7.61 범함수의 극값 조건

1. 차 필요 조건: 오일러-라그랑주 방정식의 유도

1.1 변분의 계산

범함수 J[y] = \int_{t_0}^{t_f} L(t, y, \dot{y})\,dt의 1차 변분을 구한다. 섭동된 함수 \bar{y}(t) = y(t) + \epsilon\eta(t)에 대하여 다음과 같다.

J[y + \epsilon\eta] = \int_{t_0}^{t_f} L(t, y + \epsilon\eta, \dot{y} + \epsilon\dot{\eta})\,dt

\epsilon에 대한 도함수를 구하면 다음과 같다.

\frac{dJ}{d\epsilon} = \int_{t_0}^{t_f} \left[\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\dot{\eta}\right]dt

\epsilon = 0에서 평가하면 1차 변분을 얻는다.

\delta J = \int_{t_0}^{t_f} \left[\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\dot{\eta}\right]dt

1.2 부분 적분의 적용

둘째 항에 부분 적분을 적용한다.

\int_{t_0}^{t_f} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\dot{\eta}\,dt = \left[\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\eta\right]_{t_0}^{t_f} - \int_{t_0}^{t_f} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\eta\,dt

경계 조건 \eta(t_0) = \eta(t_f) = 0에 의하여 경계 항이 소멸한다. 따라서 1차 변분은 다음과 같이 정리된다.

\delta J = \int_{t_0}^{t_f} \left[\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right]\eta(t)\,dt

1.3 오일러-라그랑주 방정식

극값 조건 \delta J = 0이 모든 허용 변분 \eta(t)에 대하여 성립하여야 하므로, 변분법의 기본 보조정리(fundamental lemma of the calculus of variations)에 의하여 다음이 성립한다.

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = 0

이것이 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)이며, 범함수의 극값을 달성하는 함수(극값 함수, extremal)가 만족하여야 하는 2차 상미분 방정식이다.

1.4 변분법의 기본 보조정리

보조정리. [t_0, t_f] 구간에서 연속 함수 g(t)가 경계에서 영이 되는 모든 연속 함수 \eta(t)에 대하여

\int_{t_0}^{t_f} g(t)\eta(t)\,dt = 0

을 만족하면, g(t) = 0 (\forall t \in [t_0, t_f])이다.

이 보조정리가 오일러-라그랑주 방정식의 유도에서 핵심적인 역할을 한다.

2. 다변수 함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식

n개의 함수 y_1(t), y_2(t), \ldots, y_n(t)에 대한 범함수

J[\mathbf{y}] = \int_{t_0}^{t_f} L(t, y_1, \ldots, y_n, \dot{y}_1, \ldots, \dot{y}_n)\,dt

의 극값 조건은 n개의 오일러-라그랑주 방정식으로 구성된다.

\frac{\partial L}{\partial y_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_i} = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, n

이를 벡터 형태로 간결하게 쓰면 다음과 같다.

\frac{\partial L}{\partial \mathbf{y}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{y}}} = \mathbf{0}

3. 고차 도함수를 포함하는 경우

라그랑지안이 \ddot{y}를 포함하는 범함수

J[y] = \int_{t_0}^{t_f} L(t, y, \dot{y}, \ddot{y})\,dt

의 오일러-라그랑주 방정식은 부분 적분을 두 번 적용하여 유도된다.

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot{y}} = 0

이 방정식은 4차 상미분 방정식이 되며, 네 개의 경계 조건이 필요하다. 로봇 궤적의 최소 가가속도(jerk minimization) 문제에서 이 형태가 나타난다.

4. 오일러-라그랑주 방정식의 특수 형태

4.1 L이 y를 포함하지 않는 경우

L = L(t, \dot{y})이면 \partial L/\partial y = 0이므로, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = 0 \implies \frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = C \quad \text{(상수)}

이는 1차 적분(first integral)이 존재함을 의미한다.

