7.71 로봇 매니퓰레이터의 라그랑주 동역학 모델링

1. 모델링 절차의 개요

라그랑주 정식화에 의한 로봇 매니퓰레이터의 동역학 모델링은 다음의 체계적 절차를 따른다.

1. 일반화 좌표의 선택 (관절 변수)
2. 각 링크의 운동 에너지와 포텐셜 에너지 계산
3. 라그랑지안 구성
4. 오일러-라그랑주 방정식의 적용
5. 운동 방정식의 표준 형태 정리

이 절차는 로봇의 형상과 관계없이 일관되게 적용 가능하며, 뉴턴-오일러 정식화에 비하여 내부 반력을 계산할 필요가 없다는 장점이 있다.

2. 기구학적 사전 준비

2.1 링크 좌표계와 DH 매개변수

각 링크에 부착된 좌표계를 데나빗-하텐버그(Denavit-Hartenberg, DH) 관례에 따라 설정한다. DH 매개변수 \{a_i, \alpha_i, d_i, \theta_i\}로부터 동차 변환 행렬 {}^{i-1}T_i를 구성하고, 연쇄 곱으로 기저 좌표계에서 각 링크 좌표계까지의 변환을 계산한다.

{}^0T_i = {}^0T_1 \cdot {}^1T_2 \cdots {}^{i-1}T_i

2.2 속도 전파

i번째 링크의 질량 중심 속도와 각속도는 야코비안을 통해 관절 속도와 관련된다.

\mathbf{v}_{c_i} = J_{v_i}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}, \quad \boldsymbol{\omega}_i = J_{\omega_i}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}

회전 관절의 경우, j \leq i인 관절에 대하여 다음이 성립한다.

J_{v_i}^{(j)} = \hat{\mathbf{z}}_{j-1} \times (\mathbf{p}_{c_i} - \mathbf{p}_{j-1}), \quad J_{\omega_i}^{(j)} = \hat{\mathbf{z}}_{j-1}

여기서 \hat{\mathbf{z}}_{j-1}은 j번째 관절 축의 방향 벡터이고, \mathbf{p}_{c_i}는 i번째 링크의 질량 중심 위치이다.

3. 에너지 계산

3.1 각 링크의 운동 에너지

i번째 링크의 운동 에너지는 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지의 합이다.

T_i = \frac{1}{2}m_i\mathbf{v}_{c_i}^T\mathbf{v}_{c_i} + \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}_i^T {}^0R_i \bar{I}_i {}^0R_i^T \boldsymbol{\omega}_i

여기서 m_i는 링크 질량, \bar{I}_i는 링크 좌표계에서 표현된 질량 중심에 대한 관성 텐서, {}^0R_i는 기저 좌표계에 대한 링크 좌표계의 회전 행렬이다.

3.2 총 운동 에너지와 관성 행렬

총 운동 에너지는 다음과 같다.

T = \sum_{i=1}^{n} T_i = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T M(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}

관성 행렬의 원소는 다음과 같이 계산된다.

M(\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^{n}\left[m_i J_{v_i}^T J_{v_i} + J_{\omega_i}^T {}^0R_i \bar{I}_i {}^0R_i^T J_{\omega_i}\right]

3.3 포텐셜 에너지

U = -\sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{g}_0^T \mathbf{p}_{c_i}(\mathbf{q})

4. 운동 방정식의 유도와 검증

4.1 오일러-라그랑주 방정식의 적용

라그랑지안 \mathcal{L} = T - U로부터 각 관절 i에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 적용한다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = \tau_i

이를 전개하여 M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau} 형태로 정리한다.

4.2 모델 검증 방법

유도된 동역학 모델의 정확성을 검증하기 위하여 다음의 성질을 확인한다.

1. 관성 행렬의 대칭성과 양정치성: M = M^T이고 모든 \mathbf{q}에서 M > 0이다.
2. \dot{M} - 2C의 반대칭성: 임의의 \mathbf{v}에 대하여 \mathbf{v}^T(\dot{M} - 2C)\mathbf{v} = 0이다.
3. 에너지 보존: 외부 토크와 마찰이 없을 때 총 에너지 E = T + U가 보존된다.
4. 뉴턴-오일러 결과와의 일치: 재귀 뉴턴-오일러 알고리즘의 결과와 수치적으로 비교한다.

