7.7 다변수 함수의 정의와 연속성

1. 다변수 함수의 정의

1.1 기본 개념

로봇공학의 대부분의 함수는 여러 변수에 동시에 의존하는 다변수 함수(multivariate function)이다. n-자유도 매니퓰레이터의 순기구학 함수는 n개의 관절 변수를 입력으로 받아 말단장치의 위치와 자세를 출력하는 다변수 벡터값 함수이다.

스칼라값 다변수 함수: \mathbb{R}^n에서 \mathbb{R}로의 사상

f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \quad (x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto f(x_1, x_2, \ldots, x_n)

벡터 표기로는 f(\mathbf{x})이며, \mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top \in \mathbb{R}^n이다.

벡터값 다변수 함수: \mathbb{R}^n에서 \mathbb{R}^m으로의 사상

\mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \quad \mathbf{x} \mapsto \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}) \\ f_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ f_m(\mathbf{x}) \end{bmatrix}

각 성분 f_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}는 스칼라값 다변수 함수이다.

1.2 정의역과 치역

다변수 함수 f: D \to \mathbb{R}에서 D \subseteq \mathbb{R}^n을 정의역(domain), f(D) = \{f(\mathbf{x}) : \mathbf{x} \in D\}를 치역(range)이라 한다.

로봇공학에서 관절 공간(joint space)은 정의역에 해당하며, 관절 제한(joint limits)에 의해 제한된다.

D = \{\mathbf{q} \in \mathbb{R}^n : q_{i,\min} \leq q_i \leq q_{i,\max}, \; i = 1, \ldots, n\}

작업 공간(task space 또는 workspace)은 순기구학 함수의 치역에 해당한다.

W = \{f(\mathbf{q}) : \mathbf{q} \in D\}

1.3 로봇공학에서의 다변수 함수 예시

2. 다변수 함수의 위상적 기초

2.1 열린 집합과 닫힌 집합

\mathbb{R}^n에서 점 \mathbf{a}를 중심으로 반지름 r > 0인 열린 공(open ball)은 다음과 같다.

B(\mathbf{a}, r) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \lVert \mathbf{x} - \mathbf{a} \rVert < r\}

집합 S \subseteq \mathbb{R}^n가 열린 집합(open set)이라 함은, S의 모든 점 \mathbf{a}에 대해 B(\mathbf{a}, r) \subseteq S인 r > 0이 존재하는 것이다. 닫힌 집합(closed set)은 여집합 S^c가 열린 집합인 것이다.

경계(boundary)는 다음과 같이 정의된다.

\partial S = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \forall r > 0, \; B(\mathbf{x}, r) \cap S \neq \emptyset \;\text{and}\; B(\mathbf{x}, r) \cap S^c \neq \emptyset\}

로봇의 관절 공간에서, 관절 제한이 없는 내부 영역은 열린 집합이며, 관절 제한을 포함한 영역은 닫힌 집합(compact set)이다.

2.2 콤팩트 집합

\mathbb{R}^n의 부분집합 K가 콤팩트(compact)하다 함은, K가 닫히고(closed) 유계(bounded)인 것이다. 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)에 의해 이것은 \mathbb{R}^n에서 콤팩트의 동치 조건이다.

콤팩트 집합 위에서 연속함수는 최댓값과 최솟값을 가진다. 이 성질은 로봇 관절 제한 내에서의 최적화 문제에 해의 존재를 보장한다.

3. 다변수 함수의 극한

3.1 정의

함수 f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}에 대해, \mathbf{a}가 D의 집적점일 때:

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \;\text{such that}\; 0 < \lVert \mathbf{x} - \mathbf{a} \rVert < \delta \implies \lvert f(\mathbf{x}) - L \rvert < \varepsilon

3.2 경로 의존성

일변수 함수와 달리, 다변수 함수에서는 \mathbf{x}가 \mathbf{a}에 접근하는 경로가 무한히 많다. 극한이 존재하려면 모든 경로에 대해 동일한 값에 수렴해야 한다.

예제: f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} (\mathbf{0}에서의 극한)

y = mx 경로를 따라 접근하면:

\lim_{x \to 0} \frac{x(mx)}{x^2 + m^2x^2} = \frac{m}{1 + m^2}

이 값이 m에 의존하므로, 경로마다 다른 값에 수렴한다. 따라서 \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y)는 존재하지 않는다.

