7.30 이상 적분과 수렴 판정

1. 이상 적분의 정의

정적분 $\int_a^b f(x) \, dx$ 는 적분 구간 $[a, b]$ 가 유한하고 피적분함수 $f$ 가 해당 구간에서 유계(bounded)일 때 리만 적분(Riemann integral)으로서 정의된다. 이 조건 중 하나라도 위배되는 경우를 이상 적분(improper integral)이라 한다. 이상 적분은 두 가지 유형으로 분류된다.

1.1 제1종 이상 적분: 무한 적분 구간

적분 구간이 무한인 경우이다.

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{R \to \infty} \int_a^R f(x) \, dx$

$\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{R \to -\infty} \int_R^b f(x) \, dx$

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^c f(x) \, dx + \int_c^{\infty} f(x) \, dx$

위 극한이 유한한 값으로 존재하면 이상 적분이 수렴(convergent)한다고 하며, 극한이 존재하지 않거나 $\pm \infty$ 로 발산하면 발산(divergent)한다고 한다. 양쪽 무한 적분의 경우, 각 적분이 독립적으로 수렴해야 전체 적분이 수렴한다.

1.2 제2종 이상 적분: 피적분함수의 특이점

피적분함수 $f$ 가 적분 구간 내의 점 $c$ 에서 비유계인 경우이다. $c = a$ (왼쪽 끝점)인 경우

$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x) \, dx$

$c = b$ (오른쪽 끝점)인 경우

$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{b-\epsilon} f(x) \, dx$

특이점 $c$ 가 구간 내부 $a < c < b$ 에 있으면

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

로 분할하여 각각을 별도의 이상 적분으로 처리한다.

2. 기본적인 수렴 예시

2.1 $p$ -적분

$p$ -적분(p-integral)은 이상 적분의 수렴 판정에서 기본적인 비교 대상이 된다.

제1종 $p$ -적분:

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} \, dx = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1}, & p > 1 \\ \text{발산}, & p \leq 1 \end{cases}$

$p > 1$ 일 때, $\int_1^R x^{-p} \, dx = \frac{1}{1-p}[R^{1-p} - 1]$ 이고, $R \to \infty$ 이면 $R^{1-p} \to 0$ 이므로 수렴한다.

제2종 $p$ -적분:

$\int_0^1 \frac{1}{x^p} \, dx = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p}, & p < 1 \\ \text{발산}, & p \geq 1 \end{cases}$

2.2 지수 함수 적분

$\int_0^\infty e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}, \quad a > 0$

이 적분은 지수 함수의 급격한 감쇠에 의해 수렴하며, 라플라스 변환의 기본 구성 요소이다.

2.3 가우시안 적분

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$

이 결과는 확률론에서 정규 분포(normal distribution)의 정규화 조건에 필수적이며, 로봇공학에서 센서 잡음 모형의 기초가 된다.

3. 수렴 판정법

3.1 비교 판정법

$0 \leq f(x) \leq g(x)$ 가 $x \geq a$ 에서 성립할 때,

$\int_a^\infty g(x) \, dx$ 가 수렴하면 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 도 수렴한다.
$\int_a^\infty f(x) \, dx$ 가 발산하면 $\int_a^\infty g(x) \, dx$ 도 발산한다.

이 판정법은 비음(non-negative) 피적분함수에 대해 적용되며, 적분의 단조성(monotonicity)에 기반한다.

3.2 극한 비교 판정법

$f(x) > 0$ , $g(x) > 0$ 이고

$L = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$

가 존재할 때,

$0 < L < \infty$ 이면 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 와 $\int_a^\infty g(x) \, dx$ 의 수렴·발산이 일치한다.
$L = 0$ 이면 $\int_a^\infty g(x) \, dx$ 의 수렴이 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 의 수렴을 함의한다.
$L = \infty$ 이면 $\int_a^\infty g(x) \, dx$ 의 발산이 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 의 발산을 함의한다.

실제 판정에서는 $g(x)$ 로 $p$ -적분 $1/x^p$ 나 지수 함수 $e^{-ax}$ 를 선택하는 경우가 많다.

3.3 절대 수렴과 조건부 수렴

이상 적분 $\int_a^\infty f(x) \, dx$ 에서 $\int_a^\infty \lvert f(x) \rvert \, dx$ 가 수렴하면, 원래 적분도 수렴하며 이를 절대 수렴(absolute convergence)이라 한다. 절대 수렴하지 않지만 원래 적분이 수렴하는 경우를 조건부 수렴(conditional convergence)이라 한다.

절대 수렴은 다음의 부등식에 의해 보장된다.

$\left\lvert \int_a^R f(x) \, dx \right\rvert \leq \int_a^R \lvert f(x) \rvert \, dx$

3.4 디리클레 판정법

$f(x)$ 가 단조 감소하여 $f(x) \to 0$ ( $x \to \infty$ )이고, $G(R) = \int_a^R g(x) \, dx$ 가 유계(bounded)이면

$\int_a^\infty f(x) g(x) \, dx$

는 수렴한다. 이 판정법은 진동하는 피적분함수의 수렴 판정에 유용하다.

