8.42 로봇 파라미터 추정에서의 MLE 응용

1. 로봇 시스템의 모수 추정 문제

로봇 시스템의 기구학적, 동역학적, 센서 관련 파라미터를 실측 데이터로부터 추정하는 문제가 로봇 파라미터 추정(robot parameter estimation)이다. 최대 우도 추정(MLE)은 관측 모델과 잡음 모델이 주어졌을 때 체계적인 추정 프레임워크를 제공한다.

2. 기구학적 파라미터 추정

2.1 DH 파라미터의 MLE

로봇 매니퓰레이터의 DH(Denavit-Hartenberg) 파라미터 $\boldsymbol{\theta}_{DH}$ 를 측정된 말단 장치 자세 $\mathbf{z}_i$ 로부터 추정한다. 가우시안 잡음 $\mathbf{z}_i = \mathbf{h}(\mathbf{q}_i; \boldsymbol{\theta}_{DH}) + \boldsymbol{\epsilon}_i$ , $\boldsymbol{\epsilon}_i \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma}_i)$ 이 가정되면:

$\hat{\boldsymbol{\theta}}_{DH,MLE} = \arg\min_{\boldsymbol{\theta}_{DH}}\sum_{i=1}^{N}(\mathbf{z}_i - \mathbf{h}(\mathbf{q}_i; \boldsymbol{\theta}_{DH}))^T\boldsymbol{\Sigma}_i^{-1}(\mathbf{z}_i - \mathbf{h}(\mathbf{q}_i; \boldsymbol{\theta}_{DH}))$

이는 가중 비선형 최소 제곱 문제이며, 가우스-뉴턴법이나 레벤버그-마쿼트 알고리즘으로 해결된다.

3. 동역학 파라미터 추정

3.1 관성 파라미터의 선형 회귀

로봇의 동역학 방정식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + \boldsymbol{\tau}_f(\dot{\mathbf{q}})$ 은 관성 파라미터 $\boldsymbol{\pi}$ 에 대해 선형이다.

$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}})\boldsymbol{\pi}$

여기서 $\mathbf{Y}$ 는 회귀 행렬(regressor matrix)이다. 다수의 관측 데이터를 쌓으면:

$\mathbf{T} = \mathbf{W}\boldsymbol{\pi} + \boldsymbol{\epsilon}$

가우시안 잡음 $\boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})$ 에서 MLE는 일반 최소 제곱 해이다.

$\hat{\boldsymbol{\pi}}_{MLE} = (\mathbf{W}^T\mathbf{W})^{-1}\mathbf{W}^T\mathbf{T}$

3.2 마찰 파라미터 추정

쿨롱 마찰과 점성 마찰을 포함한 마찰 모델 $\tau_f = f_c\,\text{sgn}(\dot{q}) + f_v\dot{q}$ 의 파라미터 $(f_c, f_v)$ 를 MLE로 추정한다. 마찰 토크가 파라미터에 선형이므로 최소 제곱 문제로 환원된다.

4. 센서 모델 파라미터 추정

4.1 IMU 캘리브레이션

관성 측정 장치(IMU)의 바이어스, 스케일 팩터, 비직교성을 MLE로 추정한다. 중력 방향이 알려진 정지 자세에서 가속도계 관측의 가능도를 최대화한다.

$\mathbf{z}_{acc} = \mathbf{K}_a(\mathbf{R}\mathbf{g} + \mathbf{b}_a) + \boldsymbol{\epsilon}_a$

파라미터 $(\mathbf{K}_a, \mathbf{b}_a)$ 를 MLE로 추정한다.

4.2 카메라 내부 파라미터

핀홀 카메라 모델의 내부 파라미터(초점 거리, 주점, 왜곡 계수)를 캘리브레이션 패턴의 영상으로부터 MLE로 추정한다. Zhang(2000)의 방법이 표준적이며, 재투영 오차를 최소화하는 비선형 최소 제곱 문제로 정식화된다.

5. 여기 궤적의 최적 설계

파라미터 추정의 정밀도는 관측 데이터의 정보량에 의존한다. 피셔 정보 행렬(FIM)을 최대화하는 여기 궤적(excitation trajectory)을 설계하여 추정 정밀도를 향상시킨다.

$\max_{\mathbf{q}(\cdot)} \det(\mathbf{F}(\boldsymbol{\pi}, \mathbf{q}(\cdot)))$

D-최적 설계는 CRLB 타원체의 체적을 최소화한다. 푸리에 급수 기반의 주기적 궤적이 실용적 여기 궤적으로 널리 사용된다.

6. 식별 가능성 분석

모든 관성 파라미터가 관측 데이터만으로 식별 가능한 것은 아니다. 회귀 행렬의 계수(rank) 분석에 의해 식별 가능한 기저 관성 파라미터(base inertial parameter)의 집합이 결정된다. 식별 불가능한 파라미터는 선형 결합 형태로만 나타나며, 개별 값의 추정이 불가능하다.

7. 수치적 해법

선형 회귀: 관성 파라미터와 같이 선형 문제는 정규 방정식의 해석적 해가 존재한다.

비선형 최소 제곱: 기구학적 파라미터와 카메라 캘리브레이션에서 레벤버그-마쿼트 알고리즘이 표준이다.

강건 추정: 이상치의 영향을 줄이기 위해 강건 비용 함수(후버, 코시 등)를 사용하는 M-추정이 적용된다.

8. 불확실성의 정량화

MLE의 점근적 정규성에 의해 추정 오차의 공분산은 역 FIM으로 근사된다.

$\text{Cov}(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{MLE}) \approx \mathbf{F}(\hat{\boldsymbol{\theta}}_{MLE})^{-1}$

이는 추정 파라미터의 신뢰 구간과 상관 구조를 제공하며, 파라미터의 신뢰도 평가에 활용된다.

9. 참고 문헌

Khalil, W., & Dombre, E. (2002). Modeling, Identification and Control of Robots. Hermes Penton.
Hollerbach, J. M., Khalil, W., & Gautier, M. (2016). “Model Identification.” In Springer Handbook of Robotics (2nd ed.), 113–138. Springer.
Swevers, J., Verdonck, W., & De Schutter, J. (2007). “Dynamic Model Identification for Industrial Robots.” IEEE Control Systems Magazine, 27(5), 58–71.
Zhang, Z. (2000). “A Flexible New Technique for Camera Calibration.” IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22(11), 1330–1334.

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