7.37 질량, 무게 중심, 관성 모멘트의 적분 계산

로봇 동역학 해석에서 각 링크의 질량(mass), 무게 중심(center of mass), 관성 모멘트(moment of inertia)는 운동 방정식을 구성하는 핵심 파라미터이다. 이 물리량들은 물체의 질량 밀도 분포에 대한 적분으로 정의되며, 적분 계산의 정확성이 동역학 모델의 신뢰도를 결정한다.

1. 질량 계산

1.1 균일 밀도 물체

밀도가 균일한 물체(\rho = \text{const})의 질량은 체적에 밀도를 곱하여 구한다.

m = \rho V = \rho \iiint_E dV

1.2 비균일 밀도 물체

밀도가 위치에 따라 변하는 물체의 질량은 밀도 함수 \rho(\mathbf{r})을 체적에 대해 적분하여 구한다.

m = \iiint_E \rho(\mathbf{r}) \, dV = \iiint_E \rho(x, y, z) \, dx \, dy \, dz

원통 좌표에서는 다음과 같다.

m = \iiint_E \rho(r, \theta, z) \, r \, dr \, d\theta \, dz

구면 좌표에서는 다음과 같다.

m = \iiint_E \rho(\rho_s, \phi, \theta) \, \rho_s^2 \sin\phi \, d\rho_s \, d\phi \, d\theta

2. 무게 중심 (질량 중심)

2.1 정의

물체의 무게 중심 \bar{\mathbf{r}} = (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})는 질량 분포의 1차 모멘트를 총 질량으로 나눈 값이다.

\bar{x} = \frac{1}{m}\iiint_E x \rho(x, y, z) \, dV

\bar{y} = \frac{1}{m}\iiint_E y \rho(x, y, z) \, dV

\bar{z} = \frac{1}{m}\iiint_E z \rho(x, y, z) \, dV

벡터 형태로 쓰면 다음과 같다.

\bar{\mathbf{r}} = \frac{1}{m}\iiint_E \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, dV

2.2 차 모멘트

각 축에 대한 1차 모멘트(first moment)는 다음과 같이 정의된다.

M_{yz} = \iiint_E x \rho \, dV, \quad M_{xz} = \iiint_E y \rho \, dV, \quad M_{xy} = \iiint_E z \rho \, dV

따라서 \bar{x} = M_{yz}/m, \bar{y} = M_{xz}/m, \bar{z} = M_{xy}/m이다.

2.3 복합 물체의 무게 중심

k개의 부분으로 구성된 물체에서 각 부분의 질량이 m_i이고 무게 중심이 \bar{\mathbf{r}}_i이면, 전체의 무게 중심은 다음과 같다.

\bar{\mathbf{r}} = \frac{\sum_{i=1}^{k} m_i \bar{\mathbf{r}}_i}{\sum_{i=1}^{k} m_i}

이 성질은 복잡한 형상의 로봇 링크를 여러 단순한 형상으로 분해하여 무게 중심을 계산할 때 유용하다.

3. 관성 모멘트

3.1 축에 대한 관성 모멘트

특정 축 l에 대한 관성 모멘트 I_l은 물체의 각 질량 요소와 축 사이 거리의 제곱에 질량을 가중하여 적분한 것이다.

I_l = \iiint_E d_\perp^2(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}) \, dV

여기서 d_\perp(\mathbf{r})는 점 \mathbf{r}에서 축 l까지의 수직 거리이다.

좌표축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다.

I_x = \iiint_E (y^2 + z^2) \rho \, dV

I_y = \iiint_E (x^2 + z^2) \rho \, dV

I_z = \iiint_E (x^2 + y^2) \rho \, dV

3.2 관성 텐서

3차원 강체의 관성 특성을 완전히 기술하기 위해서는 3 \times 3 대칭 행렬인 관성 텐서(inertia tensor) \mathbf{I}가 필요하다.

\mathbf{I} = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{xz} & I_{yz} & I_{zz} \end{pmatrix}

대각 성분(관성 모멘트)은 다음과 같다.

I_{xx} = \iiint_E (y^2 + z^2) \rho \, dV, \quad I_{yy} = \iiint_E (x^2 + z^2) \rho \, dV, \quad I_{zz} = \iiint_E (x^2 + y^2) \rho \, dV

비대각 성분(관성 곱, products of inertia)은 다음과 같다.

