8.18 표준 정규 분포와 Z 변환

1. 표준 정규 분포의 정의

표준 정규 분포(standard normal distribution)는 평균 $\mu = 0$ , 분산 $\sigma^2 = 1$ 인 정규 분포이다.

$\phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right), \quad -\infty < z < \infty$

여기서 $\phi(z)$ 는 표준 정규 분포의 PDF를 나타내는 표준 표기이다. CDF는 $\Phi(z) = \int_{-\infty}^{z}\phi(t) \, dt$ 로 표기한다.

2. Z 변환(표준화 변환)

임의의 정규 분포 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 를 표준 정규 분포로 변환하는 것을 Z 변환 또는 표준화(standardization)라 한다.

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

이 변환에 의해 모든 정규 분포의 확률 계산이 표준 정규 분포의 CDF $\Phi$ 로 통일적으로 수행된다.

$P(a \leq X \leq b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$

3. 표준 정규 CDF의 성질

$\Phi(z)$ 는 해석적 폐쇄형(closed form)이 존재하지 않으며, 수치 테이블, 근사 함수, 또는 오차 함수(error function)로 평가한다.

$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$

대칭성: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$

주요 값:

$\Phi(0) = 0.5$
$\Phi(1.645) \approx 0.95$
$\Phi(1.96) \approx 0.975$
$\Phi(2.576) \approx 0.995$

4. 분위수와 신뢰 구간

4.1 표준 정규 분위수

$z_\alpha$ 를 $\Phi(z_\alpha) = 1 - \alpha$ 인 값으로 정의한다. 즉, $P(Z > z_\alpha) = \alpha$ 이다.

$z_{0.05} = 1.645$ (단측 5%)
$z_{0.025} = 1.96$ (양측 5%)
$z_{0.005} = 2.576$ (양측 1%)

4.2 정규 분포의 신뢰 구간

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 에서 $(1 - \alpha)$ 신뢰 구간:

$P\left(\mu - z_{\alpha/2}\sigma \leq X \leq \mu + z_{\alpha/2}\sigma\right) = 1 - \alpha$

95% 신뢰 구간: $[\mu - 1.96\sigma, \mu + 1.96\sigma]$

5. 마할라노비스 거리와 카이제곱 분포

다변량 정규 분포 $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ 에서 마할라노비스 거리의 제곱은 카이제곱 분포를 따른다.

$(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu}) \sim \chi^2_n$

여기서 $n$ 은 차원이다. 이 성질은 다변량 정규 분포에서 확률 영역(confidence region)을 타원체로 정의하는 데 사용된다. $(1-\alpha)$ 확률 타원체의 경계는 $\chi^2_n$ 의 $(1-\alpha)$ -분위수 $\chi^2_{n,\alpha}$ 에 의해 결정된다.

$\{\mathbf{x} : (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) \leq \chi^2_{n,\alpha}\}$

6. 로봇 공학에서의 응용

6.1 이상치 탐지

센서 관측 $z$ 가 예측값 $\hat{z}$ 와 크게 다른지를 Z 변환으로 판정한다. 정규화된 잔차 $\lvert(z - \hat{z})/\sigma\rvert$ 가 임계값(통상 3)을 초과하면 이상치로 판정한다. 이는 $P(\lvert Z \rvert > 3) \approx 0.27\%$ 에 해당하므로, 매우 드문 관측이다.

6.2 칼만 필터의 혁신 검정

칼만 필터의 혁신(innovation) $\boldsymbol{\nu}_t = \mathbf{z}_t - \hat{\mathbf{z}}_t$ 는 필터가 올바르면 $\boldsymbol{\nu}_t \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{S}_t)$ 를 따른다. 정규화된 혁신 제곱합(Normalized Innovation Squared, NIS) $\boldsymbol{\nu}_t^T\mathbf{S}_t^{-1}\boldsymbol{\nu}_t$ 가 $\chi^2_m$ ( $m$ 은 관측 차원)을 따르는지 검증하여 필터의 일관성(consistency)을 평가한다.

6.3 확률적 안전 한계

로봇의 위치 오차가 정규 분포를 따를 때, Z 변환에 의해 안전 마진을 확률적으로 결정한다. 99.7% 안전 확률을 위해 $3\sigma$ 마진을 설정한다.

7. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Barfoot, T. D. (2017). State Estimation for Robotics. Cambridge University Press.
Bar-Shalom, Y., Li, X. R., & Kirubarajan, T. (2001). Estimation with Applications to Tracking and Navigation. Wiley.

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