7.56 역라플라스 변환과 부분 분수 전개
1. 역라플라스 변환의 정의
s 영역 함수 F(s)로부터 시간 영역 함수 f(t)를 구하는 연산을 역라플라스 변환(inverse Laplace transform)이라 하며, 다음의 복소 적분(브로미치 적분, Bromwich integral)으로 정의된다.
f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} \, ds
여기서 적분 경로는 수렴 영역 내의 수직선 \text{Re}(s) = \sigma > \sigma_c이다. 이 복소 적분을 직접 계산하는 것은 일반적으로 복잡하므로, 실용적으로는 부분 분수 전개와 라플라스 변환표를 조합하여 역변환을 수행한다.
2. 부분 분수 전개의 원리
2.1 유리 함수의 분해
로봇 제어 시스템의 전달 함수는 대부분 s의 유리 함수(rational function) 형태를 갖는다.
F(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}
여기서 N(s)는 분자 다항식(차수 m)이고, D(s)는 분모 다항식(차수 n)이다. 물리적으로 실현 가능한 시스템에서는 m \leq n (진유리 함수, proper rational function)이다. m < n인 경우를 순유리(strictly proper)라 한다.
m \geq n인 경우에는 다항식 나눗셈을 먼저 수행하여 다항식 부분과 순유리 분수로 분리한 후 부분 분수 전개를 적용한다.
2.2 분모의 인수분해
부분 분수 전개의 첫 단계는 분모 다항식 D(s)를 인수분해하여 극점(pole)을 구하는 것이다.
D(s) = a_n(s - p_1)^{m_1}(s - p_2)^{m_2} \cdots (s - p_r)^{m_r}
여기서 p_i는 극점이고, m_i는 그 중복도(multiplicity)이며, \sum_{i=1}^{r} m_i = n이다.
3. 서로 다른 실수 극점의 경우
3.1 전개 형태
분모의 모든 근이 서로 다른 실수 p_1, p_2, \ldots, p_n인 경우, 부분 분수 전개는 다음과 같다.
F(s) = \frac{A_1}{s - p_1} + \frac{A_2}{s - p_2} + \cdots + \frac{A_n}{s - p_n}
3.2 유수 계산
각 계수(유수, residue) A_i는 다음과 같이 계산된다.
A_i = \lim_{s \to p_i} (s - p_i)F(s) = \frac{N(p_i)}{\prod_{j \neq i}(p_i - p_j)}
이를 헤비사이드 커버업 방법(Heaviside cover-up method)이라 한다.
3.3 역변환
각 부분 분수의 역라플라스 변환은 기본 변환 쌍을 이용하여 즉시 구해진다.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A_i}{s - p_i}\right\} = A_i e^{p_i t}
따라서 전체 시간 영역 함수는 다음과 같다.
f(t) = \sum_{i=1}^{n} A_i e^{p_i t}, \quad t \geq 0
4. 중복 실수 극점의 경우
4.1 전개 형태
극점 p가 중복도 m을 갖는 경우, 해당 극점에 대한 부분 분수 전개는 다음과 같다.
\frac{A_1}{s - p} + \frac{A_2}{(s - p)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(s - p)^m}
4.2 계수 결정
계수 A_k (k = 1, 2, \ldots, m)는 다음 공식으로 결정된다.
A_{m-k} = \frac{1}{k!}\lim_{s \to p} \frac{d^k}{ds^k}\left[(s - p)^m F(s)\right], \quad k = 0, 1, \ldots, m-1
4.3 역변환
중복 극점에 대응하는 시간 영역 함수는 다음과 같다.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A_k}{(s - p)^k}\right\} = A_k \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} e^{pt}
5. 복소 켤레 극점의 경우
5.1 전개 형태
실수 계수 시스템의 복소 극점은 항상 켤레 쌍 p = \alpha + j\beta, \bar{p} = \alpha - j\beta으로 나타난다. 대응하는 부분 분수 전개는 다음과 같다.
\frac{A}{s - p} + \frac{\bar{A}}{s - \bar{p}}
여기서 A = \lvert A \rvert e^{j\phi}이면 \bar{A} = \lvert A \rvert e^{-j\phi}이다.