4. 제2종 이상 적분의 수렴 판정

특이점 $c$ 에서의 제2종 이상 적분에 대해서도 유사한 판정법이 적용된다.

$f(x) > 0$ 이고 $c$ 근방에서 $f(x) \sim (x - c)^{-p}$ ( $x \to c^+$ )이면

$p < 1$ : 수렴
$p \geq 1$ : 발산

이다. 보다 정밀하게는 극한 비교 판정법을 적용하여

$L = \lim_{x \to c^+} (x - c)^p f(x)$

가 유한한 양수이면, $f$ 의 이상 적분과 $(x - c)^{-p}$ 의 이상 적분이 동일한 수렴·발산 거동을 보인다.

5. 이상 적분의 수치적 계산

5.1 절단 기법

제1종 이상 적분의 수치적 계산에서는 무한 구간을 유한 구간 $[a, R]$ 로 절단(truncation)하고, 절단 오차(truncation error)

$E_R = \left\lvert \int_R^\infty f(x) \, dx \right\rvert$

를 제어한다. 피적분함수가 지수적으로 감쇠하는 경우( $f(x) \sim Ce^{-\alpha x}$ ), 절단 오차는 $E_R \sim C e^{-\alpha R} / \alpha$ 로 급격히 감소한다. 대수적으로 감쇠하는 경우( $f(x) \sim C/x^p$ , $p > 1$ ), $E_R \sim C R^{1-p} / (p-1)$ 로 느리게 감소한다.

5.2 변수 변환 기법

무한 구간의 적분을 변수 변환으로 유한 구간으로 사상(mapping)할 수 있다. $x = 1/t$ 치환을 적용하면

$\int_1^\infty f(x) \, dx = \int_0^1 \frac{1}{t^2} f\left(\frac{1}{t}\right) dt$

이 되어 유한 구간 $[0, 1]$ 에서의 적분으로 변환된다. 변환된 피적분함수가 $t = 0$ 근방에서 유계이면 표준 구적법(quadrature)을 직접 적용할 수 있다.

5.3 가우스-라게르 구적법

$[0, \infty)$ 구간에서 $e^{-x} f(x)$ 형태의 적분에 대해, 가우스-라게르 구적법(Gauss-Laguerre quadrature)은

$\int_0^\infty e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)$

로 근사한다. 여기서 $x_i$ 는 라게르 다항식(Laguerre polynomial) $L_n(x)$ 의 영점이고, $w_i$ 는 대응하는 가중치이다.

6. 로봇공학에서의 이상 적분

6.1 라플라스 변환의 수렴 영역

시간 함수 $f(t)$ 의 라플라스 변환

$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \, dt$

은 제1종 이상 적분이다. 이 적분이 수렴하는 $s \in \mathbb{C}$ 의 집합이 수렴 영역(region of convergence, ROC)을 형성한다. 지수 차수(exponential order) $\sigma_0$ 를 가지는 함수, 즉 $\lvert f(t) \rvert \leq M e^{\sigma_0 t}$ 인 함수에 대해, $\text{Re}(s) > \sigma_0$ 이면 라플라스 변환이 수렴한다.

6.2 무한 시간 지평의 비용 적분

최적 제어에서 무한 시간 지평(infinite horizon)의 비용 범함수

$J = \int_0^\infty \bigl(\mathbf{x}^T \mathbf{Q} \mathbf{x} + \mathbf{u}^T \mathbf{R} \mathbf{u}\bigr) \, dt$

는 제1종 이상 적분이다. 이 적분이 유한한 값으로 수렴하려면 폐루프 시스템이 점근적으로 안정(asymptotically stable)해야 하며, 즉 $\mathbf{x}(t) \to \mathbf{0}$ 이 충분히 빠르게 성립해야 한다. 선형 시스템에서 폐루프 고유값의 실수부가 모두 음수이면, 상태 벡터가 지수적으로 감쇠하여 비용 적분이 수렴한다.

6.3 확률 밀도 함수의 정규화

센서 잡음이나 불확실성을 모형화하는 확률 밀도 함수(probability density function, PDF) $p(x)$ 는 정규화 조건

$\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \, dx = 1$

을 만족해야 한다. 이 조건은 양쪽 무한 구간에서의 제1종 이상 적분의 수렴을 요구한다. 가우시안 분포의 경우

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx = 1$

이 성립하며, 이는 가우시안 적분의 결과에 의해 보장된다.

6.4 감쇠 시스템의 총 에너지 소산

감쇠 계수 $b > 0$ 를 가진 로봇 관절에서, 초기 에너지가 마찰에 의해 소산되는 총량은

$E_{\text{total}} = \int_0^\infty b \dot{q}^2(t) \, dt$

이다. 감쇠 자유 진동 $\dot{q}(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \sin(\omega_d t)$ 의 경우, 이 적분은 지수 감쇠에 의해 수렴하며 초기 운동 에너지 $\frac{1}{2}J\dot{q}^2(0)$ 과 같다.

7. 참고 문헌

Apostol, T. M. (1967). Calculus, Vol. 1. 2nd ed. Wiley.
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. McGraw-Hill.
Davis, P. J., & Rabinowitz, P. (2007). Methods of Numerical Integration. 2nd ed. Dover.
Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering. 5th ed. Prentice Hall.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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