7.26 부정적분과 역도함수

1. 역도함수의 정의

함수 $f(x)$ 의 역도함수(antiderivative)란, 도함수가 $f(x)$ 와 같은 함수 $F(x)$ 를 말한다. 즉, 구간 $I$ 에서 다음이 성립하는 함수 $F(x)$ 이다.

$F'(x) = f(x), \quad \forall x \in I$

역도함수를 원시함수(primitive function)라고도 부른다. $F(x)$ 가 $f(x)$ 의 역도함수이면, 임의의 상수 $C$ 에 대해 $F(x) + C$ 도 역도함수가 된다. 역으로, $f(x)$ 의 모든 역도함수는 이러한 형태를 가진다.

정리: 구간 $I$ 에서 연속인 함수 $f(x)$ 의 두 역도함수의 차이는 상수이다.

$F_1'(x) = F_2'(x) = f(x) \implies F_1(x) - F_2(x) = C$

이 정리의 증명은 평균값 정리에 기초한다. $G(x) = F_1(x) - F_2(x)$ 로 놓으면 $G'(x) = 0$ 이므로, 구간에서 $G(x)$ 는 상수 함수이다.

2. 부정적분의 정의

함수 $f(x)$ 의 부정적분(indefinite integral)은 $f(x)$ 의 모든 역도함수의 집합으로, 다음과 같이 표기한다.

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

여기서 $F(x)$ 는 $f(x)$ 의 특정 역도함수이고, $C$ 는 임의의 적분 상수(constant of integration)이다. 적분 기호 $\int$ 는 라이프니츠(Leibniz)가 도입한 표기법으로, ’S’를 늘인 형태로서 합(summa)을 의미한다.

3. 기본 부정적분 공식

로봇공학에서 자주 사용되는 기본 부정적분 공식은 다음과 같다.

3.1 다항함수

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$

$\int x^{-1} \, dx = \ln \lvert x \rvert + C$

3.2 지수함수와 로그함수

$\int e^x \, dx = e^x + C$

$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad a > 0, \; a \neq 1$

3.3 삼각함수

$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$

$\int \cos x \, dx = \sin x + C$

$\int \tan x \, dx = -\ln \lvert \cos x \rvert + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C$

3.4 역삼각함수를 결과로 갖는 적분

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C$

$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C$

$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} \, dx = \text{arcsec} \lvert x \rvert + C$

4. 부정적분의 기본 성질

부정적분은 다음의 선형성(linearity)을 만족한다.

4.1 상수배

$\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx, \quad k \in \mathbb{R}$

4.2 합과 차

$\int \bigl[ f(x) \pm g(x) \bigr] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$

이 두 성질을 결합하면 일반적인 선형 결합에 대해 다음이 성립한다.

$\int \left[ \sum_{i=1}^{n} a_i f_i(x) \right] dx = \sum_{i=1}^{n} a_i \int f_i(x) \, dx$

5. 벡터 함수의 부정적분

로봇공학에서는 벡터값 함수의 적분이 빈번하게 필요하다. 벡터 함수 $\mathbf{f}(t) = [f_1(t), f_2(t), \ldots, f_n(t)]^\top$ 의 부정적분은 각 성분별로 적분하여 구한다.

$\int \mathbf{f}(t) \, dt = \begin{bmatrix} \int f_1(t) \, dt \\ \int f_2(t) \, dt \\ \vdots \\ \int f_n(t) \, dt \end{bmatrix} = \mathbf{F}(t) + \mathbf{C}$

여기서 $\mathbf{C} = [C_1, C_2, \ldots, C_n]^\top$ 은 적분 상수 벡터이다.

6. 로봇공학에서의 응용

6.1 속도에서 위치로의 복원

로봇 관절의 각속도 $\dot{q}(t)$ 가 주어졌을 때, 관절 각도 $q(t)$ 는 부정적분으로 구한다.

$q(t) = \int \dot{q}(t) \, dt = Q(t) + C$

적분 상수 $C$ 는 초기 조건 $q(t_0) = q_0$ 에 의해 결정된다.

$C = q_0 - Q(t_0)$

따라서 다음을 얻는다.

$q(t) = q_0 + \int_{t_0}^{t} \dot{q}(\tau) \, d\tau$

6.2 가속도에서 속도와 위치로의 복원

관절 가속도 $\ddot{q}(t)$ 가 주어진 경우, 이중 적분을 수행하여 속도와 위치를 복원한다.

$\dot{q}(t) = \dot{q}_0 + \int_{t_0}^{t} \ddot{q}(\tau) \, d\tau$

$q(t) = q_0 + \dot{q}_0 (t - t_0) + \int_{t_0}^{t} \int_{t_0}^{s} \ddot{q}(\tau) \, d\tau \, ds$

등가속도 운동의 경우 $\ddot{q}(t) = a$ 이면 다음과 같다.

$q(t) = q_0 + \dot{q}_0 (t - t_0) + \frac{1}{2} a (t - t_0)^2$

6.3 힘/토크에서 운동량으로의 변환

로봇 동역학에서 일반화 힘(generalized force) $\boldsymbol{\tau}(t)$ 의 충격량(impulse)은 부정적분과 관련된다.

$\mathbf{p}(t) = \int \boldsymbol{\tau}(t) \, dt$

여기서 $\mathbf{p}(t)$ 는 일반화 운동량이다. 이는 운동량-충격량 정리(impulse-momentum theorem)의 적분 형태이다.

6.4 다항식 궤적 생성

로봇 궤적 생성에서 가속도를 시간의 다항식으로 설정하고 적분하여 속도와 위치 프로파일을 생성하는 방법이 널리 사용된다. 예를 들어, 삼차 다항식 궤적(cubic polynomial trajectory)은 다음과 같이 구성한다.

$q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$

이때 속도와 가속도는 각각 다음과 같다.

$\dot{q}(t) = a_1 + 2a_2 t + 3a_3 t^2$

$\ddot{q}(t) = 2a_2 + 6a_3 t$

경계 조건 $q(0) = q_0$ , $q(T) = q_f$ , $\dot{q}(0) = v_0$ , $\dot{q}(T) = v_f$ 를 대입하면 계수 $a_0, a_1, a_2, a_3$ 를 결정할 수 있다.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & T & T^2 & T^3 \\ 0 & 1 & 2T & 3T^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0 \\ v_0 \\ q_f \\ v_f \end{bmatrix}$

7. 존재성 정리

연속 함수의 역도함수 존재성은 다음 정리에 의해 보장된다.

정리: 구간 $[a, b]$ 에서 연속인 함수 $f(x)$ 에 대해, 다음으로 정의되는 함수는 $f(x)$ 의 역도함수이다.

$F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$

이 정리는 미적분학의 기본 정리의 일부이며, 모든 연속 함수가 역도함수를 가짐을 보장한다. 그러나 역도함수가 초등함수(elementary function)로 표현되지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다. 예를 들어, $\int e^{-x^2} dx$ 는 초등함수로 표현할 수 없으며, 이 경우 수치 적분이 필요하다.

참고 문헌

Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th Edition. Cengage Learning.
Apostol, T. M. (1967). Calculus, Vol. 1. 2nd Edition. Wiley.
Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd Edition. Pearson.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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