5.2 실수 형태의 역변환
두 켤레 항을 합하면 실수 시간 함수를 얻는다.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{A}{s - p} + \frac{\bar{A}}{s - \bar{p}}\right\} = 2\lvert A \rvert e^{\alpha t}\cos(\beta t + \phi)
5.3 이차 인수를 이용한 대안적 전개
복소 극점을 직접 다루지 않고, 분모의 이차 인수를 유지한 채 전개하는 방법도 있다.
\frac{Bs + C}{(s - \alpha)^2 + \beta^2}
이 형태의 역변환은 다음과 같이 구해진다.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{Bs + C}{(s - \alpha)^2 + \beta^2}\right\} = Be^{\alpha t}\cos(\beta t) + \frac{C - B\alpha}{\beta}e^{\alpha t}\sin(\beta t)
이 방법은 복소수 연산을 회피할 수 있어 수작업 계산에서 편리하다.
6. 로봇 제어 시스템에의 적용
6.1 차 시스템의 계단 응답
로봇 관절의 PD 제어 시스템에서 폐루프 전달 함수가 다음과 같다고 하자.
G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
단위 계단 입력 R(s) = 1/s에 대한 출력은 다음과 같다.
Y(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)}
부족 감쇠(0 < \zeta < 1)의 경우, 분모의 극점은 s = 0과 s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_d (\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2})이다. 부분 분수 전개를 수행하면 다음과 같다.
Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + 2\zeta\omega_n}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
이를 표준 형태로 변환하면 다음과 같다.
Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{s + \zeta\omega_n}{(s + \zeta\omega_n)^2 + \omega_d^2} - \frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\cdot\frac{\omega_d}{(s + \zeta\omega_n)^2 + \omega_d^2}
역라플라스 변환을 적용하면 다음을 얻는다.
y(t) = 1 - e^{-\zeta\omega_n t}\left[\cos(\omega_d t) + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_d t)\right]
이는 로봇 관절이 계단 명령에 대하여 감쇠 진동하면서 최종값에 접근하는 전형적인 과도 응답이다.
6.2 고차 시스템의 지배적 극점
n차 시스템에서 허수 축에 가장 가까운 극점 쌍을 지배적 극점(dominant poles)이라 한다. 나머지 극점이 지배적 극점보다 허수 축에서 충분히 멀리 떨어져 있으면, 대응하는 시간 응답 성분은 빠르게 감쇠하여 소멸한다. 따라서 고차 시스템의 과도 응답은 지배적 극점에 대응하는 2차 시스템의 응답으로 근사할 수 있다. 이 근사는 로봇 제어기의 예비 설계 단계에서 유용하다.
7. 유수 정리를 이용한 역변환
7.1 공식
F(s)가 유한 개의 극점 p_1, p_2, \ldots, p_r을 갖는 유리 함수이면, 역라플라스 변환은 유수 정리(residue theorem)를 이용하여 다음과 같이 구해진다.
f(t) = \sum_{i=1}^{r} \text{Res}\left[F(s)e^{st}, \, s = p_i\right]
단순 극점 p_i에서의 유수는 다음과 같다.
\text{Res}\left[F(s)e^{st}, \, s = p_i\right] = \lim_{s \to p_i}(s - p_i)F(s)e^{st} = A_i e^{p_i t}
m차 중복 극점에서의 유수는 다음과 같다.
\text{Res}\left[F(s)e^{st}, \, s = p_i\right] = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{s \to p_i}\frac{d^{m-1}}{ds^{m-1}}\left[(s - p_i)^m F(s)e^{st}\right]
8. 요약
역라플라스 변환은 s 영역의 전달 함수로부터 시간 영역의 응답을 구하는 핵심 연산이다. 유리 함수 형태의 전달 함수에 대하여 부분 분수 전개를 수행하면, 각 항은 표준 변환 쌍에 직접 대응하여 역변환을 용이하게 구할 수 있다. 서로 다른 실수 극점, 중복 극점, 복소 켤레 극점 각각에 대한 부분 분수 전개 기법을 숙지하면, 로봇 제어 시스템의 과도 응답과 정상 상태 응답을 체계적으로 분석할 수 있다.
참고 문헌
- Schiff, J. L. (1999). The Laplace Transform: Theory and Applications. Springer.
- Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall.
- Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and Systems (2nd ed.). Prentice Hall.
- Nise, N. S. (2015). Control Systems Engineering (7th ed.). Wiley.
- Franklin, G. F., Powell, J. D., & Emami-Naeini, A. (2015). Feedback Control of Dynamic Systems (7th ed.). Pearson.
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