7.67 라그랑지안과 일반화 좌표

1. 일반화 좌표의 정의

1.1 자유도와 좌표의 선택

$N$ 개의 질점으로 구성된 시스템이 $m$ 개의 홀로노믹 구속 조건을 갖는 경우, 시스템의 자유도(degrees of freedom)는 $n = 3N - m$ 이다. 일반화 좌표(generalized coordinates) $q_1, q_2, \ldots, q_n$ 은 이 $n$ 개의 자유도를 독립적으로 기술하는 좌표 집합이다.

일반화 좌표는 유일하지 않으며, 물리적 단위나 의미가 통일될 필요도 없다. 관절 각도, 선형 변위, 또는 이들의 임의 조합이 될 수 있다. 로봇 매니퓰레이터에서는 관절 변수(관절 각도 또는 관절 변위)가 자연스러운 일반화 좌표이다.

1.2 로봇 매니퓰레이터의 일반화 좌표

$n$ 자유도 직렬 매니퓰레이터에서 각 관절은 하나의 자유도를 제공하므로, 관절 벡터 $\mathbf{q} = [q_1, q_2, \ldots, q_n]^T$ 가 일반화 좌표가 된다.

회전 관절: $q_i = \theta_i$ (관절 각도, 단위: rad)
직동 관절: $q_i = d_i$ (관절 변위, 단위: m)

관절 변수를 일반화 좌표로 선택하면 구속 조건이 자동으로 만족되므로, 별도의 제약 방정식이 불필요하다.

2. 라그랑지안의 구성

2.1 운동 에너지

로봇 매니퓰레이터의 총 운동 에너지는 각 링크의 운동 에너지 합이다.

$T = \sum_{j=1}^{n} T_j = \sum_{j=1}^{n}\left[\frac{1}{2}m_j\dot{\mathbf{p}}_{c_j}^T\dot{\mathbf{p}}_{c_j} + \frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}_j^T I_j\boldsymbol{\omega}_j\right]$

여기서 $m_j$ 는 $j$ 번째 링크의 질량, $\dot{\mathbf{p}}_{c_j}$ 는 질량 중심의 선속도, $\boldsymbol{\omega}_j$ 는 각속도, $I_j$ 는 질량 중심에 대한 관성 텐서이다.

기구학 관계에 의하여 각 링크의 속도는 일반화 속도의 선형 함수이다.

$\dot{\mathbf{p}}_{c_j} = J_{v_j}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}, \quad \boldsymbol{\omega}_j = J_{\omega_j}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$

이를 대입하면 운동 에너지는 다음의 이차 형식으로 표현된다.

$T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T M(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}$

여기서 관성 행렬은 다음과 같다.

$M(\mathbf{q}) = \sum_{j=1}^{n}\left[m_j J_{v_j}^T J_{v_j} + J_{\omega_j}^T I_j J_{\omega_j}\right]$

2.2 포텐셜 에너지

중력에 의한 포텐셜 에너지는 각 링크의 질량 중심 높이에 의해 결정된다.

$U(\mathbf{q}) = -\sum_{j=1}^{n} m_j \mathbf{g}_0^T \mathbf{p}_{c_j}(\mathbf{q})$

여기서 $\mathbf{g}_0 = [0, 0, -g]^T$ 는 중력 가속도 벡터이다. 포텐셜 에너지는 일반화 좌표만의 함수이며, 일반화 속도에는 의존하지 않는다.

2.3 라그랑지안

라그랑지안은 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이이다.

$\mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) = T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) - U(\mathbf{q}) = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T M(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} - U(\mathbf{q})$

3. 일반화 힘

3.1 가상 일의 원리

일반화 좌표 $q_i$ 에 대응하는 일반화 힘(generalized force) $Q_i$ 는 가상 변위(virtual displacement)에 의한 가상 일(virtual work)로부터 정의된다.

$\delta W = \sum_{i=1}^{n} Q_i \delta q_i$

비보존력 $\mathbf{F}_k$ 가 작용할 때, 가상 일은 다음과 같다.

$\delta W = \sum_{k} \mathbf{F}_k \cdot \delta\mathbf{r}_k = \sum_{k}\mathbf{F}_k \cdot \sum_{i}\frac{\partial\mathbf{r}_k}{\partial q_i}\delta q_i$

따라서 일반화 힘은 다음과 같이 구해진다.

$Q_i = \sum_{k}\mathbf{F}_k \cdot \frac{\partial\mathbf{r}_k}{\partial q_i}$

3.2 관절 토크로의 환원

로봇 매니퓰레이터에서 구동력이 관절 축에 직접 인가되는 경우, 일반화 힘은 관절 토크 $\tau_i$ 와 직접 대응한다.

$Q_i = \tau_i$

마찰력이 존재하면 일반화 힘은 $Q_i = \tau_i - f_i(\dot{q}_i)$ 가 된다.

4. 좌표 변환과 라그랑지안의 불변성

4.1 좌표 변환

일반화 좌표를 $\mathbf{q}$ 에서 $\mathbf{s}$ 로 변환한다고 하자. $\mathbf{q} = \mathbf{q}(\mathbf{s})$ 이면 다음이 성립한다.

$\dot{\mathbf{q}} = \frac{\partial\mathbf{q}}{\partial\mathbf{s}}\dot{\mathbf{s}} = J_{qs}\dot{\mathbf{s}}$

새로운 좌표에서의 운동 에너지는 다음과 같다.

$T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{s}}^T J_{qs}^T M(\mathbf{q}(\mathbf{s}))J_{qs}\dot{\mathbf{s}} = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{s}}^T \bar{M}(\mathbf{s})\dot{\mathbf{s}}$

4.2 오일러-라그랑주 방정식의 공변성

오일러-라그랑주 방정식은 좌표 변환에 대하여 공변적(covariant)이다. 어떤 일반화 좌표를 선택하더라도 방정식의 형태는 동일하게 유지되며, 물리적으로 동등한 운동 방정식을 산출한다. 이 좌표 독립성은 라그랑주 정식화의 핵심적인 장점이다.

5. 순환 좌표와 보존 법칙

5.1 순환 좌표의 정의

라그랑지안이 특정 일반화 좌표 $q_k$ 에 명시적으로 의존하지 않으면( $\partial\mathcal{L}/\partial q_k = 0$ ), $q_k$ 를 순환 좌표(cyclic coordinate) 또는 무시 좌표(ignorable coordinate)라 한다. 이 경우 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_k} = 0$

따라서 대응하는 일반화 운동량 $p_k = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_k$ 가 보존된다.

5.2 로봇에서의 보존 법칙

중력이 없는 자유 공간에서 고정 기저를 갖는 로봇의 기저 관절이 회전 관절이고, 관절축이 수직이면, 수직축 주위의 각운동량이 보존된다. 이 경우 기저 관절 각도가 순환 좌표에 해당한다.

6. 요약

일반화 좌표는 구속 조건을 자동으로 만족시키는 독립 좌표 집합이며, 로봇 매니퓰레이터에서는 관절 변수가 자연스러운 선택이다. 라그랑지안은 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이로 정의되며, 기구학 관계를 통해 관성 행렬의 체계적 계산이 가능하다. 일반화 힘은 가상 일의 원리로부터 유도되며, 관절 토크와 직접 대응한다. 오일러-라그랑주 방정식의 좌표 공변성은 좌표 선택의 자유를 보장하고, 순환 좌표의 존재는 보존 법칙으로 이어져 시스템의 동적 특성 분석을 단순화한다.

참고 문헌

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