7.72 비보존력과 마찰력의 포함

1. 라그랑주 역학에서 비보존력의 필요성

라그랑주 역학의 기본 틀은 보존계(conservative system)를 전제로 한다. 라그랑지안 $\mathcal{L} = T - V$ 로부터 유도되는 오일러-라그랑주 방정식은 보존력만을 자연스럽게 포함하며, 시스템의 총 역학적 에너지가 보존되는 상황을 기술한다. 그러나 실제 로봇 시스템에서는 관절 마찰, 점성 감쇠, 외부 접촉력, 액추에이터 구동 토크 등 비보존력(non-conservative force)이 반드시 존재한다. 이러한 힘들은 포텐셜 에너지 함수로부터 유도될 수 없으므로, 라그랑주 방정식에 별도의 항으로 명시적으로 포함시켜야 한다.

2. 일반화 좌표와 비보존 일반화력

$n$ 자유도 로봇 시스템의 일반화 좌표를 $\mathbf{q} = [q_1, q_2, \ldots, q_n]^T$ 로 정의할 때, 비보존력을 포함한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 확장된다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = Q_i^{nc}, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

여기서 $Q_i^{nc}$ 는 일반화 좌표 $q_i$ 에 대응하는 비보존 일반화력(non-conservative generalized force)이다. 이 일반화력은 가상 일(virtual work)의 원리로부터 도출된다. 시스템에 작용하는 비보존력 $\mathbf{F}^{nc}_j$ 가 작업 공간상의 점 $\mathbf{r}_j$ 에 가해질 때, 가상 변위 $\delta \mathbf{r}_j$ 에 의한 가상 일은 다음과 같다.

$\delta W^{nc} = \sum_j \mathbf{F}^{nc}_j \cdot \delta \mathbf{r}_j$

작업 공간 좌표와 일반화 좌표의 관계 $\mathbf{r}_j = \mathbf{r}_j(\mathbf{q})$ 로부터 가상 변위를 일반화 좌표로 변환하면 다음을 얻는다.

$\delta \mathbf{r}_j = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i} \delta q_i$

이를 가상 일 표현에 대입하면 비보존 일반화력이 다음과 같이 정의된다.

$Q_i^{nc} = \sum_j \mathbf{F}^{nc}_j \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i}$

3. 로봇 동역학 방정식에서의 비보존력 통합

비보존력을 포함한 로봇 매니퓰레이터의 운동 방정식은 행렬 형식으로 다음과 같이 표현된다.

$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau} + \boldsymbol{\tau}_{ext} - \boldsymbol{\tau}_f$

여기서 $\mathbf{M}(\mathbf{q})$ 는 $n \times n$ 대칭 양정치 관성 행렬, $\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})$ 는 코리올리 및 원심력 행렬, $\mathbf{g}(\mathbf{q})$ 는 중력 벡터이다. 우변의 $\boldsymbol{\tau}$ 는 액추에이터 구동 토크, $\boldsymbol{\tau}_{ext}$ 는 외부 접촉력에 의한 일반화력, $\boldsymbol{\tau}_f$ 는 마찰 토크 벡터이다. 좌변의 $\mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}$ 와 $\mathbf{g}(\mathbf{q})$ 는 라그랑지안으로부터 유도되는 보존력 성분이며, 우변의 항들이 비보존력에 해당한다.

4. 관절 마찰 모델

4.1 쿨롱 마찰(Coulomb Friction)

쿨롱 마찰은 접촉면 사이의 건조 마찰을 기술하며, 속도의 부호에만 의존하고 크기에는 무관하다. $i$ 번째 관절에 작용하는 쿨롱 마찰 토크는 다음과 같다.

$\tau_{f,i}^{C} = f_{c,i} \, \text{sgn}(\dot{q}_i)$

여기서 $f_{c,i} > 0$ 은 쿨롱 마찰 계수이고, $\text{sgn}(\cdot)$ 은 부호 함수이다. 쿨롱 마찰은 속도가 영인 지점에서 불연속이므로, 수치 시뮬레이션에서 채터링(chattering) 현상을 유발할 수 있다.

4.2 점성 마찰(Viscous Friction)

점성 마찰은 윤활유나 유체 저항에 의해 발생하며, 관절 속도에 비례한다.

$\tau_{f,i}^{V} = f_{v,i} \dot{q}_i$

여기서 $f_{v,i} > 0$ 은 점성 마찰 계수이다. 점성 마찰은 연속 함수이므로 수치적으로 다루기 용이하며, 에너지를 지속적으로 소산시키는 역할을 한다.

4.3 결합 마찰 모델

실제 관절에서는 쿨롱 마찰과 점성 마찰이 동시에 작용한다. 이를 결합한 기본 마찰 모델은 다음과 같다.

$\tau_{f,i} = f_{c,i} \, \text{sgn}(\dot{q}_i) + f_{v,i} \dot{q}_i$

이 모델을 벡터 형식으로 표현하면 다음과 같다.

