8.2 표본 공간과 사건의 정의

1. 표본 공간(Sample Space)

표본 공간 $\Omega$ 는 확률 실험(random experiment)에서 가능한 모든 결과(outcome)의 집합이다. 각 원소 $\omega \in \Omega$ 를 표본점(sample point)이라 한다.

1.1 이산 표본 공간

원소의 수가 유한하거나 가산 무한인 경우이다.

유한 표본 공간: 이진 접촉 센서의 결과 $\Omega = \{접촉, 비접촉\}$ , 주사위 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

가산 무한 표본 공간: 로봇이 목표에 도달하기까지의 시도 횟수 $\Omega = \{1, 2, 3, \ldots\}$ .

1.2 연속 표본 공간

원소가 비가산 무한인 경우이다. 로봇 공학에서 대부분의 물리량은 연속 표본 공간을 갖는다.

1차원: 거리 센서의 측정값 $\Omega = [0, d_{\max}]$ , 관절 각도 $\Omega = [q_{\min}, q_{\max}]$ .

다차원: 로봇의 위치 $\Omega = \mathbb{R}^2$ 또는 $\mathbb{R}^3$ , 6자유도 자세 $\Omega = SE(3)$ .

1.3 곱 표본 공간

독립적인 확률 실험의 결합에 의해 곱 표본 공간(product sample space)이 구성된다. $n$ 개의 센서가 각각 표본 공간 $\Omega_1, \ldots, \Omega_n$ 을 가지면, 결합 표본 공간은 $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$ 이다.

2. 사건(Event)

사건은 표본 공간의 부분 집합으로, 관심 있는 결과의 모임이다. 수학적으로 사건 $A$ 는 $A \subseteq \Omega$ 이다.

2.1 기본 사건과 복합 사건

기본 사건(elementary event): 단일 표본점으로 구성된 사건 $\{\omega\}$ .

복합 사건(compound event): 둘 이상의 표본점을 포함하는 사건.

2.2 특수한 사건

확실 사건(certain event): $\Omega$ 자체. 반드시 발생하는 사건이다.

불가능 사건(impossible event): 공집합 $\emptyset$ . 절대로 발생하지 않는 사건이다.

2.3 사건의 연산

합사건(union): $A \cup B$ 는 $A$ 또는 $B$ (또는 둘 다) 발생하는 사건이다.

곱사건(intersection): $A \cap B$ 는 $A$ 와 $B$ 가 동시에 발생하는 사건이다.

여사건(complement): $A^c = \Omega \setminus A$ 는 $A$ 가 발생하지 않는 사건이다.

차사건(difference): $A \setminus B = A \cap B^c$ 는 $A$ 가 발생하지만 $B$ 는 발생하지 않는 사건이다.

2.4 배반 사건(Mutually Exclusive Events)

$A \cap B = \emptyset$ 이면 $A$ 와 $B$ 는 배반(mutually exclusive) 또는 상호 배타적이라 한다. 배반 사건은 동시에 발생할 수 없다.

3. $\sigma$ -대수와 사건 공간

3.1 $\sigma$ -대수의 필요성

연속 표본 공간에서 모든 부분 집합에 확률을 일관되게 할당하는 것이 불가능한 경우가 있다(비가측 집합의 존재). $\sigma$ -대수 $\mathcal{F}$ 는 확률을 할당할 수 있는 사건의 “적법한” 집합족을 정의한다.

3.2 $\sigma$ -대수의 정의

$\Omega$ 의 부분 집합들의 모임 $\mathcal{F}$ 가 다음을 만족하면 $\sigma$ -대수이다.

$\Omega \in \mathcal{F}$
$A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$
$A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$

3.3 보렐 $\sigma$ -대수

$\mathbb{R}^n$ 의 표준 $\sigma$ -대수는 보렐(Borel) $\sigma$ -대수 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 로, 모든 열린 집합을 포함하는 가장 작은 $\sigma$ -대수이다. 로봇 공학에서 다루는 연속 확률 변수의 사건 공간은 통상 보렐 $\sigma$ -대수이다.

4. 로봇 공학에서의 표본 공간과 사건의 예

센서 측정: 라이다(LiDAR) 스캔의 결과는 $\Omega = \mathbb{R}_+^n$ ( $n$ 개 빔의 거리값). 사건 “장애물 감지“는 $A = \{\boldsymbol{\omega} \in \Omega : \min_i \omega_i < d_{th}\}$ 이다.

로봇 위치 추정: 로봇의 가능한 위치 집합은 $\Omega = \mathbb{R}^2$ (평면) 또는 $\Omega = SE(2)$ (위치와 방향). 사건 “목표 영역 내 존재“는 $A = \{\mathbf{x} \in \Omega : \lVert \mathbf{x} - \mathbf{x}_{goal} \rVert < r\}$ 이다.

관절 상태: $n$ 자유도 로봇의 관절 공간은 $\Omega = \prod_{i=1}^{n}[q_{i,\min}, q_{i,\max}]$ . 사건 “관절 한계 근접“은 $A = \{\mathbf{q} : \exists i, \lvert q_i - q_{i,\max}\rvert < \delta \text{ or } \lvert q_i - q_{i,\min}\rvert < \delta\}$ 이다.

5. 가측 공간과 확률 공간

$(\Omega, \mathcal{F})$ 를 가측 공간(measurable space)이라 하고, 여기에 확률 측도 $P$ 를 부여한 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 를 확률 공간(probability space)이라 한다. 확률 공간은 확률론적 모델링의 완전한 수학적 기반을 제공한다.

6. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Grimmett, G. R., & Stirzaker, D. R. (2001). Probability and Random Processes (3rd ed.). Oxford University Press.
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.
Billingsley, P. (1995). Probability and Measure (3rd ed.). Wiley.

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