5. 기호 계산과 수치 계산

5.1 기호 계산

Maple, Mathematica, SymPy 등의 기호 연산 소프트웨어를 이용하여 관성 행렬, 코리올리 행렬, 중력 벡터를 관절 변수의 해석적 함수로 구한다. 기호적 결과는 최적 코드 생성에 활용될 수 있으나, 자유도가 증가하면 수식의 복잡도가 급격히 증가한다.

5.2 수치 계산

대자유도 로봇에서는 DH 매개변수와 동역학 매개변수(질량, 관성 텐서, 질량 중심 위치)를 입력으로 받아 수치적으로 관성 행렬을 계산하는 방법이 효율적이다. 복합 강체 알고리즘(composite rigid body algorithm, CRBA)은 O(n^2)의 복잡도로 관성 행렬을 계산한다.

6. 동역학 매개변수의 식별

6.1 필요한 매개변수

라그랑주 동역학 모델에 필요한 매개변수는 각 링크에 대하여 다음의 10개이다.

• 질량: m_i (1개)
• 질량 중심 위치: {}^i\mathbf{p}_{c_i} = [p_{x_i}, p_{y_i}, p_{z_i}]^T (3개)
• 관성 텐서: \bar{I}_i의 독립 원소 (6개, 대칭 행렬)

n자유도 로봇에서 총 10n개의 매개변수가 필요하나, 실제로는 일부 매개변수 조합만이 동역학에 영향을 미친다. 이러한 최소 매개변수 집합을 기저 매개변수(base parameters) 또는 동적 식별 가능 매개변수(identifiable parameters)라 한다.

6.2 선형 매개변수화

동역학 방정식은 동역학 매개변수에 대하여 선형이다. 역동역학 \boldsymbol{\tau} = M\ddot{\mathbf{q}} + C\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}를 매개변수 벡터 \boldsymbol{\pi}에 대하여 선형으로 표현할 수 있다.

\boldsymbol{\tau} = Y(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}})\boldsymbol{\pi}

여기서 Y \in \mathbb{R}^{n \times p}는 회귀 행렬(regressor matrix)이고, \boldsymbol{\pi} \in \mathbb{R}^p는 동역학 매개변수 벡터이다. 이 선형 구조는 최소 제곱법에 의한 매개변수 식별과 적응 제어의 이론적 기초를 제공한다.

7. 실용적 고려 사항

7.1 마찰 모델의 통합

실제 로봇에서는 관절 마찰이 동역학에 상당한 영향을 미친다. 점성 마찰과 쿨롱 마찰을 포함한 확장된 모델은 다음과 같다.

M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) + F_v\dot{\mathbf{q}} + F_c\text{sgn}(\dot{\mathbf{q}}) = \boldsymbol{\tau}

여기서 F_v = \text{diag}(f_{v_1}, \ldots, f_{v_n})는 점성 마찰 행렬, F_c = \text{diag}(f_{c_1}, \ldots, f_{c_n})는 쿨롱 마찰 행렬이다.

7.2 구동기 관성의 반영

고감속비 감속기를 사용하는 경우, 모터 회전자의 반영 관성(reflected inertia)이 관성 행렬에 추가된다.

\bar{M}(\mathbf{q}) = M(\mathbf{q}) + J_m

여기서 J_m = \text{diag}(r_1^2 J_{m_1}, \ldots, r_n^2 J_{m_n})이고, r_i는 감속비, J_{m_i}는 모터 관성이다. 고감속비에서는 r_i^2 J_{m_i}가 링크 관성에 비하여 지배적이 될 수 있다.

8. 요약

라그랑주 동역학 모델링은 기구학적 관계로부터 운동 에너지와 포텐셜 에너지를 구성하고, 오일러-라그랑주 방정식을 적용하여 체계적으로 운동 방정식을 유도하는 방법이다. DH 매개변수와 동역학 매개변수로부터 관성 행렬, 코리올리 행렬, 중력 벡터를 계산하며, 모델의 정확성은 대칭성, 반대칭성, 에너지 보존 등의 구조적 성질로 검증한다. 동역학 방정식의 매개변수 선형성은 식별과 적응 제어의 기초가 되며, 마찰과 구동기 관성을 포함한 확장 모델은 실제 로봇 제어에 필수적이다.

참고 문헌

• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd ed.). Pearson.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2006). Robot Modeling and Control. Wiley.
• Khalil, W. & Dombre, E. (2002). Modeling, Identification and Control of Robots. Hermes Penton.
• Featherstone, R. (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer.
• Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.

version: 0.1.0