8.4 조건부 확률의 정의와 계산

1. 조건부 확률의 정의

사건 $B$ 가 발생한 것이 알려진 조건에서 사건 $A$ 가 발생할 확률을 조건부 확률(conditional probability)이라 하며, $P(B) > 0$ 일 때 다음과 같이 정의한다.

$P(A \vert B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

기하학적으로, 조건부 확률은 표본 공간을 $\Omega$ 에서 $B$ 로 축소하고, $B$ 내에서 $A$ 가 차지하는 비율을 계산하는 것에 해당한다. $P(B)$ 로 나누는 것은 축소된 표본 공간 $B$ 에서 전체 확률이 1이 되도록 정규화하는 역할을 한다.

2. 조건부 확률의 확률 공리 만족

고정된 $B$ ( $P(B) > 0$ )에 대해 $P(\cdot \vert B)$ 는 콜모고로프의 확률 공리를 만족하는 유효한 확률 측도이다.

비음성: $P(A \vert B) \geq 0$
정규성: $P(\Omega \vert B) = 1$
가산 가법성: 배반 사건 $A_1, A_2, \ldots$ 에 대해 $P(\bigcup_i A_i \vert B) = \sum_i P(A_i \vert B)$

따라서 비조건부 확률에 대해 성립하는 모든 성질(덧셈 법칙, 여사건 공식 등)이 조건부 확률에서도 동일하게 성립한다.

3. 곱셈 법칙(Multiplication Rule)

조건부 확률의 정의를 재배열하면 곱셈 법칙을 얻는다.

$P(A \cap B) = P(A \vert B)P(B) = P(B \vert A)P(A)$

$n$ 개 사건의 교집합으로 확장하면 연쇄 법칙(chain rule of probability)이 된다.

$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)P(A_2 \vert A_1)P(A_3 \vert A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n \vert A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})$

이 연쇄 법칙은 베이즈 네트워크(Bayesian network)에서 결합 확률 분포를 조건부 확률의 곱으로 분해하는 데 핵심적으로 사용된다.

4. 전체 확률 법칙(Law of Total Probability)

$B_1, B_2, \ldots, B_n$ 이 $\Omega$ 의 분할이면:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \vert B_i)P(B_i)$

이 법칙은 원인 $B_i$ 별로 결과 $A$ 의 확률을 합산하여 총 확률을 구하는 것으로, “모든 가능한 경우를 고려한” 확률 계산이다.

4.1 연속 형태

$B$ 가 연속 확률 변수 $X$ 에 의해 매개변수화되면:

$P(A) = \int_{-\infty}^{\infty} P(A \vert X = x)f_X(x) \, dx$

5. 로봇 공학에서의 조건부 확률

5.1 센서 모델

센서 관측 $\mathbf{z}$ 가 상태 $\mathbf{x}$ 에 의존하는 확률적 관계는 조건부 확률(가능도, likelihood)로 표현된다.

$p(\mathbf{z} \vert \mathbf{x}) = \text{센서 모델}$

예를 들어, 거리 센서가 참 거리 $d$ 에 대해 가우시안 잡음으로 측정하면:

$p(z \vert d) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(z - d)^2}{2\sigma^2}\right)$

5.2 동역학 모델(전이 모델)

상태 $\mathbf{x}_t$ 에서 제어 $\mathbf{u}_t$ 를 적용했을 때 다음 상태 $\mathbf{x}_{t+1}$ 의 조건부 확률이 전이 모델이다.

$p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t, \mathbf{u}_t) = \text{전이 모델}$

이 모델은 프로세스 잡음에 의한 상태 전이의 불확실성을 기술한다.

5.3 베이즈 필터의 재귀

베이즈 필터에서 조건부 확률은 다음의 재귀적 갱신에서 핵심 역할을 한다.

예측 단계:

$p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{z}_{1:t}) = \int p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{x}_t, \mathbf{u}_t) p(\mathbf{x}_t \vert \mathbf{z}_{1:t}) \, d\mathbf{x}_t$

갱신 단계:

$p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{z}_{1:t+1}) = \frac{p(\mathbf{z}_{t+1} \vert \mathbf{x}_{t+1}) p(\mathbf{x}_{t+1} \vert \mathbf{z}_{1:t})}{p(\mathbf{z}_{t+1} \vert \mathbf{z}_{1:t})}$

이 재귀 구조는 전체 확률 법칙(예측)과 베이즈 정리(갱신)의 교대 적용이다.

6. 독립성과 조건부 독립성

6.1 사건의 독립성

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ 이면 $A$ 와 $B$ 는 독립이다. 이는 $P(A \vert B) = P(A)$ 와 동치이다.

6.2 조건부 독립성

사건 $C$ 가 주어졌을 때 $A$ 와 $B$ 가 조건부 독립이란:

$P(A \cap B \vert C) = P(A \vert C)P(B \vert C)$

조건부 독립은 확률론적 로봇 공학에서 핵심적 가정이다. 예를 들어, 로봇의 상태가 알려지면 서로 다른 센서의 관측이 조건부 독립이라고 가정하는 것이 칼만 필터와 베이즈 필터의 기본 전제이다.

7. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.

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