8.5 독립 사건과 종속 사건

1. 독립 사건의 정의

두 사건 $A$ 와 $B$ 가 독립(independent)이란, 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 영향을 미치지 않는 것을 의미하며, 수학적으로 다음과 같이 정의된다.

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

이 정의는 $P(B) > 0$ 일 때 $P(A \vert B) = P(A)$ 와 동치이고, $P(A) > 0$ 일 때 $P(B \vert A) = P(B)$ 와 동치이다.

사건 $A_1, \ldots, A_n$ 이 쌍별 독립이란, 모든 $i \neq j$ 에 대해 $P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$ 를 만족하는 것이다.

사건 $A_1, \ldots, A_n$ 이 상호 독립이란, 임의의 부분 집합 $\{i_1, \ldots, i_k\} \subseteq \{1, \ldots, n\}$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.

$P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_k})$

쌍별 독립은 상호 독립의 필요 조건이지만 충분 조건은 아니다. 로봇 공학에서 “독립“이라 함은 통상 상호 독립을 의미한다.

독립이 아닌 사건을 종속(dependent) 사건이라 한다. $P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$ 이면, 사건 $A$ 와 $B$ 는 종속이다.

종속의 정도는 다양한 상관 측도로 정량화된다. 양의 상관( $P(A \cap B) > P(A)P(B)$ )은 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생을 촉진함을 의미하고, 음의 상관( $P(A \cap B) < P(A)P(B)$ )은 억제함을 의미한다.

사건 $C$ 가 주어졌을 때 $A$ 와 $B$ 가 조건부 독립이란 다음을 의미한다.

$P(A \cap B \vert C) = P(A \vert C)P(B \vert C)$

이를 $A \perp B \vert C$ 로 표기한다. 조건부 독립은 비조건부 독립을 함의하지 않으며, 그 역도 성립하지 않는다.

로봇 공학에서 조건부 독립 가정은 확률 모델의 복잡도를 극적으로 줄인다.

베이즈 필터: 로봇의 현재 상태 $\mathbf{x}_t$ 가 주어지면, 관측 $\mathbf{z}_t$ 는 과거 상태 및 관측과 조건부 독립이다.

$p(\mathbf{z}_t \vert \mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{1:t-1}) = p(\mathbf{z}_t \vert \mathbf{x}_t)$

마르코프 성질: 현재 상태가 주어지면, 미래 상태는 과거 상태와 조건부 독립이다.

$p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_{0:t}) = p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t)$

이러한 조건부 독립 가정에 의해 결합 확률 분포가 조건부 확률의 곱으로 분해되어, 계산적으로 다루기 가능해진다.

물리적 메커니즘에 의해 두 사건이 인과적으로 연결되어 있지 않으면 독립으로 모델링한다. 서로 다른 센서의 잡음이 동일한 물리적 원인에 의해 상관되지 않으면 독립으로 가정한다.

데이터로부터 독립성을 검증하기 위해 카이제곱(chi-squared) 독립성 검정이나 상관 계수의 유의성 검정이 사용된다. 그러나 독립성의 완전한 검증은 불가능하며, 특정 차수의 상관만을 검사하게 된다.

로봇 센서의 독립성 가정이 실제로 위반되는 경우가 빈번하다.

공통 원인에 의한 상관: 온도 변화가 다수의 센서에 동시에 영향을 미치면, 센서 잡음이 상관된다.

시간적 상관: 동일 센서의 연속 측정 사이에 자기 상관(autocorrelation)이 존재할 수 있다.

공간적 상관: LiDAR의 인접 빔 사이에 공간적 상관이 존재한다.

독립성 가정이 위반되면 칼만 필터 등의 추정기가 불확실성을 과소평가하여 과도한 확신(overconfidence)을 가질 수 있다. 이 경우 교차 공분산(cross-covariance)의 모델링이나 상관 잡음 모델의 도입이 필요하다.

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