7.34 삼중 적분과 체적 계산

삼중 적분(triple integral)은 3차원 공간의 영역에서 정의된 함수를 적분하는 연산으로, 체적, 질량, 관성 모멘트 등 3차원 물리량을 계산하는 데 핵심적으로 활용된다. 로봇공학에서는 링크의 체적과 질량 분포, 3차원 작업 공간의 특성 분석 등에 삼중 적분이 필수적이다.

1. 삼중 적분의 정의

3차원 유계 닫힌 영역 E \subset \mathbb{R}^3에서 정의된 함수 f(x, y, z)에 대해, E를 n개의 소영역 \Delta V_1, \Delta V_2, \ldots, \Delta V_n으로 분할하고 각 소영역에서 점 (x_k^*, y_k^*, z_k^*)를 선택하면, 삼중 적분은 다음과 같이 정의된다.

\iiint_E f(x, y, z) \, dV = \lim_{\| P \| \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*, y_k^*, z_k^*) \Delta V_k

여기서 \| P \|는 분할의 노름이며, \Delta V_k는 k번째 소영역의 체적이다.

2. 반복 적분으로의 환원

2.1 직육면체 영역

직육면체 B = [a, b] \times [c, d] \times [r, s] 위에서 f가 연속이면, 푸비니 정리에 의해 다음이 성립한다.

\iiint_B f(x, y, z) \, dV = \int_a^b \int_c^d \int_r^s f(x, y, z) \, dz \, dy \, dx

세 변수에 대한 적분 순서는 총 3! = 6가지가 가능하며, 모든 순서에 대해 결과가 동일하다.

2.2 일반 영역

일반적인 영역 E에서는 영역의 형태에 따라 적분 한계를 설정한다. 가장 흔한 형태는 다음과 같다.

제1형 (z-단순 영역). xy-평면의 영역 D 위에 두 곡면 z = u_1(x, y)와 z = u_2(x, y)로 둘러싸인 영역이다.

E = \{(x, y, z) \mid (x, y) \in D, \; u_1(x, y) \leq z \leq u_2(x, y)\}

\iiint_E f(x, y, z) \, dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x, y, z) \, dz \right] dA

제2형 (y-단순 영역). xz-평면의 영역 D 위에서 y의 범위가 두 함수로 결정되는 경우이다.

E = \{(x, y, z) \mid (x, z) \in D, \; u_1(x, z) \leq y \leq u_2(x, z)\}

\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x, y, z) \, dy \right] dA

제3형 (x-단순 영역). yz-평면의 영역 D 위에서 x의 범위가 두 함수로 결정되는 경우이다.

E = \{(x, y, z) \mid (y, z) \in D, \; u_1(y, z) \leq x \leq u_2(y, z)\}

3. 체적 계산

3.1 기본 체적 공식

영역 E의 체적 V는 f(x, y, z) = 1로 놓은 삼중 적분으로 구해진다.

V = \iiint_E dV

3.2 구의 체적

반지름 R인 구 E = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2\}의 체적을 계산한다. z에 대해 먼저 적분하면 다음과 같다.

V = \iint_D \int_{-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} dz \, dA = \iint_D 2\sqrt{R^2 - x^2 - y^2} \, dA

여기서 D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq R^2\}이다. 극좌표 x = r\cos\theta, y = r\sin\theta를 사용하면 다음과 같다.

V = \int_0^{2\pi} \int_0^R 2\sqrt{R^2 - r^2} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi \left[-\frac{2}{3}(R^2 - r^2)^{3/2}\right]_0^R = \frac{4}{3}\pi R^3

3.3 타원체의 체적

반축 길이가 a, b, c인 타원체 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1의 체적을 구한다. 변수 변환 u = x/a, v = y/b, w = z/c를 적용하면, 야코비안이 abc이므로 다음과 같다.

V = abc \iiint_{u^2 + v^2 + w^2 \leq 1} du \, dv \, dw = abc \cdot \frac{4}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi abc

4. 로봇 링크의 체적과 관련 계산

4.1 원통형 링크의 체적

내경 r_1, 외경 r_2, 길이 L인 중공 원통형 로봇 링크의 체적은 다음과 같이 계산된다.

E = \{(x, y, z) \mid r_1^2 \leq x^2 + y^2 \leq r_2^2, \; 0 \leq z \leq L\}

V = \iiint_E dV = \int_0^L \iint_{r_1^2 \leq x^2+y^2 \leq r_2^2} dA \, dz = L \cdot \pi(r_2^2 - r_1^2)

4.2 복합 형상 링크

실제 로봇 링크는 여러 기본 형상의 결합으로 모델링된다. 영역 E가 E_1, E_2, \ldots, E_m의 합집합이고 서로 겹치지 않으면 다음과 같다.

V = \iiint_E dV = \sum_{j=1}^{m} \iiint_{E_j} dV

5. 질량 밀도와 삼중 적분

비균일 밀도 \rho(x, y, z)를 가진 물체의 질량은 다음과 같다.

m = \iiint_E \rho(x, y, z) \, dV

무게 중심 좌표 (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})는 다음과 같이 구해진다.

\bar{x} = \frac{1}{m}\iiint_E x \rho(x, y, z) \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{m}\iiint_E y \rho(x, y, z) \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{m}\iiint_E z \rho(x, y, z) \, dV

6. 적분 순서 선택의 전략

삼중 적분에서는 적분 순서 선택이 계산 난이도에 큰 영향을 미친다. 다음의 지침을 따르는 것이 효율적이다.

7. 삼중 적분의 성질

삼중 적분은 이중 적분과 동일한 선형성, 단조성, 영역 분할 성질을 만족한다.

\iiint_E [f + g] \, dV = \iiint_E f \, dV + \iiint_E g \, dV

\iiint_E cf \, dV = c \iiint_E f \, dV

또한 다음의 평균값 정리가 성립한다. f가 E에서 연속이면, E 내에 점 (x_0, y_0, z_0)이 존재하여 다음이 성립한다.

\iiint_E f \, dV = f(x_0, y_0, z_0) \cdot V(E)

여기서 V(E)는 영역 E의 체적이다.

참고 문헌

• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning.
• Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. 10th ed., Wiley.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2012). Vector Calculus. 6th ed., W. H. Freeman.

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