7.29 치환 적분과 부분 적분
1. 치환 적분법
1.1 부정적분에서의 치환 적분
치환 적분법(integration by substitution)은 연쇄 법칙(chain rule)의 역과정에 해당하는 적분 기법이다. 합성 함수 f(g(x))의 적분에서 내부 함수 g(x)를 새로운 변수 u로 치환하여 적분을 단순화한다.
u = g(x)로 치환하면 du = g'(x) \, dx이므로
\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
가 성립한다. 우변의 적분이 F(u) + C로 구해지면
\int f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(x)) + C
이다. 이 공식의 정당성은 연쇄 법칙에 의해 확인된다.
\frac{d}{dx} F(g(x)) = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)
1.2 정적분에서의 치환 적분
정적분에 치환 적분을 적용할 때에는 적분 한계(limits of integration)도 함께 변환해야 한다.
\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du
g가 [a, b]에서 C^1급이고 f가 g의 치역에서 연속이면 이 공식이 성립한다.
1.3 계산 예시
예시 1. \displaystyle\int_0^1 2x e^{x^2} \, dx를 계산하라.
u = x^2으로 치환하면 du = 2x \, dx이고, x = 0일 때 u = 0, x = 1일 때 u = 1이다.
\int_0^1 2x e^{x^2} \, dx = \int_0^1 e^u \, du = \bigl[e^u\bigr]_0^1 = e - 1
예시 2. \displaystyle\int \frac{\cos(\ln x)}{x} \, dx를 계산하라.
u = \ln x로 치환하면 du = (1/x) \, dx이므로
\int \frac{\cos(\ln x)}{x} \, dx = \int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(\ln x) + C
1.4 삼각 치환
피적분함수에 \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2} 형태의 무리식(radical expression)이 포함된 경우, 삼각 치환(trigonometric substitution)을 적용한다.
| 피적분함수의 형태 | 치환 | 항등식 |
|---|---|---|
| \sqrt{a^2 - x^2} | x = a \sin\theta | 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta |
| \sqrt{a^2 + x^2} | x = a \tan\theta | 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta |
| \sqrt{x^2 - a^2} | x = a \sec\theta | \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta |
이러한 치환은 로봇공학에서 원호 궤적(circular arc trajectory)의 경로 길이 계산이나 원형 운동의 에너지 적분에 활용된다.
2. 부분 적분법
2.1 부정적분에서의 부분 적분
부분 적분법(integration by parts)은 곱의 미분법(product rule)의 역과정에 해당하는 적분 기법이다. 두 함수 u(x)와 v(x)의 곱에 대한 미분 공식
\frac{d}{dx}[u(x) v(x)] = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)
의 양변을 적분하면
u(x) v(x) = \int u'(x) v(x) \, dx + \int u(x) v'(x) \, dx
이므로, 부분 적분 공식을 얻는다.
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) \, dx
간결한 표기로 du = u'(x) \, dx, dv = v'(x) \, dx를 사용하면
\int u \, dv = uv - \int v \, du
이다.
2.2 정적분에서의 부분 적분
정적분에 적용하면
\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \bigl[u(x) v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx
이다.
2.3 u와 dv의 선택 전략
부분 적분의 성공은 u와 dv의 적절한 선택에 달려 있다. 일반적으로 LIATE 규칙(Kasube, 1983)이 u의 우선순위를 결정하는 경험적 지침으로 사용된다.
- Logarithmic: \ln x, \log x
- Inverse trigonometric: \arcsin x, \arctan x
- Algebraic: x^n, 다항식
- Trigonometric: \sin x, \cos x
- Exponential: e^x, a^x
목록 상위의 함수를 u로, 하위의 함수를 dv의 일부로 선택하면 적분이 단순화되는 경우가 많다.
2.4 계산 예시
예시 1. \displaystyle\int x e^x \, dx를 계산하라.
u = x, dv = e^x \, dx로 설정하면 du = dx, v = e^x이다.
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C
예시 2. \displaystyle\int x^2 \sin x \, dx를 계산하라.
u = x^2, dv = \sin x \, dx로 설정하면 du = 2x \, dx, v = -\cos x이다.
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx
\int x \cos x \, dx에 다시 부분 적분을 적용한다. u = x, dv = \cos x \, dx이면
\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C_1
따라서
\int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C
2.5 반복 부분 적분과 도표법
\int x^n e^{ax} \, dx, \int x^n \sin(bx) \, dx 등과 같이 부분 적분을 여러 번 반복해야 하는 경우, 도표법(tabular method)을 사용하면 효율적이다. u의 반복 미분과 dv의 반복 적분을 교대로 부호를 바꾸어 곱한 합으로 결과를 얻는다.
