7.58 극점과 영점의 안정성 해석

1. 극점과 시스템 안정성

1.1 BIBO 안정성의 정의

선형 시불변 시스템이 BIBO(Bounded-Input Bounded-Output) 안정하다 함은, 유계인 모든 입력에 대하여 출력이 항상 유계인 것이다. 수학적으로, $\lvert u(t) \rvert \leq M_u < \infty$ 이면 $\lvert y(t) \rvert \leq M_y < \infty$ 이다.

1.2 극점과 BIBO 안정성의 관계

전달 함수 $G(s)$ 의 극점이 시스템의 BIBO 안정성을 결정한다. 다음의 정리가 성립한다.

정리. LTI 시스템이 BIBO 안정하기 위한 필요충분조건은 전달 함수의 모든 극점이 복소 평면의 개방 왼쪽 반평면(open left half-plane, OLHP)에 위치하는 것이다.

$\text{Re}(p_i) < 0, \quad \forall i$

이 조건은 임펄스 응답 $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$ 가 절대 적분 가능하다는 조건과 동치이다.

$\int_0^{\infty} \lvert h(t) \rvert \, dt < \infty$

1.3 극점 위치에 따른 응답 특성

극점의 복소 평면 위치에 따른 시간 응답의 특성은 다음과 같다.

극점 위치	시간 응답	안정성
$\text{Re}(p) < 0$ , 실수	$e^{pt}$ (감쇠 지수)	안정
$\text{Re}(p) < 0$ , 복소	$e^{\sigma t}\sin(\omega t + \phi)$ (감쇠 진동)	안정
$\text{Re}(p) = 0$ , 단순	$\sin(\omega t)$ 또는 상수	한계 안정
$\text{Re}(p) = 0$ , 중복	$t\sin(\omega t)$ 또는 $t$	불안정
$\text{Re}(p) > 0$	발산 (지수 또는 진동)	불안정

2. 특성 방정식과 안정성 판정

2.1 특성 방정식

폐루프 시스템의 특성 방정식(characteristic equation)은 폐루프 전달 함수의 분모를 영으로 놓은 것이다.

$1 + G(s)H(s) = 0$

또는 동등하게 $D(s) = 0$ 이다. 이 방정식의 근이 폐루프 극점이며, 이들의 위치가 폐루프 안정성을 결정한다.

2.2 라우스-허르비츠 판정법

라우스-허르비츠 판정법(Routh-Hurwitz criterion)은 특성 다항식의 계수로부터 불안정 극점(우반평면 극점)의 존재 여부와 개수를 판정하는 대수적 방법이다.

특성 다항식이 다음과 같을 때:

$D(s) = a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0$

필요 조건: 모든 계수 $a_i > 0$ ( $i = 0, 1, \ldots, n$ )이 양이어야 한다. 이 조건이 만족되지 않으면 시스템은 반드시 불안정하다.

라우스 배열: 다음의 배열을 구성한다.

$\begin{array}{c|cc} s^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\ s^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \\ s^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ s^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & & & \\ s^0 & & & & \end{array}$

여기서 $b_1 = (a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3})/a_{n-1}$ 등이다. 라우스 배열의 첫째 열에서 부호 변환(sign change)의 횟수가 우반평면 극점의 개수와 같다.

3. 영점의 역할

3.1 영점이 과도 응답에 미치는 영향

영점은 시스템의 안정성에 직접 영향을 미치지 않으나, 과도 응답의 형태를 변화시킨다. 전달 함수에 영점 $z$ 가 존재하면, 시간 응답에서 각 극점 모드의 상대적 크기(유수)가 변화한다.

영점이 지배적 극점 근처에 위치하면 해당 극점 모드의 유수가 감소하여 해당 모드의 기여가 줄어든다. 극한적으로 영점이 극점과 정확히 일치하면 극-영점 상쇄(pole-zero cancellation)가 발생하여 해당 모드가 입출력 관계에서 완전히 사라진다.

3.2 우반평면 영점

우반평면(RHP)에 위치하는 영점, 즉 $\text{Re}(z) > 0$ 인 영점을 비최소 위상(non-minimum phase) 영점이라 한다. 비최소 위상 영점은 계단 응답에서 초기 역방향 응답(initial undershoot)을 유발한다.

전달 함수 $G(s) = K(s - z)/(s + a)(s + b)$ 에서 $z > 0$ 이면, 계단 응답은 다음과 같은 특성을 보인다.

초기에 최종값과 반대 방향으로 움직인다.
이후 방향이 반전되어 최종값에 접근한다.

이 현상은 폐루프 대역폭을 제한하여 제어 성능을 저하시킨다. 로봇 시스템에서 비최소 위상 거동은 비배치 구동(non-collocated actuation) 또는 유연 구조에서 발생할 수 있다.

4. 근궤적법

4.1 기본 개념

근궤적법(root locus method)은 개루프 이득 $K$ 가 0에서 $\infty$ 까지 변화할 때 폐루프 극점의 궤적을 복소 평면에 도시하는 방법이다. 특성 방정식 $1 + KG_0(s) = 0$ 에서, $K$ 의 변화에 따른 폐루프 극점의 이동을 추적한다.

