8.21 카이제곱 분포와 t 분포

1. 카이제곱 분포(Chi-Squared Distribution)

$n$ 개의 독립 표준 정규 확률 변수 $Z_1, \ldots, Z_n \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 의 제곱합이 자유도 $n$ 의 카이제곱 분포를 따른다.

$Q = \sum_{i=1}^{n}Z_i^2 \sim \chi^2_n$

PDF: $f_Q(q) = \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}q^{n/2-1}e^{-q/2}$ , $q \geq 0$

$\mathbb{E}[Q] = n, \quad \text{Var}(Q) = 2n$

$Q_1 \sim \chi^2_{n_1}$ 과 $Q_2 \sim \chi^2_{n_2}$ 가 독립이면 $Q_1 + Q_2 \sim \chi^2_{n_1 + n_2}$ 이다.

$\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 이면 마할라노비스 거리의 제곱이 카이제곱을 따른다.

$(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) \sim \chi^2_n$

필터 일관성 검증: 칼만 필터의 정규화된 혁신 제곱합(NIS)이 $\chi^2_m$ ( $m$ 은 관측 차원)을 따르는지 검사하여 필터의 일관성을 평가한다. NIS의 시간 평균이 $m$ 에 가까우면 필터가 일관적이다.

데이터 연관의 문(gate): 관측-랜드마크 대응에서 마할라노비스 거리의 제곱이 $\chi^2_n$ 의 $(1-\alpha)$ -분위수보다 작으면 대응 후보로 수용한다.

적합도 검정: 최소 제곱 추정의 잔차 제곱합이 $\chi^2_{m-n}$ ( $m$ 은 관측 수, $n$ 은 파라미터 수)를 따르는지 검사한다.

$Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 과 $V \sim \chi^2_\nu$ 가 독립일 때, 다음의 비가 자유도 $\nu$ 의 t 분포를 따른다.

$T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \sim t_\nu$

PDF: $f_T(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\nu/2)}\left(1 + \frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}$

$\mathbb{E}[T] = 0 \; (\nu > 1), \quad \text{Var}(T) = \frac{\nu}{\nu - 2} \; (\nu > 2)$

$\nu \to \infty$ 이면 t 분포는 표준 정규 분포에 수렴한다. $\nu$ 가 작으면 꼬리(tail)가 정규 분포보다 두꺼워(heavier tail), 극단값의 발생 확률이 높다.

강건 추정: 센서 잡음이 가우시안보다 두꺼운 꼬리를 가지는 경우(이상치 존재), t 분포가 더 적절한 잡음 모델이다. t 분포 기반 최대 가능도 추정은 이상치에 대해 가우시안 기반 추정보다 강건하다.

소표본 통계 추론: 데이터 수가 적을 때( $n < 30$ ), 모평균에 대한 신뢰 구간과 검정에서 정규 분포 대신 t 분포가 사용된다.

$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}$

다변량 t 분포: 로봇 공학에서 이상치에 강건한 상태 추정을 위해 다변량 t 분포가 가우시안 대신 사용되기도 한다.

두 독립 카이제곱 확률 변수의 비가 F 분포를 따른다.

$F = \frac{V_1/n_1}{V_2/n_2} \sim F_{n_1, n_2}$

분산의 비 검정, 회귀 분석의 유의성 검정에 사용된다. 로봇 캘리브레이션에서 서로 다른 모델의 적합도를 비교하는 F 검정이 활용된다.

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Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
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