8.85 확률론적 센서 모델의 구성

1. 확률론적 센서 모델의 정의

확률론적 센서 모델(probabilistic sensor model)은 센서 관측 $\mathbf{z}$ 가 시스템 상태 $\mathbf{x}$ 에 의존하는 확률적 관계를 조건부 분포 $p(\mathbf{z} \vert \mathbf{x})$ 로 기술한다. 이 모델은 베이즈 필터의 갱신 단계에서 가능도 역할을 수행하며, 상태 추정의 정확성은 센서 모델의 품질에 직접적으로 의존한다.

2. 센서 모델 구성의 일반 절차

2.1 물리적 관측 방정식

대부분의 센서는 상태의 결정론적 함수에 잡음이 추가된 형태로 모델링된다.

$\mathbf{z} = h(\mathbf{x}) + \boldsymbol{\nu}$

여기서 $h$ 는 관측 함수(observation function), $\boldsymbol{\nu}$ 는 측정 잡음이다.

2.2 잡음 분포의 가정

잡음 분포가 가우시안 $\boldsymbol{\nu} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{R})$ 이면:

$p(\mathbf{z} \vert \mathbf{x}) = \mathcal{N}(\mathbf{z}; h(\mathbf{x}), \mathbf{R})$

비가우시안 잡음은 혼합 모델이나 비모수적 분포로 모델링된다.

3. 대표적 센서 모델

3.1 거리 센서 모델

거리 센서(레이저, 초음파, 라이다)의 관측 모델은 다수의 물리적 효과를 혼합으로 모델링한다. 트런(Thrun) 등이 제안한 빔 모델은 네 성분의 혼합이다.

$p(z \vert \mathbf{x}, \mathbf{m}) = w_{hit}p_{hit}(z \vert z^*) + w_{short}p_{short}(z) + w_{max}p_{max}(z) + w_{rand}p_{rand}(z)$

$p_{hit}$ (정상 측정): 참 거리 $z^*$ 주위의 절단 가우시안
$p_{short}$ (짧은 측정): 먼지, 연기 등에 의한 조기 반사, 지수 분포
$p_{max}$ (최대 거리): 빔이 아무것도 맞추지 못한 경우, 디랙 점질량
$p_{rand}$ (무작위 측정): 균일 분포

참 거리 $z^* = h(\mathbf{x}, \mathbf{m})$ 은 지도 $\mathbf{m}$ 과 로봇 자세 $\mathbf{x}$ 로부터 광선 추적으로 계산된다.

3.2 가능도 필드 모델

거리 센서의 광선 추적을 대체하는 대안 모델로, 각 측정점의 글로벌 좌표가 지도상의 장애물에 가까우면 높은 가능도를 부여한다.

$p(z \vert \mathbf{x}, \mathbf{m}) \propto \exp\left(-\frac{d(\mathbf{p}_{beam}, \mathbf{m})^2}{2\sigma^2}\right)$

여기서 $d$ 는 빔 끝점에서 가장 가까운 장애물까지의 거리이다. 계산이 효율적이고 부드러운 가능도를 제공한다.

3.3 카메라 관측 모델

특징점의 영상 좌표가 카메라 투영 모델과 잡음에 의해 결정된다.

$\mathbf{z}_{\text{image}} = \pi(\mathbf{R}\mathbf{p}_W + \mathbf{t}) + \boldsymbol{\nu}$

여기서 $\pi$ 는 투영 함수, $(\mathbf{R}, \mathbf{t})$ 는 카메라 자세, $\mathbf{p}_W$ 는 3차원 점의 세계 좌표이다. 픽셀 공간에서 가우시안 잡음을 가정한다.

3.4 IMU 관측 모델

관성 측정 장치는 가속도계와 자이로스코프의 관측을 제공한다.

$\mathbf{z}_{acc} = \mathbf{R}^T(\ddot{\mathbf{p}} - \mathbf{g}) + \mathbf{b}_a + \boldsymbol{\nu}_a$

$\mathbf{z}_{gyro} = \boldsymbol{\omega} + \mathbf{b}_g + \boldsymbol{\nu}_g$

바이어스 $\mathbf{b}_a$ , $\mathbf{b}_g$ 는 느리게 변화하는 시간 가변 항으로 모델링된다.

4. 모델 파라미터의 학습

4.1 최대 가능도 추정

관측 모델의 파라미터 $\boldsymbol{\theta}$ (혼합 가중치, 잡음 분산 등)를 실험 데이터 $\{(\mathbf{x}_i, \mathbf{z}_i)\}$ 로부터 최대 가능도로 학습한다.

$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \arg\max_{\boldsymbol{\theta}}\prod_i p(\mathbf{z}_i \vert \mathbf{x}_i; \boldsymbol{\theta})$

4.2 EM 알고리즘

혼합 모델(거리 센서의 빔 모델)의 파라미터 학습에 EM 알고리즘이 사용된다. 각 관측이 어느 혼합 성분에서 생성되었는지는 잠재 변수이다.

4.3 비모수적 학습

가우시안 과정 회귀 등 비모수적 방법으로 관측 모델을 직접 학습할 수 있다. 이는 복잡한 비선형 관계를 명시적 모델 없이 포착한다.

5. 모델의 정확성과 일관성

5.1 과신과 과소신

센서 모델의 잡음 분산이 실제보다 작으면 필터가 과신(overconfident)하여 이상치에 민감해진다. 반대로 크면 과소신(underconfident)하여 정보 활용이 저하된다. 실험적 검증이 중요하다.

5.2 이상치 모델링

실제 센서에서는 모델로 설명되지 않는 이상치가 발생한다. 이를 처리하기 위해 혼합 모델(정상 + 이상치 성분), 강건 가능도 함수, 이상치 거부 절차가 사용된다.

6. 로봇 공학에서의 응용

SLAM과 위치 추정: 센서 모델이 관측 가능도를 제공하여 베이즈 필터의 갱신 단계에서 사용된다.

데이터 연관: 다수의 관측과 랜드마크의 대응을 결정하는 데 센서 모델의 가능도가 사용된다(예: 마할라노비스 거리 기반 문 검정).

모델 예측 제어: 예측된 관측과 실제 관측의 불일치를 감지하여 모델 오차를 보정한다.

7. 참고 문헌

Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.
Trawny, N., & Roumeliotis, S. I. (2005). “Indirect Kalman Filter for 3D Attitude Estimation.” Technical Report, University of Minnesota.

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