4.2 근궤적의 주요 성질

출발점과 도착점: 근궤적은 개루프 극점( $K = 0$ )에서 출발하여 개루프 영점( $K \to \infty$ )에 도착한다. 영점이 극점보다 적으면 나머지 궤적은 무한원점으로 향한다.
실수 축 위의 궤적: 실수 축 위의 한 점이 근궤적 위에 있으려면, 그 점의 오른쪽에 있는 실수 극점과 영점의 총 개수가 홀수여야 한다.
점근선: 무한원점으로 향하는 $n - m$ 개의 궤적은 점근선을 따르며, 점근선의 각도는 $\theta_k = (2k + 1)\pi/(n - m)$ 이다.
이탈점과 도착점: 근궤적이 실수 축을 떠나거나 실수 축에 도착하는 점에서 $dK/ds = 0$ 이 성립한다.

4.3 로봇 제어에서의 활용

근궤적법은 PD 또는 PID 제어 이득을 조절할 때 폐루프 극점이 어떻게 이동하는지를 시각적으로 파악할 수 있게 한다. 로봇 관절 제어기의 이득 선정에서, 원하는 감쇠비와 고유 진동수에 대응하는 극점 위치로 폐루프 극점을 유도하는 이득값을 근궤적으로부터 결정할 수 있다.

5. 내부 안정성

5.1 극-영점 상쇄의 위험

전달 함수 관점에서 안정한 것처럼 보이더라도, 내부적으로 불안정한 모드가 존재할 수 있다. 불안정한 극점과 영점의 상쇄가 발생하면, 전달 함수에서는 해당 모드가 사라지지만 상태 공간에서는 여전히 존재한다.

예를 들어, 다음의 전달 함수를 고려하라.

$G(s) = \frac{s - 1}{(s - 1)(s + 2)} = \frac{1}{s + 2}$

전달 함수상으로는 극점이 $s = -2$ 뿐이어서 안정해 보이나, 상태 공간 표현에서 $s = 1$ 에 해당하는 불안정 모드가 은닉되어 있다. 초기 조건이나 외란에 의하여 이 모드가 여기되면 내부 상태가 발산한다.

5.2 가제어성과 가관측성

내부 안정성을 보장하기 위해서는 시스템이 가제어(controllable)하고 가관측(observable)하여야 한다. 극-영점 상쇄는 가제어성 또는 가관측성의 상실에 대응한다.

불가제어 모드: 입력으로 제어할 수 없는 내부 모드이다.
불가관측 모드: 출력에서 관측할 수 없는 내부 모드이다.

로봇 제어 시스템의 설계에서는 전달 함수뿐만 아니라 상태 공간의 가제어성과 가관측성을 반드시 확인하여 내부 안정성을 보장하여야 한다.

6. 나이퀴스트 안정성 판정법

6.1 기본 원리

나이퀴스트 판정법(Nyquist stability criterion)은 개루프 전달 함수 $G(j\omega)H(j\omega)$ 의 주파수 응답으로부터 폐루프 안정성을 판정하는 방법이다. 코시의 편각 원리(argument principle)에 기초하여, 나이퀴스트 선도가 점 $(-1, 0)$ 을 감는 횟수로부터 폐루프 우반평면 극점의 수를 결정한다.

$N = Z - P$

여기서 $N$ 은 점 $(-1, 0)$ 주위의 시계 방향 감김 수, $Z$ 는 폐루프 우반평면 극점의 수, $P$ 는 개루프 우반평면 극점의 수이다. 폐루프 안정성을 위해서는 $Z = 0$ 이어야 하므로, $N = -P$ 가 되어야 한다.

6.2 이득 여유와 위상 여유

나이퀴스트 판정법으로부터 이득 여유(gain margin)와 위상 여유(phase margin)라는 안정성 여유 지표가 정의된다.

이득 여유(GM): 위상이 $-180°$ 인 주파수에서 이득이 1(0 dB)에 도달하기까지의 여유이다.
위상 여유(PM): 이득이 1(0 dB)인 주파수에서 위상이 $-180°$ 에 도달하기까지의 여유이다.

로봇 관절 제어 시스템에서 일반적으로 이득 여유 6 dB 이상, 위상 여유 $30°\sim60°$ 를 확보하는 것이 설계 지침이다.

7. 요약

극점의 복소 평면 위치가 시스템의 안정성과 과도 응답 특성을 완전히 결정한다. 모든 극점이 왼쪽 반평면에 위치하면 BIBO 안정하고, 하나라도 우반평면에 존재하면 불안정하다. 라우스-허르비츠 판정법은 특성 다항식의 계수로부터 안정성을 대수적으로 판정하며, 근궤적법은 이득 변화에 따른 극점 이동을 시각적으로 분석한다. 영점은 안정성에 직접 영향을 미치지 않으나, 과도 응답의 형태에 영향을 주며, 우반평면 영점은 제어 성능을 제한한다. 극-영점 상쇄에 의한 은닉 불안정 모드를 방지하기 위하여 내부 안정성 검증이 필수적이다.

참고 문헌

Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall.
Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2015). Feedback Control of Dynamic Systems (7th ed.). Pearson.
Nise, N. S. (2015). Control Systems Engineering (7th ed.). Wiley.
Dorf, R. C. & Bishop, R. H. (2016). Modern Control Systems (13th ed.). Pearson.
Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems (3rd ed.). Prentice Hall.

version: 0.1.0