7.38 로봇 링크의 동역학 파라미터 산출

1. 동역학 파라미터의 구성

로봇 매니퓰레이터의 동역학 방정식을 수립하기 위해서는 각 링크의 동역학 파라미터(dynamic parameters)를 정확하게 알아야 한다. n자유도 로봇의 i번째 링크에 대한 동역학 파라미터는 다음의 세 범주로 구성된다.

• 질량: m_i (스칼라, 1개)
• 1차 질량 모멘트: m_i \mathbf{r}_{c,i} (벡터, 3개), 여기서 \mathbf{r}_{c,i} = (r_{cx,i}, r_{cy,i}, r_{cz,i})^T는 링크 좌표계 원점 기준 질량 중심(center of mass) 위치
• 관성 텐서: \mathbf{I}_i (대칭 행렬, 6개 독립 성분)

각 링크는 1 + 3 + 6 = 10개의 독립 동역학 파라미터를 가지며, 이를 하나의 벡터로 정리하면

\boldsymbol{\pi}_i = \begin{pmatrix} m_i \\ m_i r_{cx,i} \\ m_i r_{cy,i} \\ m_i r_{cz,i} \\ I_{xx,i} \\ I_{xy,i} \\ I_{xz,i} \\ I_{yy,i} \\ I_{yz,i} \\ I_{zz,i} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{10}

이다. 1차 질량 모멘트 m_i r_{cx,i} 등을 질량과 질량 중심 위치의 곱으로 정의하면, 동역학 방정식이 이 파라미터에 대해 선형(linear-in-parameters)이 되어 시스템 식별(system identification)에 유리하다.

2. 체적 적분에 의한 파라미터 계산

2.1 질량

링크 i가 차지하는 체적 영역을 \mathcal{V}_i \subset \mathbb{R}^3, 밀도 분포를 \rho_i(\mathbf{r})라 하면, 질량은 삼중 적분

m_i = \iiint_{\mathcal{V}_i} \rho_i(\mathbf{r}) \, dV

으로 계산된다. 균일 밀도(uniform density) \rho_i인 경우 m_i = \rho_i V_i이며, V_i는 링크의 체적이다.

2.2 질량 중심

질량 중심의 좌표는 1차 질량 모멘트(first mass moment)의 적분으로 구한다.

\bar{x}_i = \frac{1}{m_i} \iiint_{\mathcal{V}_i} x \, \rho_i(\mathbf{r}) \, dV, \quad \bar{y}_i = \frac{1}{m_i} \iiint_{\mathcal{V}_i} y \, \rho_i(\mathbf{r}) \, dV, \quad \bar{z}_i = \frac{1}{m_i} \iiint_{\mathcal{V}_i} z \, \rho_i(\mathbf{r}) \, dV

벡터 표기로는

\mathbf{r}_{c,i} = \frac{1}{m_i} \iiint_{\mathcal{V}_i} \mathbf{r} \, \rho_i(\mathbf{r}) \, dV

이다.

2.3 관성 텐서

링크 좌표계 원점에 대한 관성 텐서 \bar{\mathbf{I}}_i의 각 성분은 다음의 적분으로 정의된다.

\bar{I}_{xx,i} = \iiint_{\mathcal{V}_i} (y^2 + z^2) \rho_i \, dV, \quad \bar{I}_{yy,i} = \iiint_{\mathcal{V}_i} (x^2 + z^2) \rho_i \, dV, \quad \bar{I}_{zz,i} = \iiint_{\mathcal{V}_i} (x^2 + y^2) \rho_i \, dV

비대각 성분(관성 곱)은

\bar{I}_{xy,i} = -\iiint_{\mathcal{V}_i} xy \, \rho_i \, dV, \quad \bar{I}_{xz,i} = -\iiint_{\mathcal{V}_i} xz \, \rho_i \, dV, \quad \bar{I}_{yz,i} = -\iiint_{\mathcal{V}_i} yz \, \rho_i \, dV

이다.

2.4 평행축 정리에 의한 좌표 변환

원점 기준 관성 텐서 \bar{\mathbf{I}}_i로부터 질량 중심 기준 관성 텐서 \mathbf{I}_{c,i}는 슈타이너 정리(Steiner’s theorem, 또는 평행축 정리)에 의해

\mathbf{I}_{c,i} = \bar{\mathbf{I}}_i - m_i \bigl[(\mathbf{r}_{c,i}^T \mathbf{r}_{c,i}) \mathbf{E}_3 - \mathbf{r}_{c,i} \mathbf{r}_{c,i}^T\bigr]

로 변환된다. 여기서 \mathbf{E}_3은 3 \times 3 항등 행렬이다. 역으로, 질량 중심 기준 관성 텐서로부터 임의의 점에 대한 관성 텐서를 구할 수도 있다.

