8.86 센서 잡음 모델과 노이즈 특성화

1. 센서 잡음의 원천

로봇 센서의 측정값은 다양한 원인에 의한 잡음을 포함한다.

열 잡음(thermal noise): 전자 부품의 열적 요동에 의한 무작위 잡음
샷 잡음(shot noise): 광자의 양자적 특성에 의한 광센서 잡음
양자화 잡음: 아날로그-디지털 변환의 이산화에 의한 잡음
크로스토크: 인접 채널의 간섭
환경 잡음: 온도, 습도, 전자기 간섭 등 외부 요인
기계적 진동: 로봇이나 환경의 진동에 의한 잡음

2. 잡음 모델의 분류

2.1 가산 잡음(Additive Noise)

관측값이 참값에 잡음이 더해진 형태이다.

$z = z^* + \nu$

가장 흔한 모델이며, 잡음이 참값과 무관한 경우에 적용된다.

2.2 곱셈 잡음(Multiplicative Noise)

관측값이 참값에 잡음이 곱해진 형태이다.

$z = z^*(1 + \nu)$

스케일 팩터 오류나 곱적 효과를 모델링한다.

2.3 혼합 잡음

가산과 곱셈 잡음이 결합된 형태이다.

$z = z^*(1 + \nu_m) + \nu_a$

3. 잡음 분포의 모델링

3.1 가우시안 잡음

$\nu \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ . 중심 극한 정리에 의해 다수의 독립 미소 잡음원의 합이 가우시안에 수렴한다는 이론적 근거를 갖는다.

$p(\nu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{\nu^2}{2\sigma^2}\right)$

3.2 균일 잡음

양자화 잡음 등 특정 범위의 잡음에 적합하다.

$\nu \sim U(-\Delta/2, \Delta/2)$

3.3 라플라스 잡음

가우시안보다 꼬리가 두꺼운 분포로, 이상치를 포함하는 잡음에 적합하다.

$p(\nu) = \frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{\lvert\nu\rvert}{b}\right)$

3.4 학생 t 분포

가우시안과 코시 분포 사이의 유연성을 가진다. 자유도 매개변수에 의해 꼬리의 두께를 조절할 수 있다.

3.5 혼합 가우시안

주요 잡음이 가우시안이지만 이상치가 존재할 때 두 가우시안의 혼합으로 모델링한다.

$p(\nu) = \pi_1\mathcal{N}(\nu; 0, \sigma_1^2) + \pi_2\mathcal{N}(\nu; 0, \sigma_2^2)$

여기서 $\sigma_1 \ll \sigma_2$ 이고 $\pi_1 \gg \pi_2$ 이면 대부분의 잡음이 작은 분산을 가지되 가끔 큰 이상치가 발생하는 분포를 표현한다.

4. 잡음의 시간적 특성

4.1 백색 잡음(White Noise)

시간적으로 상관이 없는 잡음이다.

$\mathbb{E}[\nu(t)\nu(s)] = \sigma^2\delta(t - s)$

대부분의 필터 이론의 기본 가정이다.

4.2 색깔 잡음(Colored Noise)

시간적 상관이 있는 잡음이다. 자기회귀 모델(AR)로 기술된다.

$\nu_t = \rho\nu_{t-1} + \eta_t, \quad \eta_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma_\eta^2)$

색깔 잡음은 상태 확장(state augmentation)에 의해 백색 잡음 프레임워크로 변환할 수 있다.

4.3 편향과 드리프트

IMU 등의 센서는 시간에 따라 천천히 변화하는 편향(bias)을 갖는다. 편향을 상태에 포함하여 온라인으로 추정한다.

$z = z^* + b + \nu, \quad b_{t+1} = b_t + \eta_b$

5. Allan 분산과 잡음 특성화

Allan 분산(Allan variance)은 자이로스코프, 발진기 등의 잡음 특성을 분석하는 표준 방법이다. 이동 평균의 분산을 시간 척도에 따라 측정한다.

Allan 표준 편차의 로그-로그 그래프에서 다양한 잡음 유형이 특징적인 기울기로 나타난다.

양자화 잡음: 기울기 $-1$
각도 랜덤 워크(ARW): 기울기 $-1/2$ (백색 잡음에 해당)
편향 불안정성(bias instability): 수평 구간
속도 랜덤 워크(RRW): 기울기 $+1/2$ (적분된 백색 잡음)
드리프트: 기울기 $+1$

6. 실험적 잡음 특성화

6.1 정적 특성화

센서를 정지 상태에 두고 다수의 관측을 수집한다. 참값이 일정하므로 관측의 분산이 잡음의 분산이다. 히스토그램으로 분포의 형태를 추정한다.

6.2 동적 특성화

알려진 참값 참조(ground truth)와 센서 관측을 동시에 수집하여 잔차를 분석한다. 동역학 조건에서의 잡음 특성을 평가한다.

6.3 공분산 추정

다차원 잡음의 경우 공분산 행렬을 추정한다. 잡음 성분 간의 상관이 존재하면 비대각 원소가 비영이다.

7. 로봇 공학에서의 활용

칼만 필터의 $\mathbf{R}$ 행렬: 센서 잡음 모델이 칼만 필터의 관측 잡음 공분산 $\mathbf{R}$ 을 결정한다.

정규화 가중치: 가중 최소 제곱과 SLAM 최적화에서 잡음 분산의 역이 관측 가중치로 사용된다.

이상치 검출: 잡음 분포의 꼬리를 벗어나는 관측을 이상치로 판정한다.

8. 참고 문헌

Allan, D. W. (1966). “Statistics of Atomic Frequency Standards.” Proceedings of the IEEE, 54(2), 221–230.
IEEE Std 952-1997. “IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Interferometric Fiber Optic Gyros.”
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.

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