7.27 정적분의 정의와 리만 합

1. 분할과 리만 합

1.1 구간의 분할

닫힌 구간 $[a, b]$ 의 분할(partition) $P$ 는 다음과 같이 구간을 유한개의 소구간으로 나누는 점들의 집합이다.

$P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n\}, \quad a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$

각 소구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 의 길이를 $\Delta x_i$ 로 표기한다.

$\Delta x_i = x_i - x_{i-1}, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

분할의 노름(norm) 또는 메쉬(mesh)는 소구간 길이의 최댓값으로 정의한다.

$\lVert P \rVert = \max_{1 \leq i \leq n} \Delta x_i$

1.2 리만 합의 정의

함수 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 와 분할 $P$ 가 주어졌을 때, 각 소구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 에서 표본점(sample point) $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ 를 선택하면, 리만 합(Riemann sum)은 다음과 같이 정의한다.

$S(f, P, \boldsymbol{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

여기서 $\boldsymbol{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n)$ 은 표본점들의 집합이다. 리만 합은 함수 $f(x)$ 의 그래프와 $x$ -축 사이의 면적에 대한 근사값을 제공한다.

1.3 특수한 리만 합

표본점의 선택에 따라 다음과 같은 특수한 리만 합이 정의된다.

좌측 리만 합(Left Riemann Sum):

$L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x_i$

우측 리만 합(Right Riemann Sum):

$R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x_i$

중점 리만 합(Midpoint Riemann Sum):

$M_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(\frac{x_{i-1} + x_i}{2}\right) \Delta x_i$

등간격 분할 $\Delta x_i = \Delta x = \dfrac{b - a}{n}$ 의 경우, $x_i = a + i \Delta x$ 이며, 좌측 리만 합은 다음과 같이 단순화된다.

$L_n = \frac{b - a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(a + i \cdot \frac{b - a}{n}\right)$

2. 상합과 하합

2.1 다르부 합

분할 $P$ 에 대해, 각 소구간에서의 함수의 상한(supremum)과 하한(infimum)을 이용하여 다르부 상합(upper Darboux sum)과 다르부 하합(lower Darboux sum)을 정의한다.

$M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x), \quad m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$

$U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i, \quad L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$

임의의 리만 합 $S(f, P, \boldsymbol{\xi})$ 에 대해 다음 부등식이 성립한다.

$L(f, P) \leq S(f, P, \boldsymbol{\xi}) \leq U(f, P)$

2.2 분할의 세분

분할 $P'$ 이 $P$ 의 세분(refinement)이면, 즉 $P \subset P'$ 이면 다음이 성립한다.

$L(f, P) \leq L(f, P') \leq U(f, P') \leq U(f, P)$

이는 분할을 더 세밀하게 할수록 하합은 증가하고 상합은 감소함을 의미한다.

3. 리만 적분의 정의

3.1 정의

함수 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ 가 구간 $[a, b]$ 에서 리만 적분가능(Riemann integrable)하다 함은, 분할의 노름이 0에 수렴할 때 리만 합이 표본점의 선택에 무관하게 하나의 값 $I$ 에 수렴하는 것이다.

$\int_a^b f(x) \, dx = I \iff \forall \varepsilon > 0, \; \exists \delta > 0 : \lVert P \rVert < \delta \implies \lvert S(f, P, \boldsymbol{\xi}) - I \rvert < \varepsilon$

이때 $I$ 를 $f$ 의 $a$ 에서 $b$ 까지의 정적분(definite integral)이라 한다.

3.2 다르부 적분과의 동치

상적분(upper integral)과 하적분(lower integral)을 다음과 같이 정의한다.

$\overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \inf_P U(f, P), \quad \underline{\int_a^b} f(x) \, dx = \sup_P L(f, P)$

$f$ 가 리만 적분가능할 필요충분조건은 상적분과 하적분이 같은 것이다.

$\overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \underline{\int_a^b} f(x) \, dx$

3.3 적분가능 조건

다음 조건들은 리만 적분가능성을 보장한다.

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면 리만 적분가능하다.
$f$ 가 $[a, b]$ 에서 유계(bounded)이고 유한개의 불연속점만 가지면 리만 적분가능하다.
$f$ 가 $[a, b]$ 에서 단조(monotone)이면 리만 적분가능하다.

