렬의 직교군이며, $\mathbf{U}^*\mathbf{U} = \mathbf{I}$ 를 만족하는 행렬의 집합이다. 차원은 $n^2$ 이다.

6.10 특수 유니타리 군 $SU(n)$

$U(n)$ 의 행렬식이 1인 부분 집합이다. $SU(2)$ 는 단위 쿼터니언 군과 동형이며, $SO(3)$ 의 이중 덮개이다.

6.11 강체 변환군 $SE(n)$

$n$ 차원 강체 변환의 집합이며, 회전과 병진의 결합이다. $SE(3)$ 은 3차원 공간의 강체 변환을 표현하며, 차원은 6이다.

7. 부분 리 군

7.1 정의

리 군 $G$ 의 부분 집합 $H$ 가 다음을 만족할 때 부분 리 군이라 한다.

$H$ 가 $G$ 의 부분 군이다.
$H$ 가 $G$ 의 매끄러운 부분 다양체이다.

7.2 예시

$SO(n) \subset O(n) \subset GL(n, \mathbb{R})$
$SU(n) \subset U(n) \subset GL(n, \mathbb{C})$
$SE(n) \subset GA(n)$ ( $GA$ 는 아핀 군)

부분 리 군은 더 큰 군의 구조 내에서 특수한 변환을 표현한다.

8. 리 군 동형사상과 동치성

8.1 군 동형사상

두 군 $G_1$ 과 $G_2$ 사이의 사상 $\phi : G_1 \to G_2$ 가 다음을 만족하면 군 준동형사상이다.

$\phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b), \quad \forall a, b \in G_1$

준동형사상이 일대일이고 위로의 사상이면 군 동형사상이며, 두 군은 군으로서 같은 구조를 가진다.

8.2 리 군 동형사상

리 군의 동형사상은 군 동형사상이면서 동시에 매끄러운 사상이다. 두 리 군이 동형이면 다양체와 군의 두 구조 모두에서 같은 구조를 가진다.

8.3 동형사상의 예

$SO(2) \cong U(1) \cong S^1$
$\mathbb{R}^n$ 은 가산 군으로서 자기 자신과 동형이다.
$SU(2)$ 는 $S^3$ (3차원 구)와 다양체로서 동치이다.

9. 연결성

9.1 연결 리 군

리 군이 위상적으로 연결되어 있으면 연결 리 군이라 한다. 즉, 임의의 두 점을 군 안의 매끄러운 곡선으로 연결할 수 있다.

리 군	연결성
$\mathbb{R}^n$	연결
$SO(n)$	연결
$O(n)$	비연결(2 성분)
$GL(n, \mathbb{R})$	비연결(2 성분)
$SE(n)$	연결

9.2 항등 성분

리 군의 항등 원소를 포함하는 연결 성분을 항등 성분(identity component)이라 한다. 항등 성분은 항상 정규 부분 군이며, 그 자체로 리 군이다.

10. 콤팩트성

10.1 콤팩트 리 군

리 군이 콤팩트하면 콤팩트 리 군이라 한다. 행렬 리 군의 경우 닫힌 유계 집합인지로 판단된다.

리 군	콤팩트성
$SO(n)$	콤팩트
$O(n)$	콤팩트
$U(n)$	콤팩트
$SU(n)$	콤팩트
$\mathbb{R}^n$	비콤팩트
$GL(n, \mathbb{R})$	비콤팩트
$SE(n)$	비콤팩트

콤팩트 리 군은 다양한 좋은 성질을 가지며, 표현론에서 중요한 역할을 한다.

11. 단순 연결성

11.1 단순 연결 리 군

리 군이 연결되어 있고 모든 닫힌 곡선이 한 점으로 수축할 수 있으면 단순 연결이라 한다. 단순 연결 리 군은 리 군 분류 이론에서 중요하다.

리 군	단순 연결성
$\mathbb{R}^n$	단순 연결
$SO(3)$	비단순 연결(기본 군 $\mathbb{Z}_2$ )
$SU(2)$	단순 연결
$SE(3)$	비단순 연결

11.2 보편 덮개

비단순 연결 리 군은 단순 연결 덮개 군을 가진다. $SU(2)$ 가 $SO(3)$ 의 보편 덮개이며, 이로 인해 단위 쿼터니언이 회전을 이중으로 표현하는 것과 연결된다.

