8.3 확률의 덧셈 법칙과 여사건

1. 확률의 덧셈 법칙

1.1 배반 사건의 덧셈 법칙

사건 $A$ 와 $B$ 가 배반( $A \cap B = \emptyset$ )이면, 합사건의 확률은 각 사건의 확률의 합이다.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

이는 콜모고로프의 제3 공리(가산 가법성)의 직접적 귀결이다. 유한 개의 배반 사건 $A_1, \ldots, A_n$ 에 대해 다음과 같이 확장된다.

$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$

1.2 일반 덧셈 법칙(포함-배제 원리)

배반이 아닌 일반적 사건에 대해, 합사건의 확률은 다음과 같다.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

교집합 $A \cap B$ 의 확률을 빼는 것은 겹치는 부분이 두 번 계산되는 것을 보정하기 위함이다.

세 사건에 대한 포함-배제 원리:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

일반적으로 $n$ 개의 사건에 대해:

$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i} P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n+1}P\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right)$

2. 여사건(Complement)

2.1 여사건의 확률

사건 $A$ 의 여사건 $A^c$ 는 $A$ 가 발생하지 않는 사건이다. $A$ 와 $A^c$ 는 배반이고 $A \cup A^c = \Omega$ 이므로:

$P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1$

따라서:

$P(A^c) = 1 - P(A)$

2.2 여사건의 활용

직접 $P(A)$ 를 구하기 어려울 때, $P(A^c)$ 를 먼저 계산하고 $P(A) = 1 - P(A^c)$ 를 이용하는 것이 효율적인 경우가 많다.

예: 로봇이 $n$ 번의 독립적 시도에서 적어도 한 번 성공할 확률은, 모두 실패할 확률의 여사건이다.

$P(\text{적어도 1회 성공}) = 1 - P(\text{모두 실패}) = 1 - (1-p)^n$

여기서 $p$ 는 각 시도의 성공 확률이다.

3. 부울 부등식과 확률의 상한/하한

3.1 부울 부등식(Boole’s Inequality, Union Bound)

임의의 사건 $A_1, A_2, \ldots$ 에 대해:

$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$

등호는 사건들이 모두 배반일 때 성립한다. 이 부등식은 합사건의 확률에 대한 상한을 제공하며, 로봇 공학에서 다수의 고장 모드(failure mode)의 총 고장 확률을 보수적으로 추정하는 데 사용된다.

3.2 본페로니 부등식(Bonferroni Inequality)

포함-배제 원리를 짝수/홀수 항에서 절단하면 상한과 하한이 교대로 산출된다.

$P\left(\bigcup_{i} A_i\right) \geq \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j)$

이는 합사건 확률의 하한을 제공한다.

4. 표본 공간의 분할과 전체 확률 법칙

4.1 분할(Partition)

사건 $B_1, B_2, \ldots, B_n$ 이 표본 공간의 분할이란, $B_i \cap B_j = \emptyset$ ( $i \neq j$ )이고 $\bigcup_{i=1}^{n} B_i = \Omega$ 인 경우이다.

4.2 전체 확률 법칙(Law of Total Probability)

$B_1, \ldots, B_n$ 이 $\Omega$ 의 분할이면, 임의의 사건 $A$ 에 대해:

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A \vert B_i)P(B_i)$

로봇 공학에서 상태 공간을 유한 개의 영역으로 분할하고, 각 영역에서의 조건부 확률을 합산하여 전체 확률을 계산하는 데 활용된다.

5. 로봇 공학에서의 응용 예

5.1 센서 고장 확률

$n$ 개의 독립적 센서가 각각 고장 확률 $p_i$ 를 갖을 때, 적어도 하나가 고장날 확률은:

$P(\text{적어도 1개 고장}) = 1 - \prod_{i=1}^{n}(1 - p_i)$

모든 센서가 동일 고장률 $p$ 를 가지면 $= 1 - (1-p)^n$ 이다.

5.2 장애물 감지 확률

다수의 센서 빔 중 적어도 하나가 장애물을 감지하는 사건의 확률은, 부울 부등식으로 상한을 추정하거나, 독립 가정하에 여사건으로 정확히 계산한다.

5.3 충돌 확률

궤적의 각 시간 단계에서 충돌 확률이 $p_k$ 이고 독립이면, 전체 궤적에서 충돌이 발생하지 않을 확률은:

$P(\text{충돌 없음}) = \prod_{k=1}^{N}(1 - p_k)$

충돌 없음의 확률을 안전 한계 $1 - \delta$ 이상으로 유지하기 위한 각 시간 단계의 최대 허용 충돌 확률이 결정된다.

6. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). Oxford University Press.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.

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