3. 표준 기하학 형상의 관성 파라미터

복잡한 링크 형상을 표준 기본 형상의 결합으로 근사하여 파라미터를 계산할 수 있다. 균일 밀도를 가정한 주요 형상의 질량 중심 기준 관성 모멘트는 다음과 같다.

직육면체 (질량 m, 치수 a \times b \times c):

I_{xx} = \frac{m}{12}(b^2 + c^2), \quad I_{yy} = \frac{m}{12}(a^2 + c^2), \quad I_{zz} = \frac{m}{12}(a^2 + b^2)

대칭성에 의해 관성 곱은 모두 0이다.

원통 (질량 m, 반지름 R, 높이 h, 축 방향 z):

I_{xx} = I_{yy} = \frac{m}{12}(3R^2 + h^2), \quad I_{zz} = \frac{m R^2}{2}

중공 원통 (외반지름 R_2, 내반지름 R_1):

I_{zz} = \frac{m}{2}(R_1^2 + R_2^2), \quad I_{xx} = I_{yy} = \frac{m}{12}(3R_1^2 + 3R_2^2 + h^2)

구 (질량 m, 반지름 R):

I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = \frac{2mR^2}{5}

4. 복합 링크의 파라미터 합성

실제 로봇 링크는 본체, 모터, 감속기, 센서, 케이블 등 다수의 부품으로 구성된다. k개의 부품에 대해 각 부품의 파라미터가 공통 좌표계에서 알려져 있을 때, 링크 전체의 파라미터는 다음과 같이 합성된다.

전체 질량:

m = \sum_{j=1}^{k} m_j

전체 질량 중심:

\mathbf{r}_c = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{k} m_j \mathbf{r}_{c,j}

전체 관성 텐서 (전체 질량 중심 기준):

\mathbf{I}_c = \sum_{j=1}^{k} \left[\mathbf{I}_{c,j} + m_j \bigl((\mathbf{d}_j^T \mathbf{d}_j) \mathbf{E}_3 - \mathbf{d}_j \mathbf{d}_j^T\bigr)\right]

여기서 \mathbf{d}_j = \mathbf{r}_{c,j} - \mathbf{r}_c는 j번째 부품의 질량 중심에서 전체 질량 중심까지의 변위 벡터이다. 빈 공간(구멍, 홈)은 음의 질량을 가진 형상으로 모형화하여 감산한다.

5. 관성 텐서의 회전 변환

링크 i의 관성 텐서가 좌표계 \{A\}에서 {}^{A}\mathbf{I}_i로 표현되어 있을 때, 회전 행렬 {}^{B}\mathbf{R}_A에 의한 좌표계 \{B\}에서의 관성 텐서는

{}^{B}\mathbf{I}_i = {}^{B}\mathbf{R}_A \, {}^{A}\mathbf{I}_i \, ({}^{B}\mathbf{R}_A)^T

로 변환된다. 이 변환 법칙은 관성 텐서가 2차 텐서(second-order tensor)임에 따른 것이며, 로봇 동역학에서 각 링크의 관성 텐서를 기저 좌표계(base frame)로 표현할 때 적용된다.

6. 기저 파라미터

6.1 정의와 동기

n자유도 로봇의 동역학 파라미터 총 수는 10n개이지만, 이 중 일부는 동역학 방정식에 독립적으로 기여하지 않거나, 다른 파라미터와 결합된 형태로만 나타난다. 동역학 방정식

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}(\mathbf{q}) \ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}) \dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q})

을 파라미터에 대해 선형인 형태로 정리하면

\boldsymbol{\tau} = \mathbf{Y}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, \ddot{\mathbf{q}}) \boldsymbol{\pi}

이 된다(Khalil and Dombre, 2002). 여기서 \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{n \times 10n}은 리그레서 행렬(regressor matrix), \boldsymbol{\pi} \in \mathbb{R}^{10n}은 전체 파라미터 벡터이다.

기저 파라미터(base parameters) \boldsymbol{\pi}_b \in \mathbb{R}^{n_b}는 \mathbf{Y}의 열공간(column space)에서 선형 독립인 최소 파라미터 집합이다.

n_b = \text{rank}(\mathbf{Y}) \leq 10n

6.2 기저 파라미터의 결정

기저 파라미터의 수가 10n보다 작아지는 원인은 다음과 같다.