12. 행렬 리 군

12.1 정의

$GL(n, \mathbb{R})$ 의 닫힌 부분 군은 자동으로 리 군이 되며, 이를 행렬 리 군이라 한다. 본 장과 로봇공학에서 다루는 대부분의 리 군은 행렬 리 군이다.

12.2 닫힌 부분 군 정리

$GL(n, \mathbb{R})$ 의 위상적으로 닫힌 부분 군은 자동으로 매끄러운 부분 다양체이며, 따라서 리 군이다. 이 정리는 행렬 군이 리 군임을 직접 검증하지 않고도 보일 수 있게 한다.

12.3 행렬 리 군의 장점

행렬 리 군은 다음과 같은 장점을 가진다.

컴퓨터에서 행렬로 직접 표현 가능하다.
군 연산이 행렬 곱이며, 효율적으로 계산된다.
지수와 로그가 행렬 지수와 로그로 정의된다.
미분이 행렬의 미분으로 자연스럽게 정의된다.

13. 좌측 곱과 우측 곱

13.1 좌측 곱

군 원소 $g \in G$ 에 의한 좌측 곱은 다음과 같이 정의된다.

$L_g : G \to G, \quad L_g(h) = g \cdot h$

이 사상은 리 군의 매끄러운 자기 동형사상이다.

13.2 우측 곱

군 원소 $g \in G$ 에 의한 우측 곱은 다음과 같이 정의된다.

$R_g : G \to G, \quad R_g(h) = h \cdot g$

마찬가지로 매끄러운 자기 동형사상이다.

13.3 비가환성과의 관계

리 군이 비가환이면 좌측 곱과 우측 곱이 일반적으로 다르다. 이는 리 군의 분석에서 좌측과 우측의 구분이 중요함을 의미한다.

14. 항등원에서의 접선 공간

리 군 $G$ 의 항등원 $e$ 에서의 접선 공간 $T_eG$ 는 특별한 의미를 가지며, 이를 리 군의 리 대수 $\mathfrak{g}$ 로 정의한다. 리 대수는 리 군의 무한소 구조를 표현하며, 다음 절에서 자세히 다룬다.

리 대수는 다음의 성질을 가진다.

선형 공간이다.
차원이 리 군의 차원과 같다.
리 괄호라는 추가 연산을 가진다.

15. 리 군의 응용

15.1 물리학

물리학에서는 리 군이 대칭성을 표현한다. 회전 대칭, 시공간 대칭, 게이지 대칭 등이 모두 리 군으로 기술된다.

15.2 로봇공학

로봇공학에서는 강체의 자세와 변환이 리 군으로 표현된다. $SO(3)$ , $SE(3)$ , $SE(2)$ 가 가장 중요하다.

15.3 컴퓨터 비전

컴퓨터 비전에서 카메라 자세, 객체 자세, 변환 등이 리 군으로 표현된다. 비주얼 SLAM과 객체 인식에 활용된다.

15.4 제어 이론

제어 이론에서 비선형 시스템의 분석에 리 군 이론이 사용된다. 특히 미분 평탄성(differential flatness)과 비홀로노믹 시스템의 분석에 활용된다.

15.5 양자 역학

양자 역학에서 대칭 변환과 보존량이 리 군과 그 표현으로 기술된다.

16. 리 군 이론의 학습 가치

16.1 통합적 시각

리 군 이론은 회전, 변환, 대칭 등 다양한 개념을 통합적 시각에서 다룰 수 있게 한다. 이는 새로운 문제에 접근할 때 유용한 도구가 된다.

16.2 견고한 알고리즘

리 군의 구조를 활용한 알고리즘은 단위성 보존, 다양체 위의 자연스러운 운동 등의 좋은 성질을 가진다. 수치적 안정성과 정확성을 향상시킨다.

16.3 학술적 의사 소통

리 군 이론의 표기와 개념은 현대 로봇공학 학술 논문의 표준이 되어가고 있다. 이를 이해하면 최신 연구를 따라잡기 용이하다.

17. 참고 문헌

Hall, B. C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction (2nd ed.). Springer.
Stillwell, J. (2008). Naive Lie Theory. Springer.
Warner, F. W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer.
Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
Sola, J., Deray, J., & Atchuthan, D. (2018). “A Micro Lie Theory for State Estimation in Robotics.” arXiv:1812.01537.

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