\int x^3 e^{2x} \, dx에 도표법을 적용하면
| 미분 (u) | 적분 (dv) | 부호 |
|---|---|---|
| x^3 | e^{2x} | + |
| 3x^2 | \frac{1}{2} e^{2x} | - |
| 6x | \frac{1}{4} e^{2x} | + |
| 6 | \frac{1}{8} e^{2x} | - |
| 0 | \frac{1}{16} e^{2x} | + |
결과는
\int x^3 e^{2x} \, dx = \frac{x^3}{2} e^{2x} - \frac{3x^2}{4} e^{2x} + \frac{6x}{8} e^{2x} - \frac{6}{16} e^{2x} + C
= \left( \frac{x^3}{2} - \frac{3x^2}{4} + \frac{3x}{4} - \frac{3}{8} \right) e^{2x} + C
이다.
2.6 순환 부분 적분
\int e^{ax} \sin(bx) \, dx나 \int e^{ax} \cos(bx) \, dx와 같은 적분에서는 부분 적분을 두 번 적용하면 원래 적분이 다시 나타나는 순환(cyclic) 구조가 발생한다.
I = \int e^{ax} \sin(bx) \, dx에 대해 부분 적분을 두 번 적용하면
I = -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx
= -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) + \frac{a}{b} \left[ \frac{1}{b} e^{ax} \sin(bx) - \frac{a}{b} I \right]
= -\frac{1}{b} e^{ax} \cos(bx) + \frac{a}{b^2} e^{ax} \sin(bx) - \frac{a^2}{b^2} I
I에 대해 정리하면
\left(1 + \frac{a^2}{b^2}\right) I = \frac{e^{ax}}{b^2} (a \sin(bx) - b \cos(bx))
I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C
이 결과는 로봇 제어 시스템에서 감쇠 진동 응답의 시간 적분을 구할 때 직접 활용된다.
3. 로봇공학에서의 응용
3.1 궤적 프로파일의 적분
사다리꼴 속도 프로파일(trapezoidal velocity profile)에서 가속 구간 [0, t_a]의 변위를 계산할 때, 속도 \dot{q}(t) = (v_{\max}/t_a) t를 적분하면
q(t_a) - q(0) = \int_0^{t_a} \frac{v_{\max}}{t_a} t \, dt = \frac{v_{\max}}{t_a} \cdot \frac{t_a^2}{2} = \frac{v_{\max} t_a}{2}
이다. S자형(S-curve) 속도 프로파일에서는 가가속도(jerk) 구간의 적분에 다항식 치환이 필요하다.
3.2 라플라스 변환의 계산
라플라스 변환 \mathcal{L}\{t^n e^{-at}\} = \int_0^\infty t^n e^{-at} e^{-st} \, dt의 계산에 부분 적분이 반복적으로 적용된다. u = t^n, dv = e^{-(a+s)t} \, dt로 설정하여 n회 부분 적분을 수행하면
\mathcal{L}\{t^n e^{-at}\} = \frac{n!}{(s + a)^{n+1}}, \quad s > -a
을 얻는다. 이 결과는 로봇 제어 시스템의 전달 함수 해석에서 빈번하게 사용된다.
3.3 관성 모멘트의 적분
원통형(cylindrical) 로봇 링크의 관성 모멘트를 계산할 때, 회전축으로부터의 거리에 대한 적분에 치환이 활용된다. 밀도가 균일한 반지름 R, 길이 L의 원통의 축방향 관성 모멘트는
I_z = \rho \int_0^L \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot r \, dr \, d\theta \, dz = \rho L \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} m R^2
이며, 여기서 m = \rho \pi R^2 L은 원통의 질량이다. 비균일 밀도 분포 \rho(r)의 경우에는 적절한 치환에 의해 적분을 수행한다.
3.4 에너지 소산의 계산
점성 마찰(viscous friction) 계수 b를 가진 관절에서 시간 구간 [0, T] 동안의 에너지 소산은
E_{\text{diss}} = \int_0^T b \dot{q}^2(t) \, dt
이다. 사인파 궤적 \dot{q}(t) = A \sin(\omega t)의 경우
E_{\text{diss}} = bA^2 \int_0^T \sin^2(\omega t) \, dt
이며, 반각 공식(half-angle formula) \sin^2(\omega t) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2\omega t))를 적용하면
E_{\text{diss}} = \frac{bA^2}{2} \left[ T - \frac{\sin(2\omega T)}{2\omega} \right]
을 얻는다. 한 주기 T = 2\pi / \omega에 대해 E_{\text{diss}} = bA^2 \pi / \omega이다.
4. 참고 문헌
- Apostol, T. M. (1967). Calculus, Vol. 1. 2nd ed. Wiley.
- Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning.
- Kasube, H. E. (1983). “A Technique for Integration by Parts.” The American Mathematical Monthly, 90(3), 210–211.
- Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson.
- Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
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