7.57 전달 함수와 시스템의 입출력 관계

1. 전달 함수의 정의

1.1 선형 시불변 시스템의 전달 함수

전달 함수(transfer function)는 선형 시불변(LTI) 시스템의 입력과 출력 사이의 관계를 $s$ 영역에서 나타내는 함수이다. 초기 조건이 모두 영인 경우, 전달 함수 $G(s)$ 는 다음과 같이 정의된다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

여기서 $Y(s)$ 는 출력의 라플라스 변환이고, $U(s)$ 는 입력의 라플라스 변환이다. 전달 함수는 시스템 자체의 고유한 특성만을 반영하며, 특정 입력이나 초기 조건에 무관하다.

1.2 미분 방정식으로부터의 유도

$n$ 차 선형 상미분 방정식

$a_n y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1\dot{y} + a_0 y = b_m u^{(m)} + b_{m-1}u^{(m-1)} + \cdots + b_0 u$

에 라플라스 변환을 적용하고 초기 조건을 영으로 놓으면 다음을 얻는다.

$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}$

물리적으로 실현 가능한 시스템에서는 분자의 차수가 분모의 차수 이하( $m \leq n$ )이다.

2. 극점과 영점

2.1 정의

전달 함수를 다음과 같이 인수분해된 형태로 표현할 수 있다.

$G(s) = K\frac{(s - z_1)(s - z_2)\cdots(s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2)\cdots(s - p_n)}$

여기서 $K = b_m/a_n$ 은 이득 상수(gain constant)이다.

영점(zero): $z_1, z_2, \ldots, z_m$ 은 $G(s) = 0$ 을 만족하는 $s$ 의 값이다.
극점(pole): $p_1, p_2, \ldots, p_n$ 은 $\lvert G(s) \rvert \to \infty$ 를 만족하는 $s$ 의 값이다.

극점과 영점은 복소 평면에서 시스템의 동적 특성을 완전히 결정한다.

2.2 극-영점 배치도

극점과 영점을 복소 평면에 표시한 것을 극-영점 배치도(pole-zero plot)라 한다. 관례적으로 극점은 $\times$ 로, 영점은 $\circ$ 로 표시한다. 이 배치도는 시스템의 안정성, 과도 응답, 주파수 응답을 시각적으로 파악하는 데 유용하다.

3. 임펄스 응답과 전달 함수의 관계

단위 임펄스 입력 $u(t) = \delta(t)$ 에 대하여 $U(s) = 1$ 이므로, 임펄스 응답의 라플라스 변환은 전달 함수 자체이다.

$Y(s) = G(s) \cdot 1 = G(s)$

따라서 임펄스 응답 $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}$ 이다. 즉, 전달 함수와 임펄스 응답은 라플라스 변환 쌍이다. 임의의 입력 $u(t)$ 에 대한 출력은 합성곱으로 표현된다.

$y(t) = h(t) * u(t) = \int_0^t h(\tau)u(t - \tau)\,d\tau$

4. 상태 공간 표현과 전달 함수의 관계

4.1 전달 함수 행렬의 유도

상태 공간 표현 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$ , $\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}$ 에 라플라스 변환을 적용하면 다음을 얻는다.

$s\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = A\mathbf{X}(s) + B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)$

초기 조건 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{0}$ 으로 놓고 정리하면 다음과 같다.

$\mathbf{X}(s) = (sI - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{Y}(s) = \left[C(sI - A)^{-1}B + D\right]\mathbf{U}(s)$

따라서 전달 함수 행렬(transfer function matrix)은 다음과 같다.

$G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$

4.2 특성 방정식

$(sI - A)^{-1} = \text{adj}(sI - A)/\det(sI - A)$ 이므로, 전달 함수의 분모 다항식은 $\det(sI - A)$ 에 포함된다. $\det(sI - A) = 0$ 을 특성 방정식(characteristic equation)이라 하며, 그 근은 시스템 행렬 $A$ 의 고유값이다. 단, 극-영점 상쇄가 발생하면 전달 함수의 극점 수가 상태 공간의 차원보다 작아질 수 있다.

5. 블록선도와 시스템 결합

5.1 직렬 결합

두 시스템이 직렬(cascade)로 연결되면, 전체 전달 함수는 개별 전달 함수의 곱이다.

$G(s) = G_1(s) \cdot G_2(s)$

5.2 병렬 결합

두 시스템이 병렬(parallel)로 연결되면, 전체 전달 함수는 개별 전달 함수의 합이다.

$G(s) = G_1(s) + G_2(s)$

5.3 피드백 결합

단위 음의 피드백(negative feedback) 시스템에서 개루프 전달 함수가 $G(s)H(s)$ 이면, 폐루프 전달 함수는 다음과 같다.

