8.6 전확률 정리와 분할

1. 분할의 정의

표본 공간 $\Omega$ 의 분할(partition)은 다음의 조건을 만족하는 사건의 모임 $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ 이다.

상호 배반: $B_i \cap B_j = \emptyset$ , $\forall i \neq j$
완전 포괄: $\bigcup_{i=1}^{n} B_i = \Omega$
비공 사건: $P(B_i) > 0$ , $\forall i$

분할은 표본 공간을 겹침 없이 완전하게 분류하는 것이다. 모든 표본점은 정확히 하나의 $B_i$ 에 속한다.

1.1 로봇 공학에서의 분할 예시

로봇 상태의 분할: 로봇의 동작 모드가 $B_1 = \text{정지}$ , $B_2 = \text{저속 이동}$ , $B_3 = \text{고속 이동}$ 으로 분류되면, 이 모드들은 상태 공간의 분할을 형성한다.

환경 분류: 주행 환경이 $B_1 = \text{실내}$ , $B_2 = \text{포장도로}$ , $B_3 = \text{비포장도로}$ 로 분류되면, 각 환경 유형이 분할의 원소이다.

센서 상태: 센서의 상태가 $B_1 = \text{정상}$ , $B_2 = \text{편향 오류}$ , $B_3 = \text{완전 고장}$ 으로 구분될 수 있다.

2. 전확률 정리(Law of Total Probability)

2.1 이산 형태

$\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ 이 $\Omega$ 의 분할이면, 임의의 사건 $A$ 에 대해:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \vert B_i)P(B_i)$

이는 사건 $A$ 의 전체 확률을 각 분할 원소에서의 조건부 확률과 분할 원소의 확률의 가중합으로 분해한다.

유도: $A = A \cap \Omega = A \cap (\bigcup_i B_i) = \bigcup_i (A \cap B_i)$ 이고, $(A \cap B_i)$ 들이 배반이므로:

$P(A) = \sum_i P(A \cap B_i) = \sum_i P(A \vert B_i)P(B_i)$

2.2 연속 형태

연속 확률 변수 $X$ 가 확률 밀도 함수 $f_X(x)$ 를 가지면:

$P(A) = \int_{-\infty}^{\infty} P(A \vert X = x)f_X(x) \, dx$

2.3 기대값에 의한 표현

전확률 정리는 조건부 확률의 기대값으로 표현할 수 있다.

$P(A) = \mathbb{E}_X[P(A \vert X)]$

이 표현은 반복 기대값 법칙(law of iterated expectations)의 특수한 경우이다.

3. 로봇 공학에서의 전확률 정리 응용

3.1 센서 융합에서의 결과 예측

로봇의 상태 $\mathbf{x}$ 에 대한 가설 $B_i$ 가 주어졌을 때, 센서 관측 $\mathbf{z}$ 의 예측 분포는 전확률 정리에 의해 구해진다.

$p(\mathbf{z}) = \sum_i p(\mathbf{z} \vert B_i)P(B_i)$

여기서 $p(\mathbf{z} \vert B_i)$ 는 가설 $B_i$ 에서의 관측 모델이고, $P(B_i)$ 는 각 가설의 사전 확률이다.

3.2 베이즈 필터의 예측 단계

로봇 상태 추정에서 예측 단계는 전확률 정리의 연속 형태에 해당한다.

$p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{z}_{1:t}) = \int p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t)p(\mathbf{x}_t \vert \mathbf{z}_{1:t}) \, d\mathbf{x}_t$

이전 시각의 상태 $\mathbf{x}_t$ 에 대한 “분할”(연속 형태)에 의해 다음 상태의 예측 분포를 구한다.

3.3 혼합 모델

가우시안 혼합 모델(Gaussian Mixture Model, GMM)은 전확률 정리의 직접적 응용이다.

$p(\mathbf{x}) = \sum_{k=1}^{K} \pi_k \mathcal{N}(\mathbf{x} \vert \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)$

각 성분 $k$ 가 분할의 원소에, 혼합 가중치 $\pi_k = P(B_k)$ 가 분할 확률에, 가우시안 $\mathcal{N}(\mathbf{x} \vert \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)$ 가 조건부 분포 $p(\mathbf{x} \vert B_k)$ 에 대응한다.

3.4 고장 모드 분석

센서나 액추에이터의 고장 가능성을 고려한 확률 계산에서 전확률 정리가 사용된다.

$P(\text{정확한 추정}) = P(\text{정확} \vert \text{정상})P(\text{정상}) + P(\text{정확} \vert \text{고장})P(\text{고장})$

4. 반복 전확률 법칙

전확률 정리를 재귀적으로 적용하면 다단계 확률 계산이 가능하다. 시각 $t = 0, 1, \ldots, T$ 에 걸친 마르코프 체인에서:

$p(\mathbf{x}_T) = \int \cdots \int \prod_{t=0}^{T-1} p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_0) \, d\mathbf{x}_0 \cdots d\mathbf{x}_{T-1}$

이 다중 적분은 실용적으로 순방향 재귀(forward recursion)로 효율적으로 계산된다.

5. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.

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