7.9 고차 편도함수와 클레로 정리

1. 고차 편도함수의 정의

1.1 차 편도함수

함수 f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}의 1차 편도함수 \frac{\partial f}{\partial x_i}가 다시 편미분 가능하면, 2차 편도함수를 정의할 수 있다.

\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)

이 표기에서 미분의 순서는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다. 즉, 먼저 x_i에 대해 미분하고 그 다음 x_j에 대해 미분한다.

2변수 함수 f(x, y)의 경우 네 가지 2차 편도함수가 존재한다.

f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

여기서 f_{xy}와 f_{yx}를 혼합 편도함수(mixed partial derivative)라 한다.

예제: f(x, y) = x^3y^2 + \sin(xy)

f_x = 3x^2y^2 + y\cos(xy)

f_{xx} = 6xy^2 - y^2\sin(xy)

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + y\cos(xy)) = 6x^2y + \cos(xy) - xy\sin(xy)

f_y = 2x^3y + x\cos(xy)

f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x\cos(xy)) = 6x^2y + \cos(xy) - xy\sin(xy)

이 예에서 f_{xy} = f_{yx}가 성립한다.

1.2 k차 편도함수

k차 편도함수는 다중 인덱스(multi-index) \boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)을 사용하여 표기한다.

D^{\boldsymbol{\alpha}} f = \frac{\partial^{\lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert} f}{\partial x_1^{\alpha_1} \partial x_2^{\alpha_2} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}}

여기서 \lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n은 총 미분 차수이다. n변수 함수의 k차 편도함수의 총 개수는 n^k이지만, 클레로 정리에 의해 미분 순서가 무관한 경우 서로 다른 편도함수의 수는 \binom{n+k-1}{k}으로 줄어든다.

2. 클레로 정리 (슈바르츠 정리)

2.1 정리의 진술

클레로 정리 (Clairaut’s theorem, 또는 슈바르츠 정리 Schwarz’s theorem):

f의 혼합 편도함수 \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}와 \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}가 점 \mathbf{a}의 근방에서 존재하고 그 점에서 연속이면:

\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(\mathbf{a}) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{a})

즉, 2차 혼합 편도함수가 연속이면 편미분의 순서를 교환할 수 있다.

2.2 증명의 개요

2변수 함수 f(x, y)에 대해, 점 (a, b)에서 f_{xy}와 f_{yx}가 연속이면 f_{xy}(a,b) = f_{yx}(a,b)임을 보인다.

보조 함수를 정의한다.

\Delta(h, k) = f(a+h, b+k) - f(a+h, b) - f(a, b+k) + f(a, b)

g(x) = f(x, b+k) - f(x, b)로 놓으면 \Delta(h, k) = g(a+h) - g(a)이다. 평균값 정리를 적용하면 a와 a+h 사이에 \xi가 존재하여:

\Delta(h, k) = h \cdot g'(\xi) = h\left[f_x(\xi, b+k) - f_x(\xi, b)\right]

다시 평균값 정리를 적용하면 b와 b+k 사이에 \eta가 존재하여:

\Delta(h, k) = hk \cdot f_{xy}(\xi, \eta)

같은 방법으로 \phi(y) = f(a+h, y) - f(a, y)를 도입하면:

\Delta(h, k) = hk \cdot f_{yx}(\xi', \eta')

를 얻는다. 따라서:

f_{xy}(\xi, \eta) = f_{yx}(\xi', \eta')

h, k \to 0으로 보내면 \xi, \eta \to a, b이고 \xi', \eta' \to a, b이며, f_{xy}와 f_{yx}의 연속성에 의해:

f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)

\square

2.3 일반화

클레로 정리는 임의의 차수로 확장된다. f의 k계까지의 편도함수가 모두 연속이면 (f \in C^k), k차 이하의 편도함수에서 미분 순서를 자유롭게 교환할 수 있다.

\frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \partial x_{i_2} \cdots \partial x_{i_k}} = \frac{\partial^k f}{\partial x_{\sigma(i_1)} \partial x_{\sigma(i_2)} \cdots \partial x_{\sigma(i_k)}}

여기서 \sigma는 인덱스의 임의의 순열(permutation)이다.

