8.15 기하 분포와 음이항 분포

1. 기하 분포(Geometric Distribution)

기하 분포는 성공 확률 $p$ 인 독립적 베르누이 시행을 반복할 때, 첫 번째 성공이 발생하기까지의 시행 횟수 $X$ 의 분포이다.

$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$

대안적 정의로, 첫 번째 성공 이전의 실패 횟수 $Y = X - 1$ 을 사용하면:

$P(Y = k) = (1-p)^k p, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

$\mathbb{E}[X] = \frac{1}{p}, \quad \text{Var}(X) = \frac{1-p}{p^2}$

기하 분포는 이산 분포 중 유일하게 무기억 성질을 갖는다.

$P(X > m + n \vert X > m) = P(X > n)$

이는 $m$ 번 실패 후에도 앞으로의 성공까지의 시행 횟수 분포가 처음과 동일함을 의미한다.

반복 시도 문제: 로봇이 물체를 성공적으로 파지할 때까지의 시도 횟수. 각 시도의 성공 확률이 $p$ 이면 평균 $1/p$ 회의 시도가 필요하다.

패킷 전송: 무선 통신에서 성공적 전송까지의 시도 횟수. 자동 재전송 요청(ARQ) 프로토콜의 분석에 사용된다.

음이항 분포는 성공 확률 $p$ 인 독립적 시행에서 $r$ 번째 성공이 발생하기까지의 시행 횟수 $X$ 의 분포이다.

$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, r+2, \ldots$

$r = 1$ 이면 기하 분포로 환원된다. $X \sim \text{NB}(r, p)$ 로 표기한다.

$r$ 번째 성공 이전의 실패 횟수 $Y = X - r$ 로 정의하면:

$P(Y = k) = \binom{k + r - 1}{k}p^r(1-p)^k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

이 형태에서 $r$ 은 양의 실수로 확장 가능하며, 이 경우 $\binom{k+r-1}{k} = \frac{\Gamma(k+r)}{k!\Gamma(r)}$ 로 일반화된다.

$\mathbb{E}[X] = \frac{r}{p}, \quad \text{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

분산이 평균보다 크므로( $\text{Var}(X)/\mathbb{E}[X] = (1-p)/p > 0$ ), 포아송 분포에서 관찰되는 등분산( $\text{Var} = \mathbb{E}$ )보다 큰 과분산(overdispersion)을 모델링할 수 있다.

$r$ 개의 독립 기하 확률 변수의 합이 음이항 분포를 따른다. $X_i \sim \text{Geom}(p)$ 가 독립이면:

$\sum_{i=1}^{r} X_i \sim \text{NB}(r, p)$

음이항 분포는 포아송 분포의 비율 매개변수가 감마 분포를 따르는 혼합으로 표현된다.

$X \vert \Lambda \sim \text{Pois}(\Lambda), \quad \Lambda \sim \text{Gamma}(r, \beta)$

이 혼합 해석은 관측 빈도에서의 개체 간 변동(heterogeneity)을 모델링하는 데 유용하다.

목표 달성까지의 다중 단계: 로봇이 $r$ 개의 부품을 모두 성공적으로 조립하기까지의 시도 횟수. 각 부품의 조립 성공률이 $p$ 이면 총 시도 횟수가 음이항 분포를 따른다.

과분산 카운트 데이터: 센서 이벤트의 발생 빈도가 포아송보다 큰 분산을 보이는 경우, 음이항 분포가 더 적절한 모델을 제공한다.

신뢰도 분석: $r$ 번째 고장이 발생하기까지의 검사 횟수의 분포가 음이항이다.

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
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