8.16 균일 분포와 지수 분포

1. 균일 분포(Uniform Distribution)

구간 $[a, b]$ 에서 모든 값이 동일한 확률 밀도를 갖는 분포이다.

$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

$X \sim U(a, b)$ 로 표기한다.

기본 통계량: $\mathbb{E}[X] = \frac{a+b}{2}$ , $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$

CDF: $F_X(x) = \frac{x-a}{b-a}$ , $a \leq x \leq b$

$n$ 차원 영역 $\mathcal{R} \subset \mathbb{R}^n$ 에서의 균일 분포:

$f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \begin{cases} \frac{1}{\text{Vol}(\mathcal{R})} & \mathbf{x} \in \mathcal{R} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

비정보적 사전 분포: 파라미터에 대한 사전 지식이 없을 때 균일 분포를 사전 분포로 사용한다.

무작위 샘플링: RRT, PRM 등의 샘플링 기반 경로 계획에서 자유 공간 내의 균일 무작위 샘플을 생성한다.

역변환 샘플링의 기초: $U \sim U(0, 1)$ 에서 $X = F_X^{-1}(U)$ 로 임의의 분포를 생성한다.

양자화 잡음: 아날로그-디지털 변환기의 양자화 오차가 $U(-\Delta/2, \Delta/2)$ 로 근사된다( $\Delta$ 는 양자화 간격).

지수 분포는 비율 매개변수 $\lambda > 0$ 을 갖는 연속 분포이다.

$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$

$X \sim \text{Exp}(\lambda)$ 로 표기한다.

CDF: $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ , $x \geq 0$

기본 통계량: $\mathbb{E}[X] = 1/\lambda$ , $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$

지수 분포는 연속 분포 중 유일하게 무기억 성질(memoryless property)을 갖는다.

$P(X > s + t \vert X > s) = P(X > t), \quad \forall s, t \geq 0$

시간 $s$ 만큼 경과한 후에도, 잔여 수명의 분포가 처음과 동일하다. 이는 구성 요소의 노화(aging)가 없는 이상적 모델에 해당한다.

비율 $\lambda$ 의 포아송 과정에서 연속 사건 간의 시간 간격(interarrival time)이 $\text{Exp}(\lambda)$ 를 따른다. 또한 포아송 과정에서 다음 사건까지의 대기 시간도 지수 분포이다.

독립인 지수 확률 변수 $X_i \sim \text{Exp}(\lambda_i)$ 의 최소값도 지수 분포이다.

$\min(X_1, \ldots, X_n) \sim \text{Exp}\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\right)$

이 성질은 병렬 시스템의 수명 분석에 유용하다.

센서/부품 수명 모델: 구성 요소의 수명이 지수 분포를 따르면, 고장률(failure rate) $\lambda$ 이 시간에 무관한 상수이다. 이는 “무작위 고장”(부품 노화와 무관한 고장)을 모델링한다.

서비스 시간 모델: 로봇이 하나의 작업을 완료하는 데 소요되는 시간이 지수 분포로 근사되는 경우가 있으며, 큐잉 이론의 M/M/1 모델에서 사용된다.

사건 기반 센서의 시간 모델: 포아송 과정으로 모델링되는 이벤트 스트림에서 이벤트 간 시간이 지수 분포이다.

$r$ 개의 독립 지수 확률 변수의 합이 감마 분포를 따른다.

$\sum_{i=1}^{r}X_i \sim \text{Gamma}(r, \lambda)$

지수 분포의 일반화로, 시간에 따라 변하는 고장률을 모델링한다.

$f_X(x) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}\exp\left(-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\right)$

형상 매개변수 $k > 0$ 에 의해 고장률이 증가( $k > 1$ ), 일정( $k = 1$ , 지수 분포), 감소( $k < 1$ )하는 경우를 모두 포괄한다.

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
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