I_{xy} = -\iiint_E xy \rho \, dV, \quad I_{xz} = -\iiint_E xz \rho \, dV, \quad I_{yz} = -\iiint_E yz \rho \, dV

일부 문헌에서는 관성 곱의 부호 규약이 반대인 경우도 있으므로 주의해야 한다.

벡터 형태로 관성 텐서를 표현하면 다음과 같다.

\mathbf{I} = \iiint_E \rho(\mathbf{r})\left[(\mathbf{r}^T\mathbf{r})\mathbf{E}_3 - \mathbf{r}\mathbf{r}^T\right] dV

여기서 \mathbf{E}_3은 3 \times 3 단위 행렬이고, \mathbf{r} = (x, y, z)^T이다.

4. 평행축 정리 (Parallel Axis Theorem)

무게 중심을 지나는 축에 대한 관성 텐서 \mathbf{I}_c를 알고 있을 때, 임의의 평행한 축에 대한 관성 텐서 \mathbf{I}_o는 다음과 같이 구해진다.

\mathbf{I}_o = \mathbf{I}_c + m\left[(\mathbf{d}^T\mathbf{d})\mathbf{E}_3 - \mathbf{d}\mathbf{d}^T\right]

여기서 \mathbf{d} = (d_x, d_y, d_z)^T는 무게 중심에서 새 원점까지의 변위 벡터이다. 스칼라 형태로 쓰면 다음과 같다.

I_{o,xx} = I_{c,xx} + m(d_y^2 + d_z^2)

I_{o,xy} = I_{c,xy} - m d_x d_y

나머지 성분도 같은 패턴으로 구해진다.

5. 표준 형상의 관성 파라미터

로봇 링크 모델링에 자주 사용되는 표준 형상의 관성 파라미터를 정리한다. 모든 경우 균일 밀도를 가정한다.

5.1 균일 밀도 직육면체

질량 m, 치수 a \times b \times c인 직육면체의 무게 중심 기준 관성 텐서는 다음과 같다.

I_{xx} = \frac{m}{12}(b^2 + c^2), \quad I_{yy} = \frac{m}{12}(a^2 + c^2), \quad I_{zz} = \frac{m}{12}(a^2 + b^2)

대칭성에 의해 I_{xy} = I_{xz} = I_{yz} = 0이다.

5.2 균일 밀도 원통

질량 m, 반지름 R, 높이 h인 원통에서 중심축을 z축으로 놓으면 다음과 같다.

I_{xx} = I_{yy} = \frac{m}{12}(3R^2 + h^2), \quad I_{zz} = \frac{mR^2}{2}

유도. I_{zz}의 적분 계산은 다음과 같다.

I_{zz} = \int_0^{2\pi}\int_0^R \int_{-h/2}^{h/2} r^2 \cdot \rho \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \rho \cdot 2\pi \cdot h \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{mR^2}{2}

5.3 균일 밀도 구

질량 m, 반지름 R인 구의 관성 모멘트는 대칭성에 의해 모든 축에 대해 동일하다.

I_{xx} = I_{yy} = I_{zz} = \frac{2}{5}mR^2

6. 수치 적분을 통한 관성 파라미터 계산

복잡한 형상에 대해서는 해석적 적분이 불가능할 수 있으며, 이때 수치 적분을 사용한다. 3차원 영역을 복셀(voxel)로 분할하여 리만 합으로 근사하는 방법이 대표적이다.

m \approx \sum_{k=1}^{N} \rho(\mathbf{r}_k) \Delta V_k

\bar{\mathbf{r}} \approx \frac{1}{m} \sum_{k=1}^{N} \mathbf{r}_k \rho(\mathbf{r}_k) \Delta V_k

I_{xx} \approx \sum_{k=1}^{N} (y_k^2 + z_k^2) \rho(\mathbf{r}_k) \Delta V_k

복셀의 크기 \Delta V_k가 충분히 작으면, 수치 적분의 정확도는 해석적 결과에 근접한다.

참고 문헌

• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed., Pearson.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2020). Robot Modeling and Control. 2nd ed., Wiley.
• Beer, F. P., Johnston, E. R., & Mazurek, D. F. (2019). Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dynamics. 12th ed., McGraw-Hill.

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