3. 클레로 정리가 성립하지 않는 경우

3.1 반례

클레로 정리의 조건(혼합 편도함수의 연속성)이 없으면, 미분 순서를 교환할 수 없다. 대표적인 반례는 다음과 같다.

f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}

이 함수에 대해:

f_x(0, y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h, y) - f(0, y)}{h} = -y \quad (y \neq 0)

f_y(x, 0) = \lim_{k \to 0}\frac{f(x, k) - f(x, 0)}{k} = x \quad (x \neq 0)

따라서:

f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0}\frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0}\frac{-k - 0}{k} = -1

f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0}\frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{h - 0}{h} = 1

f_{xy}(0,0) = -1 \neq 1 = f_{yx}(0,0)이므로 미분 순서를 교환할 수 없다. 이는 원점에서 f_{xy}와 f_{yx}가 연속이 아니기 때문이다.

4. 로봇공학에서의 응용

4.1 헤시안 행렬의 대칭성

비용 함수 J(\mathbf{q}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}의 헤시안 행렬은:

\mathbf{H} = \nabla^2 J = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 J}{\partial q_i \partial q_j} \end{bmatrix}

클레로 정리에 의해 J \in C^2이면 H_{ij} = H_{ji}이므로 헤시안은 대칭 행렬이다. 이 대칭성은 최적화 알고리즘에서 중요한 성질로, 헤시안의 저장에 n(n+1)/2개의 성분만 필요하며, 고유값이 모두 실수임을 보장한다.

4.2 관성 행렬의 성질

로봇 동역학의 관성 행렬 \mathbf{M}(\mathbf{q})의 성분에 대한 편미분에서도 클레로 정리가 적용된다.

\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} = \frac{\partial^2 T_0}{\partial \dot{q}_i \partial q_k}\bigg\vert_{\dot{\mathbf{q}} \text{ 관련 항}}

여기서 미분 순서의 교환 가능성은 크리스토펠 기호(Christoffel symbols)의 대칭성과 직결된다.

c_{ijk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)

4.3 라그랑주 역학에서의 활용

오일러-라그랑주 방정식을 유도할 때, 라그랑지안 \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})에 대해:

\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \tau_i

이 과정에서 \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i}를 전개하면 2차 혼합 편도함수가 등장하며, 클레로 정리에 의해 미분 순서를 교환할 수 있어 계산이 크게 간소화된다.

구체적으로, 운동 에너지 T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^\top\mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}에 대해:

\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{j=1}^{n}M_{ij}\ddot{q}_j + \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_j\dot{q}_k

\frac{\partial T}{\partial q_i} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\dot{q}_j\dot{q}_k

이 두 식을 결합하면 코리올리-원심 행렬 \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})의 성분이 유도되는데, 여기서 \frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} = \frac{\partial^2}{\partial q_k \partial \dot{q}_i \partial \dot{q}_j}(\frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^\top\mathbf{M}\dot{\mathbf{q}}) 형태의 미분에서 클레로 정리가 필수적으로 사용된다.

4.4 \dot{\mathbf{M}} - 2\mathbf{C}의 반대칭 성질

크리스토펠 기호를 이용하여 코리올리 행렬을 정의하면:

C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} c_{ijk}\dot{q}_k = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial M_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial M_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial M_{jk}}{\partial q_i}\right)\dot{q}_k

이때 \dot{\mathbf{M}} - 2\mathbf{C}가 반대칭 행렬(skew-symmetric)임을 보일 수 있으며, 이 증명에서 클레로 정리에 의한 편미분 순서 교환이 핵심적으로 사용된다. 이 성질은 로봇의 수동성(passivity) 기반 제어 설계에서 중요한 역할을 한다.

5. C^k 함수 공간

5.1 정의

C^k(\Omega)는 열린 집합 \Omega \subseteq \mathbb{R}^n에서 k계까지의 모든 편도함수가 존재하고 연속인 함수들의 공간이다.

C^k(\Omega) = \{f: \Omega \to \mathbb{R} \mid D^{\boldsymbol{\alpha}}f \text{가 연속}, \; \forall \lvert\boldsymbol{\alpha}\rvert \leq k\}

C^\infty(\Omega) = \bigcap_{k=0}^{\infty} C^k(\Omega)

로봇 궤적이 C^k 급인 것은 k계 도함수까지 연속임을 의미하며, 이에 따른 물리적 조건은 다음과 같다.

참고 문헌

• Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison-Wesley.
• Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2006). Robot Modeling and Control. Wiley.

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