극한이 존재하지 않음을 보이려면 서로 다른 경로에서 다른 극한값을 찾으면 충분하다. 반면, 극한이 존재함을 보이려면 모든 경로에 대한 수렴을 증명해야 하며, 이때 조임 정리(squeeze theorem)가 유용하다.

4. 다변수 함수의 연속성

4.1 정의

f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}가 점 \mathbf{a} \in D에서 연속이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a})

\varepsilon-\delta 언어로:

\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \;\text{such that}\; \lVert \mathbf{x} - \mathbf{a} \rVert < \delta \implies \lvert f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{a}) \rvert < \varepsilon

D의 모든 점에서 연속이면, f는 D에서 연속이라 한다.

4.2 벡터값 함수의 연속성

벡터값 함수 \mathbf{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m은 각 성분 함수 f_i가 모두 연속일 때에만 연속이다.

\mathbf{f} \text{가 } \mathbf{a}\text{에서 연속} \iff f_i \text{가 } \mathbf{a}\text{에서 연속}, \; i = 1, \ldots, m

4.3 연속 함수의 성질

연속 함수 사이의 사칙연산과 합성은 연속성을 보존한다.

1. f, g가 \mathbf{a}에서 연속이면, \alpha f + \beta g, f \cdot g도 연속이다.
2. g(\mathbf{a}) \neq 0이면 f/g도 연속이다.
3. g가 \mathbf{a}에서 연속이고 f가 g(\mathbf{a})에서 연속이면, f \circ g도 연속이다.

4.4 로봇공학에서의 연속성

로봇의 순기구학 함수는 삼각함수의 합성으로 구성되므로 관절 공간 전체에서 연속이다. 이는 다음을 보장한다.

• 관절 변수의 연속적 변화는 말단장치 위치의 연속적 변화를 야기한다.
• 관절 공간에서의 연속 궤적은 작업 공간에서도 연속 궤적이다.

그러나 역기구학 함수는 반드시 연속이 아닐 수 있다. 특이점이나 작업 공간 경계에서 역기구학 해가 분기(bifurcation)하거나 소멸하는 현상이 발생하기 때문이다.

5. 균등 연속성과 리프시츠 연속성

5.1 다변수 균등 연속

f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}가 D에서 균등 연속이라 함은:

\forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 \;\text{such that}\; \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in D, \; \lVert \mathbf{x} - \mathbf{y} \rVert < \delta \implies \lvert f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y}) \rvert < \varepsilon

콤팩트 집합 위의 연속함수는 균등 연속이다(하이네-칸토어 정리).

5.2 다변수 리프시츠 연속

\mathbf{f}: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m가 리프시츠 연속이라 함은:

\lVert \mathbf{f}(\mathbf{x}) - \mathbf{f}(\mathbf{y}) \rVert \leq K \lVert \mathbf{x} - \mathbf{y} \rVert, \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in D

편미분이 유계이면 리프시츠 연속을 보장한다. 구체적으로, 볼록 집합 D에서 자코비안 행렬의 노름이 유계이면:

\sup_{\mathbf{x} \in D} \lVert \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}) \rVert \leq K

이 경우 \mathbf{f}는 리프시츠 상수 K를 가지는 리프시츠 연속함수이다.

로봇 동역학 방정식 \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, t)에서, \mathbf{f}가 \mathbf{x}에 대해 리프시츠 연속이면 피카르-린델뢰프 정리에 의해 주어진 초기 조건에 대한 해가 유일하게 존재한다. 이 성질은 로봇 시뮬레이션과 제어의 수학적 정당성을 보장한다.

6. 등위 집합과 등위면

스칼라 다변수 함수 f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}의 등위 집합(level set)은 다음과 같이 정의된다.

L_c = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : f(\mathbf{x}) = c\}

n = 2일 때 등위 집합은 등위선(contour line), n = 3일 때는 등위면(level surface)이라 한다. 로봇공학에서 등위 집합은 다음과 같은 맥락에서 사용된다.

• 구속 조건 h(\mathbf{q}) = 0은 관절 공간에서의 등위 집합으로, 허용 가능한 형상의 집합을 정의한다.
• 비용 함수의 등위 집합은 동일한 비용을 가지는 형상들의 집합이며, 최적화 탐색의 기하학적 이해에 활용된다.
• 기울기 \nabla f(\mathbf{x})는 등위 집합에 수직인 방향을 가리킨다.

참고 문헌

• Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. 2nd ed. Addison-Wesley.
• Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2003). Vector Calculus. 5th ed. W. H. Freeman.

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