8.10 확률 질량 함수와 이산 확률 변수

1. 확률 질량 함수의 정의

이산 확률 변수 $X$ 가 가능한 값의 집합 $\mathcal{X} = \{x_1, x_2, \ldots\}$ 를 가질 때, 확률 질량 함수(Probability Mass Function, PMF) $p_X: \mathcal{X} \to [0, 1]$ 는 다음과 같이 정의된다.

$p_X(x) = P(X = x), \quad x \in \mathcal{X}$

PMF는 다음의 성질을 만족한다.

비음성: $p_X(x) \geq 0$ , $\forall x$
정규화: $\sum_{x \in \mathcal{X}} p_X(x) = 1$

2. 주요 이산 확률 분포

2.1 베르누이 분포(Bernoulli Distribution)

단일 이진 시행의 결과를 모델링한다.

$p_X(x) = \begin{cases} p & x = 1 \\ 1 - p & x = 0 \end{cases}$

여기서 $p \in [0, 1]$ 은 성공 확률이다. $\mathbb{E}[X] = p$ , $\text{Var}(X) = p(1-p)$ .

응용: 접촉 센서의 출력, 이진 분류 결과, 통신 패킷의 수신/미수신.

2.2 이항 분포(Binomial Distribution)

$n$ 번의 독립적 베르누이 시행에서 성공 횟수 $X$ 의 분포이다.

$p_X(k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

$\mathbb{E}[X] = np$ , $\text{Var}(X) = np(1-p)$ .

응용: $n$ 개 센서 중 정상 작동 센서의 수, $n$ 번 시도 중 성공 횟수.

2.3 포아송 분포(Poisson Distribution)

단위 시간(또는 공간) 내 드물게 발생하는 사건의 횟수를 모델링한다.

$p_X(k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

여기서 $\lambda > 0$ 은 단위 시간당 평균 발생 횟수이다. $\mathbb{E}[X] = \lambda$ , $\text{Var}(X) = \lambda$ .

응용: 단위 시간당 센서 고장 횟수, 단위 면적당 특징점의 수, 통신 패킷 도착 횟수.

2.4 기하 분포(Geometric Distribution)

첫 번째 성공까지의 시행 횟수의 분포이다.

$p_X(k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$

$\mathbb{E}[X] = 1/p$ , $\text{Var}(X) = (1-p)/p^2$ .

응용: 로봇이 물체를 성공적으로 파지하기까지의 시도 횟수.

2.5 범주형 분포(Categorical Distribution)

$K$ 개의 범주 중 하나를 선택하는 분포이다.

$P(X = k) = \pi_k, \quad k = 1, \ldots, K, \quad \sum_{k=1}^{K}\pi_k = 1$

응용: 물체 분류 결과, 이산 동작 모드의 선택, 격자 기반 위치 추정.

3. 이산 확률 변수의 기대값과 분산

3.1 기대값(Expectation)

$\mathbb{E}[X] = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \cdot p_X(x)$

함수 $g(X)$ 의 기대값:

$\mathbb{E}[g(X)] = \sum_{x \in \mathcal{X}} g(x) \cdot p_X(x)$

3.2 분산(Variance)

$\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$

4. 결합 PMF와 주변 PMF

두 이산 확률 변수 $X$ , $Y$ 의 결합 PMF:

$p_{X,Y}(x, y) = P(X = x, Y = y)$

주변(marginal) PMF:

$p_X(x) = \sum_y p_{X,Y}(x, y)$

5. 로봇 공학에서의 이산 확률 변수 활용

격자 기반 필터: 상태 공간을 이산 격자로 분할하면, 상태의 확률 분포가 PMF로 표현된다. 히스토그램 필터(histogram filter)에서 각 격자 셀의 확률을 갱신한다.

마르코프 결정 과정(MDP): 이산 상태 공간과 이산 행동 공간을 갖는 MDP에서 전이 확률과 보상이 PMF로 정의된다.

혼합 모델의 인덱스: 가우시안 혼합에서 성분 인덱스 $Z \in \{1, \ldots, K\}$ 가 범주형 분포를 따르며, PMF $\pi_k = P(Z = k)$ 가 혼합 가중치이다.

6. 참고 문헌

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.
Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.
Thrun, S., Burgard, W., & Fox, D. (2005). Probabilistic Robotics. MIT Press.

version: 1.0