7.3 기본 미분 공식과 미분 규칙

1. 기본 미분 공식

로봇공학에서 빈번하게 등장하는 기본 함수들의 도함수를 정리한다. 이 공식들은 모두 도함수의 정의로부터 유도할 수 있다.

1.1 다항함수와 거듭제곱함수

\frac{d}{dx}(c) = 0 \quad (c \text{는 상수})

\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \quad (n \in \mathbb{R})

이 공식은 정수뿐 아니라 실수 지수에 대해서도 성립한다. 예를 들어:

\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

1.2 삼각함수

로봇공학에서 회전 관절의 기구학 해석에 삼각함수의 미분이 필수적이다.

\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x

\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x

\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x

\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x

\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x

1.3 역삼각함수

역기구학 해석에서 관절 각도를 구할 때 역삼각함수의 미분이 필요하다.

\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1)

\frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1)

\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}

특히 \text{atan2}(y, x) 함수는 로봇공학에서 각도 계산에 널리 사용되며, 편미분은 다음과 같다.

\frac{\partial}{\partial x}\text{atan2}(y, x) = \frac{-y}{x^2 + y^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\text{atan2}(y, x) = \frac{x}{x^2 + y^2}

1.4 지수함수와 로그함수

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \quad (a > 0, \; a \neq 1)

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0, \; a > 0, \; a \neq 1)

1.5 쌍곡선함수

로봇 케이블의 현수선(catenary) 형상 등에서 등장한다.

\frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x

\frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x

\frac{d}{dx}(\tanh x) = \text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x

2. 미분 규칙

복합적인 함수의 도함수를 구하기 위해 다음의 미분 규칙들이 체계적으로 적용된다.

2.1 선형성 (Linearity)

미분 연산자 \frac{d}{dx}는 선형 연산자이다.

\frac{d}{dx}[\alpha f(x) + \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x) \quad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})

2.2 곱의 법칙 (Product Rule)

두 함수의 곱에 대한 미분 규칙이다.

\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

이를 n개 함수의 곱으로 일반화하면 라이프니츠 규칙(Leibniz rule)이 된다.

\frac{d}{dx}\prod_{i=1}^{n} f_i(x) = \sum_{i=1}^{n} \left[\prod_{j \neq i} f_j(x)\right] f_i'(x)

로봇공학에서 곱의 법칙은 운동 에너지의 시간 미분을 계산할 때 자주 사용된다. 예를 들어, 운동 에너지 T = \frac{1}{2}\dot{\mathbf{q}}^\top \mathbf{M}(\mathbf{q})\dot{\mathbf{q}}의 시간 미분에서 곱의 법칙이 필수적이다.

2.3 몫의 법칙 (Quotient Rule)

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x) \neq 0)

2.4 연쇄 법칙 (Chain Rule)

합성함수의 미분에 적용되는 가장 중요한 규칙이다.

\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)

라이프니츠 표기법으로는 y = f(u), u = g(x)일 때 다음과 같다.

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

이를 다중 합성으로 확장하면:

\frac{d}{dx}[f_1 \circ f_2 \circ \cdots \circ f_n](x) = f_1'(f_2 \circ \cdots \circ f_n(x)) \cdot f_2'(f_3 \circ \cdots \circ f_n(x)) \cdots f_n'(x)

연쇄 법칙은 로봇공학에서 극히 중요한 역할을 한다. 순기구학 함수가 동차변환행렬의 곱으로 표현될 때, 자코비안 행렬의 계산에 연쇄 법칙이 직접 적용된다. 또한 신경망 기반 로봇 제어에서 역전파(backpropagation) 알고리즘의 수학적 기초가 바로 연쇄 법칙이다.

예제: 로봇 2-링크 플래너 매니퓰레이터의 말단장치 위치가 다음과 같을 때

x = l_1\cos q_1 + l_2\cos(q_1 + q_2)

q_1에 대한 편미분은 연쇄 법칙을 적용하여 다음과 같이 구한다.

\frac{\partial x}{\partial q_1} = -l_1\sin q_1 - l_2\sin(q_1 + q_2)

2.5 역함수의 미분 (Inverse Function Rule)

f가 미분 가능하고 f'(a) \neq 0이면, 역함수 f^{-1}도 점 b = f(a)에서 미분 가능하며:

(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(b))}

라이프니츠 표기법으로는:

\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}

2.6 음함수의 미분 (Implicit Differentiation)

F(x, y) = 0으로 정의된 음함수에서 \frac{dy}{dx}를 구하려면 양변을 x에 대해 미분한다.

\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y}

로봇공학에서 구속 조건(constraint)이 음함수 형태로 주어지는 경우가 많으며, 이때 음함수 미분이 필수적이다.

2.7 로그 미분법 (Logarithmic Differentiation)

복잡한 곱이나 거듭제곱 형태의 함수에 대해 양변에 자연로그를 취한 후 미분하는 기법이다. y = [f(x)]^{g(x)}와 같은 형태에서:

\ln y = g(x) \ln f(x)

양변을 x에 대해 미분하면:

\frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}

3. 기본 미분 공식의 증명 예시

3.1 \sin x의 도함수 유도

정의로부터:

\frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}

삼각함수 덧셈 정리를 적용하면:

= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}

= \lim_{h \to 0} \left[\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right]

기본 극한 \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1과 \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0을 이용하면:

= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x

4. 주요 미분 공식 요약표

참고 문헌

• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning.
• Apostol, T. M. (1967). Calculus, Volume 1. 2nd ed. Wiley.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson.
• Spong, M. W., Hutchinson, S., & Vidyasagar, M. (2006). Robot Modeling and Control. Wiley.

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