8.82 확률론적 로봇 상태 추정의 기본 틀

1. 상태 추정 문제의 정의

로봇 상태 추정(state estimation)은 잡음이 포함된 센서 관측 \mathbf{z}_{1:t}과 제어 입력 \mathbf{u}_{1:t}으로부터 로봇의 상태 \mathbf{x}_t를 추정하는 문제이다. 확률론적 접근은 이 상태를 확정적 값이 아닌 확률 분포로 표현하여, 불확실성을 체계적으로 관리한다.

2. 핵심 개념: 믿음(Belief)

로봇의 현재 상태에 대한 믿음(belief)은 조건부 확률 분포이다.

\text{bel}(\mathbf{x}_t) = p(\mathbf{x}_t \vert \mathbf{z}_{1:t}, \mathbf{u}_{1:t})

이는 “지금까지의 모든 관측과 제어가 주어졌을 때 현재 상태의 확률 분포“이다. 믿음은 시간에 따라 갱신되며, 새 센서 관측과 제어 입력을 반영한다.

3. 상태 공간 모델

3.1 상태 전이 모델

상태가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 기술한다.

\mathbf{x}_t = f(\mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_{t-1}) + \boldsymbol{\epsilon}_t

확률론적 표현: p(\mathbf{x}_t \vert \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_{t-1}). 프로세스 잡음 \boldsymbol{\epsilon}_t가 모델링되지 않은 동역학을 반영한다.

3.2 관측 모델

상태로부터 센서 관측이 어떻게 생성되는지를 기술한다.

\mathbf{z}_t = h(\mathbf{x}_t) + \boldsymbol{\nu}_t

확률론적 표현: p(\mathbf{z}_t \vert \mathbf{x}_t). 센서 잡음 \boldsymbol{\nu}_t가 측정의 불확실성을 반영한다.

4. 마르코프 가정

확률론적 상태 추정의 이론적 기반은 마르코프 가정이다. 현재 상태가 주어지면 미래는 과거와 조건부 독립이다.

p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{1:t}, \mathbf{u}_{1:t}) = p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t, \mathbf{u}_t)

이 가정이 재귀적 상태 추정을 가능하게 한다.

5. 베이즈 필터(Bayes Filter)

재귀적 상태 추정의 일반적 프레임워크이다.

5.1 예측 단계

이전 시각의 믿음으로부터 전이 모델을 이용하여 다음 시각의 예측 분포를 계산한다.

\overline{\text{bel}}(\mathbf{x}_t) = \int p(\mathbf{x}_t \vert \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_{t-1})\text{bel}(\mathbf{x}_{t-1}) \, d\mathbf{x}_{t-1}

전체 확률 법칙(주변화)의 적용이다. 이전 상태의 불확실성이 다음 상태로 전파되면서 잡음에 의해 확장된다.

5.2 갱신 단계

새 관측 \mathbf{z}_t에 의해 예측 분포를 갱신한다(베이즈 정리).

\text{bel}(\mathbf{x}_t) = \eta \, p(\mathbf{z}_t \vert \mathbf{x}_t)\overline{\text{bel}}(\mathbf{x}_t)

여기서 \eta는 정규화 상수이다. 관측 가능도가 높은 상태의 확률이 증가한다.

6. 베이즈 필터의 구현

일반적 베이즈 필터는 임의의 분포를 처리할 수 있지만, 해석적 해가 불가능한 경우가 대부분이다. 실용적 구현은 분포의 가정이나 근사에 따라 분류된다.

6.1 선형 가우시안: 칼만 필터

상태 전이와 관측이 모두 선형이고 잡음이 가우시안이면, 베이즈 필터의 폐쇄형 해인 칼만 필터가 적용된다. 믿음은 가우시안 분포로 표현되며, 평균과 공분산만으로 기술된다.

6.2 비선형 가우시안: 확장 칼만 필터(EKF)

비선형 시스템을 선형화하여 칼만 필터를 적용한다. 현재 추정치 주위의 1차 테일러 근사를 사용한다.

6.3 비선형 비가우시안: 입자 필터

사후 분포를 가중 샘플(입자)로 근사한다. 비선형, 다봉, 비가우시안 분포를 표현할 수 있다.

6.4 이산 상태 공간: 히스토그램 필터

이산 격자로 상태 공간을 분할하고 각 격자 셀의 확률을 갱신한다.

7. 가정과 한계

7.1 마르코프 가정의 한계

• 색깔 잡음: 시간적으로 상관된 잡음
• 미모델된 동역학: 고차 동역학이 저차 모델로 근사될 때
• 모델 오차: 모델과 실제 시스템의 불일치

이러한 경우 마르코프 가정이 근사적으로만 성립하며, 필터의 일관성이 저하될 수 있다. 상태 공간의 확장(예: 바이어스를 상태에 포함)으로 부분적으로 해결된다.

7.2 계산적 고려

상태 공간의 차원이 증가하면 계산 부담이 급증한다. 칼만 필터는 O(n^3), 입자 필터는 O(N \cdot \text{관측 비용})이다. 대규모 SLAM에서는 희소 구조 활용이 필수이다.

8. 로봇 공학에서의 상태 추정의 중요성

상태 추정은 확률론적 로봇 공학의 근본이다. 위치 추정(localization), 지도 작성(mapping), SLAM, 물체 추적, 동역학 추정 등 모든 과제가 상태 추정의 형태로 정식화된다. 확률론적 프레임워크는 불확실성을 명시적으로 처리하여 의사결정과 계획에 전달한다.

9. 참고 문헌

• Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
• Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.
• Bar-Shalom, Y., Li, X. R., & Kirubarajan, T. (2001). Estimation with Applications to Tracking and Navigation. Wiley.
• Kay, S. M. (1993). Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice Hall.

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