8.9 확률 변수의 정의와 분류

1. 확률 변수의 정의

확률 변수(random variable)는 표본 공간 $\Omega$ 의 각 결과 $\omega$ 에 실수를 대응시키는 함수이다.

$X: \Omega \to \mathbb{R}$

엄밀하게는, $X$ 가 가측 함수(measurable function)여야 한다. 즉, 임의의 보렐 집합 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 에 대해 $X^{-1}(B) = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in B\} \in \mathcal{F}$ 이어야 한다.

확률 변수는 확률 실험의 수치적 결과를 추상화하여, 표본 공간의 구조에 무관하게 확률을 다룰 수 있게 한다. 대문자 $X$ 는 확률 변수를, 소문자 $x$ 는 확률 변수의 실현값(realization)을 나타내는 것이 표준 표기이다.

2. 이산 확률 변수

확률 변수 $X$ 의 치역이 유한하거나 가산 무한인 경우, $X$ 를 이산 확률 변수(discrete random variable)라 한다. 확률 질량 함수(probability mass function, PMF) $p_X(x) = P(X = x)$ 에 의해 분포가 특성화된다.

$\sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) = 1, \quad p_X(x) \geq 0$

2.1 로봇 공학에서의 예

접촉 센서의 이진 출력: $X \in \{0, 1\}$
물체의 클래스 분류 결과: $X \in \{1, 2, \ldots, K\}$
이산 격자 위의 로봇 위치: $X \in \{1, 2, \ldots, N\}$
접촉 모드: $X \in \{\text{접촉}, \text{미끄러짐}, \text{비접촉}\}$

3. 연속 확률 변수

확률 변수 $X$ 가 구간이나 $\mathbb{R}$ 의 비가산 부분 집합의 값을 취하면 연속 확률 변수(continuous random variable)이다. 확률 밀도 함수(probability density function, PDF) $f_X(x)$ 에 의해 분포가 특성화된다.

$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f_X(x) \, dx$

$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1, \quad f_X(x) \geq 0$

연속 확률 변수에서 단일 점의 확률은 영이다: $P(X = x) = 0$ .

3.1 로봇 공학에서의 예

센서 측정값(거리, 속도, 가속도): $X \in \mathbb{R}$
관절 각도: $X \in [q_{\min}, q_{\max}]$
로봇의 2차원 위치: $\mathbf{X} = (X_1, X_2) \in \mathbb{R}^2$
실행 시간: $X \in [0, \infty)$

4. 혼합 확률 변수

이산 부분과 연속 부분이 동시에 존재하는 확률 변수이다. 거리 센서 모델에서 참 거리에 대한 가우시안 분포(연속)와 최대 거리에서의 점질량(이산)이 혼합된 경우가 대표적이다.

5. 누적 분포 함수

누적 분포 함수(cumulative distribution function, CDF) $F_X(x)$ 는 이산과 연속 모두에 대해 통일적으로 정의된다.

$F_X(x) = P(X \leq x)$

CDF의 성질:

$0 \leq F_X(x) \leq 1$
단조 비감소: $x_1 \leq x_2 \Rightarrow F_X(x_1) \leq F_X(x_2)$
$\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ , $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$
우연속(right-continuous): $\lim_{h \to 0^+} F_X(x + h) = F_X(x)$

연속 확률 변수에서 $f_X(x) = F_X'(x)$ 이다.

6. 확률 변수의 함수

확률 변수 $X$ 의 함수 $Y = g(X)$ 도 확률 변수이다. $Y$ 의 분포는 $g$ 와 $X$ 의 분포에 의해 결정된다.

단조 함수 $g$ 의 경우 변수 변환 공식이 적용된다.

$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left\lvert \frac{dg^{-1}}{dy} \right\rvert$

로봇 공학에서 순방향 기구학 $\mathbf{x} = \mathbf{f}(\mathbf{q})$ 에 의해 관절 공간의 불확실성이 작업 공간으로 전파되는 것이 확률 변수의 함수의 대표적 응용이다.

7. 다차원 확률 변수(확률 벡터)

$n$ 차원 확률 벡터 $\mathbf{X} = [X_1, \ldots, X_n]^T$ 는 $\Omega$ 에서 $\mathbb{R}^n$ 으로의 가측 함수이다. 결합 PDF $f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})$ 에 의해 분포가 특성화되며, 로봇의 상태 벡터(위치, 속도, 자세 등)가 다차원 확률 변수로 모델링된다.

8. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). Oxford University Press.

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