$\boldsymbol{\tau}_f = \mathbf{F}_c \, \text{sgn}(\dot{\mathbf{q}}) + \mathbf{F}_v \dot{\mathbf{q}}$

여기서 $\mathbf{F}_c = \text{diag}(f_{c,1}, \ldots, f_{c,n})$ , $\mathbf{F}_v = \text{diag}(f_{v,1}, \ldots, f_{v,n})$ 는 각각 쿨롱 및 점성 마찰 계수의 대각 행렬이다.

5. 스트리벡 효과와 확장 마찰 모델

5.1 스트리벡 마찰 모델(Stribeck Friction Model)

저속 영역에서 마찰력이 속도 증가에 따라 일시적으로 감소하는 현상을 스트리벡 효과(Stribeck effect)라 한다. 이는 정지 마찰에서 운동 마찰로의 전이 구간에서 나타나며, 경계 윤활(boundary lubrication)에서 유체 윤활(hydrodynamic lubrication)로의 천이에 기인한다. 스트리벡 효과를 포함한 마찰 모델은 다음과 같다.

$\tau_{f,i} = \left[ f_{c,i} + (f_{s,i} - f_{c,i}) \exp\left( -\left( \frac{\dot{q}_i}{v_{s,i}} \right)^2 \right) \right] \text{sgn}(\dot{q}_i) + f_{v,i} \dot{q}_i$

여기서 $f_{s,i}$ 는 정지 마찰 계수(static friction coefficient)로 $f_{s,i} > f_{c,i}$ 를 만족하고, $v_{s,i}$ 는 스트리벡 속도(Stribeck velocity)로 마찰력 감소가 일어나는 특성 속도이다.

5.2 LuGre 마찰 모델

LuGre(Lund-Grenoble) 모델은 마찰의 동적 특성을 기술하는 대표적인 모델로, 접촉면의 미세 강모(bristle)의 변형을 내부 상태 변수 $z_i$ 로 모델링한다.

$\frac{dz_i}{dt} = \dot{q}_i - \frac{\lvert \dot{q}_i \rvert}{g(\dot{q}_i)} z_i$

$g(\dot{q}_i) = \frac{1}{\sigma_{0,i}} \left[ f_{c,i} + (f_{s,i} - f_{c,i}) \exp\left( -\left( \frac{\dot{q}_i}{v_{s,i}} \right)^2 \right) \right]$

$\tau_{f,i} = \sigma_{0,i} z_i + \sigma_{1,i} \dot{z}_i + f_{v,i} \dot{q}_i$

여기서 $\sigma_{0,i}$ 는 강모의 강성(stiffness) 계수, $\sigma_{1,i}$ 는 강모의 감쇠(damping) 계수이다. LuGre 모델은 사전 미끄러짐(pre-sliding), 히스테리시스(hysteresis), 스틱-슬립(stick-slip) 전이 등 정적 마찰 모델로는 포착할 수 없는 동적 마찰 현상을 재현할 수 있다.

6. 레일리 소산 함수

점성 마찰과 같이 속도에 선형적으로 비례하는 소산력은 레일리 소산 함수(Rayleigh dissipation function)를 통해 체계적으로 도입할 수 있다. 소산 함수 $\mathcal{D}$ 는 다음과 같이 정의된다.

$\mathcal{D} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{D} \dot{\mathbf{q}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} d_i \dot{q}_i^2$

여기서 $\mathbf{D} = \text{diag}(d_1, \ldots, d_n)$ 은 양의 반정치(positive semi-definite) 감쇠 행렬이다. 소산 함수로부터 점성 마찰에 의한 일반화력은 다음과 같이 유도된다.

$Q_i^{diss} = -\frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{q}_i} = -d_i \dot{q}_i$

이를 오일러-라그랑주 방정식에 통합하면 다음을 얻는다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} + \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial \dot{q}_i} = Q_i^{ext}$

여기서 $Q_i^{ext}$ 는 소산력을 제외한 나머지 비보존 일반화력(액추에이터 토크, 외부 접촉력 등)이다. 레일리 소산 함수는 소산 파워(dissipated power)와 다음과 같은 관계를 갖는다.

$P_{diss} = 2\mathcal{D} = \dot{\mathbf{q}}^T \mathbf{D} \dot{\mathbf{q}} \geq 0$

이 관계는 소산 함수가 항상 비음수임을 보장하며, 에너지가 시스템으로부터 지속적으로 방출됨을 의미한다.

7. 외부 접촉력의 일반화력 변환

로봇이 환경과 상호 작용할 때 말단 장치(end-effector)에 외부 힘 $\mathbf{f}_{ext} \in \mathbb{R}^m$ 이 작용하는 경우, 이를 일반화 좌표 공간의 토크로 변환해야 한다. 야코비안 행렬 $\mathbf{J}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 을 이용하면 말단 장치의 속도와 관절 속도의 관계는 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{J}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}}$ 이다. 가상 일의 원리를 적용하면 다음이 성립한다.

$\delta W_{ext} = \mathbf{f}_{ext}^T \delta \mathbf{x} = \mathbf{f}_{ext}^T \mathbf{J}(\mathbf{q}) \delta \mathbf{q} = \boldsymbol{\tau}_{ext}^T \delta \mathbf{q}$

따라서 외부 접촉력에 의한 일반화 토크는 다음과 같다.

