7.66 오일러-라그랑주 방정식의 유도

1. 해밀턴의 원리로부터의 유도

1.1 작용 적분

해밀턴의 원리(Hamilton’s principle)에 의하면, 역학 시스템의 실제 운동 궤적은 작용(action) 적분의 정상값을 달성하는 경로이다.

S[\mathbf{q}] = \int_{t_0}^{t_f} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)\,dt

여기서 \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) - U(\mathbf{q})는 라그랑지안(Lagrangian)이며, T는 운동 에너지, U는 포텐셜 에너지이다. \mathbf{q} = [q_1, q_2, \ldots, q_n]^T는 n개의 일반화 좌표(generalized coordinates) 벡터이다.

1.2 변분의 수행

궤적 \mathbf{q}(t)에 미소 섭동 \epsilon\boldsymbol{\eta}(t)를 가한다. \boldsymbol{\eta}(t_0) = \boldsymbol{\eta}(t_f) = \mathbf{0}인 임의의 함수 \boldsymbol{\eta}(t)에 대하여 1차 변분은 다음과 같다.

\delta S = \frac{d}{d\epsilon}S[\mathbf{q} + \epsilon\boldsymbol{\eta}]\bigg\vert_{\epsilon=0} = \int_{t_0}^{t_f} \sum_{i=1}^{n}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i}\eta_i + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\dot{\eta}_i\right]dt

1.3 부분 적분

각 i에 대하여 둘째 항에 부분 적분을 적용한다.

\int_{t_0}^{t_f}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\dot{\eta}_i\,dt = \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\eta_i\right]_{t_0}^{t_f} - \int_{t_0}^{t_f}\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\eta_i\,dt

경계 조건 \eta_i(t_0) = \eta_i(t_f) = 0에 의해 경계 항이 소멸한다.

\delta S = \int_{t_0}^{t_f}\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i}\right]\eta_i\,dt = 0

1.4 기본 보조정리의 적용

\boldsymbol{\eta}(t)의 각 성분 \eta_i(t)가 독립적으로 임의의 함수를 취할 수 있으므로, 변분법의 기본 보조정리에 의하여 다음의 n개 방정식이 성립한다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, n

이것이 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)이다.

2. 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 구체적 표현

2.1 운동 에너지

n자유도 로봇의 운동 에너지는 일반화 속도의 이차 형식이다.

T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^T M(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} m_{ij}(\mathbf{q})\dot{q}_i\dot{q}_j

여기서 M(\mathbf{q}) = [m_{ij}(\mathbf{q})]는 관성 행렬이다. 운동 에너지의 편도함수는 다음과 같다.

\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i} = \sum_{j=1}^{n} m_{ij}\dot{q}_j, \quad \frac{\partial T}{\partial q_i} = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial m_{jk}}{\partial q_i}\dot{q}_j\dot{q}_k

2.2 포텐셜 에너지

포텐셜 에너지 U(\mathbf{q})는 일반화 속도에 의존하지 않으므로 다음이 성립한다.

\frac{\partial U}{\partial\dot{q}_i} = 0

따라서 라그랑지안의 편도함수에서 포텐셜 에너지는 다음의 기여만을 갖는다.

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = \frac{\partial T}{\partial q_i} - \frac{\partial U}{\partial q_i}

3. 표준 형태의 운동 방정식

3.1 오일러-라그랑주 방정식의 전개

\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i}를 전개하면 다음을 얻는다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_i} = \sum_{j=1}^{n} m_{ij}\ddot{q}_j + \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial m_{ij}}{\partial q_k}\dot{q}_j\dot{q}_k

이를 정리하면 다음의 행렬-벡터 형태를 얻는다.

M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \mathbf{0}

여기서 코리올리 및 원심력 행렬 C의 원소는 크리스토펠 기호로 표현되며, 중력 벡터는 g_i = \partial U/\partial q_i이다.

3.2 일반화 힘의 포함

보존력이 아닌 외부 힘(관절 토크, 마찰 등)이 작용하는 경우, 가상 일(virtual work)의 원리에 의하여 오일러-라그랑주 방정식의 우변에 일반화 힘(generalized force) Q_i가 추가된다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} = Q_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n

로봇 매니퓰레이터에서 Q_i = \tau_i는 i번째 관절에 인가된 토크이다.

4. 다알랑베르 원리로부터의 유도

오일러-라그랑주 방정식은 다알랑베르의 원리(d’Alembert’s principle)로부터도 유도할 수 있다. 다알랑베르의 원리는 가상 변위(virtual displacement) \delta\mathbf{r}_k에 대하여 다음을 주장한다.

\sum_{k=1}^{N}(\mathbf{F}_k - m_k\ddot{\mathbf{r}}_k)\cdot\delta\mathbf{r}_k = 0

데카르트 좌표 \mathbf{r}_k를 일반화 좌표 \mathbf{q}로 변환하고, \delta\mathbf{r}_k = \sum_i (\partial\mathbf{r}_k/\partial q_i)\delta q_i를 대입하여 정리하면 동일한 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다.

5. 에너지 보존 법칙

5.1 라그랑지안의 시간 독립성과 에너지 보존

라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면(\partial\mathcal{L}/\partial t = 0), 다음의 에너지 함수가 보존된다.

h = \sum_{i=1}^{n}\dot{q}_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i} - \mathcal{L}

운동 에너지가 일반화 속도의 동차 이차 형식이면, h = T + U = E (총 에너지)이다. 따라서 시간 독립 라그랑지안에서 총 에너지가 보존된다.

5.2 해밀토니안과의 관계

에너지 함수 h는 해밀토니안(Hamiltonian) H와 동일하다.

H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{n} p_i\dot{q}_i - \mathcal{L}

여기서 p_i = \partial\mathcal{L}/\partial\dot{q}_i는 일반화 운동량(generalized momentum)이다.

6. 요약

오일러-라그랑주 방정식은 해밀턴의 원리에서 작용 적분의 1차 변분을 영으로 놓고, 부분 적분과 기본 보조정리를 적용하여 유도된다. 운동 에너지와 포텐셜 에너지로부터 라그랑지안을 구성하고, 이를 오일러-라그랑주 방정식에 대입하면 로봇 동역학의 표준 운동 방정식 M(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + C(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}를 체계적으로 유도할 수 있다. 라그랑지안의 시간 독립성은 에너지 보존으로 이어지며, 이는 해밀토니안 역학과 연결된다.

참고 문헌

• Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control (3rd ed.). Pearson.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2006). Robot Modeling and Control. Wiley.
• Murray, R. M., Li, Z., & Sastry, S. S. (1994). A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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