7.54 기본 함수의 라플라스 변환표
1. 라플라스 변환표의 활용
라플라스 변환표는 시간 영역 함수와 복소 주파수 영역 함수 사이의 대응 관계를 정리한 것이다. 미분 방정식의 라플라스 변환 해법이나 역라플라스 변환에서 직접 적분을 수행하지 않고 변환표를 참조하여 효율적으로 결과를 얻을 수 있다. 로봇 제어 시스템의 전달 함수 분석에서 이 변환표는 필수적인 참조 자료이다.
이하에서 모든 함수는 t \geq 0에서 정의되며, t < 0에서는 영이다. 단위 계단 함수 u(t)는 표기의 간결성을 위하여 생략한다.
2. 기본 함수의 라플라스 변환
2.1 단위 함수와 지수함수
| 번호 | f(t) | F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} | 수렴 조건 |
|---|---|---|---|
| 1 | \delta(t) | 1 | 모든 s |
| 2 | 1 (단위 계단) | \dfrac{1}{s} | \text{Re}(s) > 0 |
| 3 | t | \dfrac{1}{s^2} | \text{Re}(s) > 0 |
| 4 | t^n (n = 0, 1, 2, \ldots) | \dfrac{n!}{s^{n+1}} | \text{Re}(s) > 0 |
| 5 | t^{\alpha} (\alpha > -1, 실수) | \dfrac{\Gamma(\alpha + 1)}{s^{\alpha + 1}} | \text{Re}(s) > 0 |
| 6 | e^{at} | \dfrac{1}{s - a} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
| 7 | t e^{at} | \dfrac{1}{(s - a)^2} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
| 8 | t^n e^{at} | \dfrac{n!}{(s - a)^{n+1}} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
여기서 \Gamma(\cdot)은 감마 함수(gamma function)이며, 자연수 n에 대하여 \Gamma(n+1) = n!이다.
2.2 삼각함수
| 번호 | f(t) | F(s) | 수렴 조건 |
|---|---|---|---|
| 9 | \sin(\omega t) | \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} | \text{Re}(s) > 0 |
| 10 | \cos(\omega t) | \dfrac{s}{s^2 + \omega^2} | \text{Re}(s) > 0 |
| 11 | \sinh(\alpha t) | \dfrac{\alpha}{s^2 - \alpha^2} | \text{Re}(s) > \lvert\alpha\rvert |
| 12 | \cosh(\alpha t) | \dfrac{s}{s^2 - \alpha^2} | \text{Re}(s) > \lvert\alpha\rvert |
2.3 감쇠 삼각함수
| 번호 | f(t) | F(s) | 수렴 조건 |
|---|---|---|---|
| 13 | e^{at}\sin(\omega t) | \dfrac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
| 14 | e^{at}\cos(\omega t) | \dfrac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
| 15 | te^{at}\sin(\omega t) | \dfrac{2\omega(s - a)}{[(s - a)^2 + \omega^2]^2} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
| 16 | te^{at}\cos(\omega t) | \dfrac{(s - a)^2 - \omega^2}{[(s - a)^2 + \omega^2]^2} | \text{Re}(s) > \text{Re}(a) |
감쇠 삼각함수는 부족 감쇠 시스템의 자유 응답 및 강제 응답을 기술하는 데 핵심적이다. 로봇 관절의 부족 감쇠 과도 응답은 이 형태의 시간 함수로 표현된다.
2.4 단위 램프와 포물선
| 번호 | f(t) | F(s) | 수렴 조건 |
|---|---|---|---|
| 17 | t (단위 램프) | \dfrac{1}{s^2} | \text{Re}(s) > 0 |
| 18 | \dfrac{t^2}{2} (단위 포물선) | \dfrac{1}{s^3} | \text{Re}(s) > 0 |
이 함수들은 로봇 궤적 계획에서 위치, 속도, 가속도 프로파일의 라플라스 영역 표현에 사용된다.
3. 제어 시스템에서 자주 사용되는 변환
3.1 표준 2차 시스템의 응답
감쇠비 \zeta와 고유 진동수 \omega_n으로 매개변수화된 2차 시스템의 단위 계단 응답에 관련된 변환 쌍은 다음과 같다.