$\boldsymbol{\tau}_{ext} = \mathbf{J}^T(\mathbf{q}) \mathbf{f}_{ext}$

이 관계는 야코비안 전치 행렬이 작업 공간 힘을 관절 공간 토크로 사상(mapping)하는 역할을 수행함을 보여 준다. 6자유도 작업 공간의 경우 $\mathbf{f}_{ext} = [\mathbf{f}^T, \boldsymbol{\mu}^T]^T \in \mathbb{R}^6$ 으로 선형 힘 $\mathbf{f}$ 와 모멘트 $\boldsymbol{\mu}$ 를 모두 포함한다.

8. 에너지 소산과 수동성

비보존력, 특히 마찰력의 포함은 시스템의 에너지 균형에 직접적인 영향을 미친다. 전체 역학적 에너지 $E = T + V$ 의 시간 변화율은 다음과 같다.

$\dot{E} = \dot{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\tau} + \dot{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\tau}_{ext} - \dot{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\tau}_f$

마찰이 양의 소산(positive dissipation), 즉 $\dot{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\tau}_f \geq 0$ 을 만족하면, 외부 입력이 없을 때 에너지는 단조 감소한다.

$\dot{E} \leq \dot{\mathbf{q}}^T \boldsymbol{\tau}$

이 부등식은 시스템의 수동성(passivity) 조건을 나타내며, 마찰이 있는 로봇 시스템이 에너지 관점에서 본질적으로 안정적임을 의미한다. 이러한 수동성 특성은 로봇 제어기의 안정성 분석에서 리아프노프(Lyapunov) 함수로 역학적 에너지를 선택할 수 있는 이론적 근거를 제공한다.

9. 마찰 보상 기법

로봇 제어에서 마찰은 위치 정밀도 저하, 스틱-슬립 진동, 한계 순환(limit cycle) 등의 문제를 야기한다. 이를 해결하기 위해 다양한 마찰 보상(friction compensation) 기법이 사용된다.

9.1 모델 기반 피드포워드 보상

마찰 모델의 파라미터를 사전에 식별한 후, 제어 입력에 마찰 토크의 추정치를 가산하는 방법이다.

$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}_{ctrl} + \hat{\boldsymbol{\tau}}_f(\dot{\mathbf{q}})$

여기서 $\hat{\boldsymbol{\tau}}_f$ 는 마찰 모델로부터 예측된 마찰 토크이고, $\boldsymbol{\tau}_{ctrl}$ 은 위치 또는 궤적 추종을 위한 피드백 제어 토크이다. 이 방법의 효과는 마찰 모델의 정확도에 크게 의존한다.

9.2 적응 마찰 보상

마찰 파라미터가 온도, 마모, 윤활 상태에 따라 변화하는 경우, 적응 제어(adaptive control) 기법을 활용하여 마찰 파라미터를 온라인으로 추정하고 보상한다. 마찰 토크가 파라미터에 선형적으로 의존하는 경우, 다음과 같이 선형 회귀(linear regression) 형태로 표현할 수 있다.

$\boldsymbol{\tau}_f = \mathbf{Y}_f(\dot{\mathbf{q}}) \boldsymbol{\theta}_f$

여기서 $\mathbf{Y}_f$ 는 마찰 리그레서 행렬이고, $\boldsymbol{\theta}_f = [f_{c,1}, f_{v,1}, \ldots, f_{c,n}, f_{v,n}]^T$ 는 마찰 파라미터 벡터이다. 파라미터 적응 법칙은 추종 오차를 기반으로 설계된다.

10. 수치 시뮬레이션에서의 고려 사항

쿨롱 마찰의 부호 함수 불연속성은 수치 적분 시 문제를 야기한다. 이를 완화하기 위해 부호 함수를 연속 근사 함수로 대체하는 방법이 널리 사용된다.

$\text{sgn}(\dot{q}_i) \approx \tanh\left( \frac{\dot{q}_i}{\epsilon} \right)$

여기서 $\epsilon > 0$ 은 천이 구간의 폭을 결정하는 소규모 양의 상수이다. $\epsilon$ 이 작을수록 원래의 부호 함수에 가까워지지만, 수치적 강성(stiffness)이 증가하여 적분 스텝 크기를 줄여야 하는 상충 관계가 존재한다. 대안으로 포화 함수(saturation function)를 사용할 수도 있다.

$\text{sgn}(\dot{q}_i) \approx \text{sat}\left( \frac{\dot{q}_i}{\epsilon} \right) = \begin{cases} -1 & \dot{q}_i < -\epsilon \\ \dot{q}_i / \epsilon & \lvert \dot{q}_i \rvert \leq \epsilon \\ 1 & \dot{q}_i > \epsilon \end{cases}$

이러한 정규화는 영속도 부근에서의 수치적 안정성을 확보하면서도 마찰의 물리적 특성을 합리적으로 근사한다.

11. 참고 문헌

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