4.2 L이 t를 명시적으로 포함하지 않는 경우

L = L(y, \dot{y})이면 벨트라미 항등식(Beltrami identity)이 성립한다.

L - \dot{y}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} = C \quad \text{(상수)}

이 관계는 해밀턴의 보존 법칙과 관련된다. 로봇 동역학에서 라그랑지안이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 시스템의 에너지가 보존되며, 벨트라미 항등식은 이 에너지 보존의 수학적 표현이다.

5. 차 충분 조건

5.1 차 변분

1차 변분이 영이 되는 극값 함수가 극소인지 극대인지를 판정하기 위해서는 2차 변분(second variation) \delta^2 J를 분석하여야 한다.

\delta^2 J = \frac{d^2}{d\epsilon^2}J[y + \epsilon\eta]\bigg\vert_{\epsilon = 0}

이를 전개하면 다음과 같다.

\delta^2 J = \int_{t_0}^{t_f} \left[L_{yy}\eta^2 + 2L_{y\dot{y}}\eta\dot{\eta} + L_{\dot{y}\dot{y}}\dot{\eta}^2\right]dt

여기서 L_{yy} = \partial^2 L/\partial y^2, L_{y\dot{y}} = \partial^2 L/\partial y \partial\dot{y}, L_{\dot{y}\dot{y}} = \partial^2 L/\partial\dot{y}^2이다.

5.2 르장드르 조건

극소를 위한 필요 조건으로 다음의 르장드르 조건(Legendre condition)이 성립한다.

L_{\dot{y}\dot{y}}(t, y^*(t), \dot{y}^*(t)) \geq 0, \quad \forall t \in [t_0, t_f]

강한 극소를 위해서는 엄격한 부등호 >가 필요하다. 이 조건은 라그랑지안이 \dot{y}에 대하여 볼록(convex)이어야 함을 의미한다.

5.3 야코비 조건

르장드르 조건과 함께, 야코비 조건(Jacobi condition)이 2차 충분 조건의 일부를 구성한다. 야코비 방정식(Jacobi equation)은 오일러-라그랑주 방정식의 선형화이며, 야코비 방정식의 해에 영점(켤레점, conjugate point)이 존재하지 않으면 야코비 조건이 만족된다.

야코비 방정식은 다음과 같다.

\frac{d}{dt}\left[L_{\dot{y}\dot{y}}\dot{u} + L_{y\dot{y}}u\right] - L_{y\dot{y}}\dot{u} - L_{yy}u = 0

[t_0, t_f] 구간에서 u(t_0) = 0인 비자명 해 u(t)가 t_0 < t < t_f에서 영점을 갖지 않으면, 야코비 조건이 만족되어 2차 충분 조건이 성립한다.

6. 요약

범함수의 극값 조건은 오일러-라그랑주 방정식으로 귀결되며, 이는 극값 함수가 만족하여야 하는 2차 상미분 방정식이다. 이 방정식은 적분형 범함수에 부분 적분과 변분법의 기본 보조정리를 적용하여 유도된다. 다변수 함수에 대한 자연스러운 확장이 가능하며, 고차 도함수를 포함하는 범함수에도 일반화된다. 극소의 충분 조건은 르장드르 조건과 야코비 조건으로 구성된다. 오일러-라그랑주 방정식은 로봇 동역학의 라그랑주 정식화와 최적 궤적 계획의 수학적 근간을 형성한다.

참고 문헌

• Gelfand, I. M. & Fomin, S. V. (2000). Calculus of Variations. Dover Publications.
• Liberzon, D. (2012). Calculus of Variations and Optimal Control Theory: A Concise Introduction. Princeton University Press.
• Kirk, D. E. (2004). Optimal Control Theory: An Introduction. Dover Publications.
• Troutman, J. L. (1996). Variational Calculus and Optimal Control (2nd ed.). Springer.
• Goldstein, H., Poole, C., & Safko, J. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.

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