1. 회전 관절에서 회전축(z축) 방향의 1차 모멘트 성분은 인접 링크의 파라미터와 결합된다.
2. 고정 베이스에 연결된 첫 번째 링크의 일부 관성 파라미터는 베이스가 지탱하므로 관절 토크에 영향을 주지 않는다.
3. 대칭 구조를 가진 링크에서 특정 관성 곱이 항등적으로 0이 되는 경우가 있다.

Gautier(1991)는 리그레서 행렬의 QR 분해 또는 SVD를 통해 기저 파라미터를 체계적으로 결정하는 수치적 방법을 제안하였다.

7. 마찰 파라미터의 포함

실제 로봇 관절에는 마찰이 존재하며, 가장 일반적인 모형은 쿨롱 마찰(Coulomb friction)과 점성 마찰(viscous friction)의 결합이다.

\tau_{f,i} = f_{c,i} \, \text{sgn}(\dot{q}_i) + f_{v,i} \dot{q}_i

여기서 f_{c,i}는 쿨롱 마찰 계수, f_{v,i}는 점성 마찰 계수이다. 마찰 파라미터를 포함하면 각 관절에 2개의 파라미터가 추가되어, 전체 파라미터 벡터는 (10 + 2)n = 12n차원이 된다. 마찰 토크는 관절 속도의 함수이므로 리그레서 형태에 자연스럽게 포함된다.

8. CAD 기반 파라미터 산출

현대 로봇 설계에서는 CAD(Computer-Aided Design) 소프트웨어를 통해 각 링크의 3차원 형상을 정밀하게 모델링하고, 재질 속성을 지정하여 질량, 질량 중심, 관성 텐서를 자동으로 계산한다. 이 방법은 설계 단계에서 동역학 파라미터를 신속하게 예측할 수 있다는 장점이 있으나, 다음의 한계가 있다.

• 실제 제조 공정에서의 치수 오차와 재질 불균일성을 반영하지 못한다.
• 케이블, 커넥터 등 CAD 모델에 포함되지 않은 부품의 영향이 누락된다.
• 감속기 내부의 회전 관성(rotor inertia)이 별도로 고려되어야 한다.

9. 실험적 파라미터 측정

9.1 물리적 측정법

• 질량: 전자 저울에 의한 직접 측정
• 질량 중심: 다점 현수법(multi-point suspension method) 또는 무게 재분배법
• 관성 모멘트: 비틀림 진자법(torsional pendulum method)에서 진동 주기 T와 비틀림 강성 k_t를 측정하면

I = \frac{k_t T^2}{4\pi^2}

9.2 시스템 식별법

로봇을 사전 설계된 여기 궤적(excitation trajectory)으로 구동하면서 관절 토크 \boldsymbol{\tau}_{\text{meas}}와 관절 위치·속도·가속도를 동시에 측정한다. 다수의 시간 단계에서 수집한 데이터를 적층하여 과결정(overdetermined) 선형 시스템

\begin{pmatrix} \boldsymbol{\tau}_1 \\ \boldsymbol{\tau}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\tau}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{Y}_1 \\ \mathbf{Y}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{Y}_N \end{pmatrix} \boldsymbol{\pi}_b

을 구성하고, 최소 제곱법으로 기저 파라미터를 추정한다(Atkeson et al., 1986).

\hat{\boldsymbol{\pi}}_b = (\mathbf{Y}_b^T \mathbf{Y}_b)^{-1} \mathbf{Y}_b^T \boldsymbol{\tau}_{\text{meas}}

여기 궤적은 리그레서 행렬의 조건수(condition number)를 최소화하도록 설계하며, 푸리에 급수 기반의 주기적 궤적이 일반적으로 사용된다.

10. 파라미터 정확도의 영향

동역학 파라미터의 오차는 로봇 제어 성능에 직접적인 영향을 미친다.

따라서 고성능 로봇 제어를 위해서는 CAD 기반 계산, 물리적 측정, 시스템 식별을 상호 보완적으로 활용하여 동역학 파라미터의 정확도를 확보하는 것이 필수적이다.

11. 참고 문헌

• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Khalil, W., & Dombre, E. (2002). Modeling, Identification and Control of Robots. Hermes Penton.
• Gautier, M. (1991). “Numerical Calculation of the Base Inertial Parameters of Robots.” Journal of Robotic Systems, 8(4), 485–506.
• Atkeson, C. G., An, C. H., & Hollerbach, J. M. (1986). “Estimation of Inertial Parameters of Manipulator Loads and Links.” International Journal of Robotics Research, 5(3), 101–119.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson.

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