부족 감쇠 (0 < \zeta < 1):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega_n^2}{s(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)}\right\} = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin(\omega_d t + \phi)
여기서 \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}이고 \phi = \arccos\zeta이다.
임계 감쇠 (\zeta = 1):
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega_n^2}{s(s + \omega_n)^2}\right\} = 1 - (1 + \omega_n t)e^{-\omega_n t}
이 변환 쌍은 로봇 관절의 계단 응답을 직접적으로 기술한다.
3.2 시간 지연 함수
| 번호 | f(t) | F(s) |
|---|---|---|
| 19 | \delta(t - t_0) | e^{-t_0 s} |
| 20 | u(t - t_0) | \dfrac{e^{-t_0 s}}{s} |
| 21 | f(t - t_0)u(t - t_0) | e^{-t_0 s}F(s) |
시간 지연은 로봇 통신 시스템과 원격 제어에서 발생하는 신호 전달 지연을 모델링하는 데 사용된다.
4. 변환 쌍의 유도 예시
4.1 지수함수의 변환
f(t) = e^{at}의 라플라스 변환을 정의로부터 직접 유도하면 다음과 같다.
F(s) = \int_0^{\infty} e^{at} e^{-st} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \left[-\frac{e^{-(s-a)t}}{s - a}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s - a}
마지막 등호는 \text{Re}(s - a) > 0, 즉 \text{Re}(s) > \text{Re}(a)일 때 성립한다.
4.2 정현파의 변환
\sin(\omega t) = (e^{j\omega t} - e^{-j\omega t})/(2j)의 오일러 공식을 이용하면 다음과 같다.
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{1}{2j}\left[\frac{1}{s - j\omega} - \frac{1}{s + j\omega}\right] = \frac{1}{2j} \cdot \frac{2j\omega}{s^2 + \omega^2} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
4.3 주파수 이동에 의한 감쇠 삼각함수
e^{at}\sin(\omega t)의 변환은 주파수 이동 성질 \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)를 적용하여 다음과 같이 얻는다.
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}
이는 라플라스 변환의 성질을 활용하여 복잡한 변환 쌍을 기본 변환으로부터 체계적으로 유도하는 전형적인 방법이다.
5. 변환표의 체계적 확장
5.1 s 영역에서의 미분
라플라스 변환의 s-미분 성질 \mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s)를 이용하면, 시간 영역에서 t^n이 곱해진 함수의 변환을 기존 변환의 s-도함수로 구할 수 있다.
예를 들어, \mathcal{L}\{t\sin(\omega t)\}는 다음과 같다.
\mathcal{L}\{t\sin(\omega t)\} = -\frac{d}{ds}\left[\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\right] = \frac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}
5.2 주파수 이동
\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)를 이용하면, 기본 변환표의 각 항목에 지수 감쇠 또는 증가 인자를 곱한 함수의 변환을 즉시 구할 수 있다. 이 성질은 s 영역에서 극점의 위치를 이동시키는 것에 해당한다.
6. 요약
라플라스 변환표는 시간 영역 함수와 복소 주파수 영역 함수 사이의 표준적 대응 관계를 제공한다. 단위 계단, 지수함수, 삼각함수, 감쇠 삼각함수, 거듭제곱 함수 등의 기본 변환 쌍은 로봇 제어 시스템의 과도 응답 분석과 전달 함수 설계에 직접적으로 활용된다. 주파수 이동, s-미분 등의 성질을 이용하면 기본 변환 쌍으로부터 광범위한 함수의 변환을 체계적으로 유도할 수 있다.
참고 문헌
- Schiff, J. L. (1999). The Laplace Transform: Theory and Applications. Springer.
- Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., & Nawab, S. H. (1997). Signals and Systems (2nd ed.). Prentice Hall.
- Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering (5th ed.). Prentice Hall.
- Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics (10th ed.). Wiley.
- Nise, N. S. (2015). Control Systems Engineering (7th ed.). Wiley.
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