$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}$

여기서 $G(s)$ 는 전방 경로 전달 함수이고, $H(s)$ 는 피드백 경로 전달 함수이다. 단위 피드백( $H(s) = 1$ )의 경우 다음과 같이 단순화된다.

$T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}$

6. 로봇 관절 제어 시스템의 전달 함수

6.1 단일 관절 모델

단일 관절의 운동 방정식 $J\ddot{\theta} + b\dot{\theta} = \tau$ 에 대하여, 입력 $\tau$ 에서 출력 $\theta$ 까지의 전달 함수(플랜트 전달 함수)는 다음과 같다.

$G_p(s) = \frac{\Theta(s)}{T(s)} = \frac{1}{Js^2 + bs} = \frac{1}{s(Js + b)}$

이 시스템은 원점에 극점을 가지므로, 개루프에서 불안정(한계 안정)하다.

6.2 PD 제어기의 전달 함수

비례-미분(PD) 제어기의 전달 함수는 다음과 같다.

$G_c(s) = K_p + K_d s$

6.3 폐루프 전달 함수

PD 제어가 적용된 관절의 폐루프 전달 함수는 다음과 같다.

$T(s) = \frac{G_c(s)G_p(s)}{1 + G_c(s)G_p(s)} = \frac{K_p + K_d s}{Js^2 + (b + K_d)s + K_p}$

이를 표준 2차 형태로 정리하면 다음과 같다.

$T(s) = \frac{\omega_n^2(1 + (K_d/K_p)s)}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

여기서 $\omega_n = \sqrt{K_p/J}$ , $\zeta = (b + K_d)/(2\sqrt{K_p J})$ 이다. 분자의 영점 $(K_d/K_p)s$ 는 과도 응답의 오버슈트에 영향을 미친다.

6.4 PID 제어기의 전달 함수

비례-적분-미분(PID) 제어기의 전달 함수는 다음과 같다.

$G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = \frac{K_d s^2 + K_p s + K_i}{s}$

적분 항 $K_i/s$ 는 원점에 극점을 추가하여 시스템의 형(type)을 높이고, 정상 상태 오차를 제거하는 역할을 한다.

7. 다입력 다출력 시스템

$m$ 개의 입력과 $p$ 개의 출력을 갖는 MIMO(Multiple-Input Multiple-Output) 시스템의 전달 함수 행렬은 $p \times m$ 행렬이다.

$G(s) = \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) & \cdots & G_{1m}(s) \\ G_{21}(s) & G_{22}(s) & \cdots & G_{2m}(s) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ G_{p1}(s) & G_{p2}(s) & \cdots & G_{pm}(s) \end{bmatrix}$

여기서 $G_{ij}(s)$ 는 $j$ 번째 입력에서 $i$ 번째 출력으로의 전달 함수이다. 다자유도 로봇은 MIMO 시스템이며, 비선형 동역학을 평형점 주위에서 선형화하면 이러한 전달 함수 행렬을 얻을 수 있다. 다만, 관절 간 결합 효과로 인하여 비대각 원소 $G_{ij}(s)$ ( $i \neq j$ )가 영이 아닌 경우가 일반적이다.

8. 전달 함수의 한계

전달 함수 표현에는 다음과 같은 본질적 한계가 존재한다.

선형 시불변 시스템에 한정: 비선형 또는 시변(time-varying) 시스템에는 직접 적용할 수 없다. 로봇 동역학은 본질적으로 비선형이므로, 전달 함수는 특정 동작점 주위의 선형화 모델에 대해서만 유효하다.
영초기 조건 가정: 전달 함수는 초기 조건이 모두 영인 경우에만 정의된다. 영이 아닌 초기 조건은 별도로 처리하여야 한다.
내부 상태의 비가관측성: 전달 함수는 입출력 관계만을 기술하므로, 극-영점 상쇄에 의해 가려진 내부 동역학(불가관측 또는 불가제어 모드)을 포착하지 못한다. 이러한 은닉 모드가 불안정한 경우 시스템 전체가 내부적으로 불안정할 수 있다.

이러한 한계에도 불구하고, 전달 함수는 그 수학적 간결성과 직관적 해석 가능성으로 인하여 단일 입출력 시스템의 분석과 제어기 설계에서 여전히 핵심적인 도구이다.

9. 요약

전달 함수는 LTI 시스템의 입출력 관계를 $s$ 영역의 유리 함수로 표현하며, 시스템의 극점과 영점이 동적 특성을 완전히 결정한다. 상태 공간 표현과의 관계는 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$ 로 주어지며, 직렬, 병렬, 피드백 결합의 대수적 처리가 가능하다. 로봇 관절 제어 시스템에서 플랜트와 제어기의 전달 함수를 결합하여 폐루프 특성을 설계하며, 극점 배치를 통해 과도 응답 사양을 달성한다.

참고 문헌

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