4. 정적분의 기본 성질

정적분은 다음의 성질들을 만족한다.

4.1 선형성

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx$

4.2 구간의 분할

임의의 $c \in [a, b]$ 에 대해 다음이 성립한다.

$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$

4.3 적분 한계의 교환

$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

4.4 부등식 보존

$f(x) \leq g(x)$ 가 $[a, b]$ 에서 성립하면 다음이 성립한다.

$\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$

4.5 절대값 부등식

$\left\lvert \int_a^b f(x) \, dx \right\rvert \leq \int_a^b \lvert f(x) \rvert \, dx$

4.6 적분의 평균값 정리

$f$ 가 $[a, b]$ 에서 연속이면, 다음을 만족하는 $c \in [a, b]$ 가 존재한다.

$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a)$

$f(c)$ 를 $f$ 의 구간 $[a, b]$ 에서의 적분 평균(integral mean)이라 하며, 다음과 같이 표기한다.

$\bar{f} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx$

5. 수치 적분과 리만 합의 관계

5.1 사다리꼴 공식

사다리꼴 공식(trapezoidal rule)은 좌측 리만 합과 우측 리만 합의 평균이다.

$T_n = \frac{L_n + R_n}{2} = \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]$

오차는 다음과 같이 한정된다.

$\left\lvert \int_a^b f(x) \, dx - T_n \right\rvert \leq \frac{(b - a)^3}{12n^2} \max_{x \in [a, b]} \lvert f''(x) \rvert$

5.2 심프슨 공식

심프슨 공식(Simpson’s rule)은 $n$ 이 짝수일 때 다음과 같다.

$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i \;\text{홀수}} f(x_i) + 2\sum_{i \;\text{짝수}, \; i \neq 0, n} f(x_i) + f(x_n) \right]$

오차 한정은 다음과 같다.

$\left\lvert \int_a^b f(x) \, dx - S_n \right\rvert \leq \frac{(b - a)^5}{180n^4} \max_{x \in [a, b]} \lvert f^{(4)}(x) \rvert$

6. 로봇공학에서의 응용

6.1 궤적의 경로 길이

로봇 말단장치의 작업 공간 위치가 시간에 따라 $\mathbf{p}(t) = [x(t), y(t), z(t)]^\top$ 로 변화할 때, 경로의 길이(arc length)는 정적분으로 구한다.

$L = \int_{t_0}^{t_f} \lVert \dot{\mathbf{p}}(t) \rVert \, dt = \int_{t_0}^{t_f} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2} \, dt$

이 적분은 리만 합으로 근사하면 다음과 같다.

$L \approx \sum_{i=1}^{N} \lVert \mathbf{p}(t_i) - \mathbf{p}(t_{i-1}) \rVert$

6.2 에너지 소모량 계산

로봇 관절의 에너지 소모량은 토크와 각속도의 곱을 시간에 대해 적분하여 구한다.

$E = \int_{t_0}^{t_f} \boldsymbol{\tau}(t)^\top \dot{\mathbf{q}}(t) \, dt$

이산 시간에서 리만 합으로 근사하면 다음과 같다.

$E \approx \sum_{k=0}^{N-1} \boldsymbol{\tau}(t_k)^\top \dot{\mathbf{q}}(t_k) \Delta t$

6.3 관절 공간 적분

로봇의 관절 공간에서의 궤적 매끄러움(smoothness) 지표로 다음과 같은 적분을 사용한다.

$J_{\text{jerk}} = \int_{t_0}^{t_f} \lVert \dddot{\mathbf{q}}(t) \rVert^2 \, dt$

이는 최소 저크(minimum jerk) 궤적 생성의 비용 함수로, 리만 합에 의한 이산 근사가 수치 최적화에서 사용된다.

$J_{\text{jerk}} \approx \sum_{k=0}^{N-1} \lVert \dddot{\mathbf{q}}_k \rVert^2 \Delta t$

참고 문헌

Apostol, T. M. (1967). Calculus, Vol. 1. 2nd Edition. Wiley.
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. 3rd Edition. McGraw-Hill.
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th Edition. Cengage Learning.
Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd Edition. Pearson.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

v 0.1