7.23 양정치, 반정치, 부정치 판정

1. 정치성의 정의

대칭 행렬 \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}의 정치성(definiteness)은 이차형식(quadratic form)의 부호 특성에 따라 분류된다. 이차형식은 다음과 같이 정의한다.

Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j

여기서 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n은 임의의 벡터이고, a_{ij}는 행렬 \mathbf{A}의 (i,j)-성분이다. 로봇공학에서 이 이차형식은 에너지 함수, 리아푸노프 함수, 비용 함수의 곡률 등을 분석할 때 핵심적인 역할을 한다.

2. 정치성의 분류

대칭 행렬 \mathbf{A}의 정치성은 다음과 같이 분류한다.

2.1 양정치 (Positive Definite)

모든 영이 아닌 벡터 \mathbf{x} \neq \mathbf{0}에 대해 이차형식이 항상 양수이면 \mathbf{A}를 양정치 행렬이라 한다.

\mathbf{A} \succ 0 \iff \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} > 0, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}

양정치 행렬은 로봇공학에서 관성 행렬(inertia matrix) \mathbf{M}(\mathbf{q})의 특성으로, 운동 에너지가 항상 양수임을 보장한다.

T = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^\top \mathbf{M}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} > 0, \quad \forall \dot{\mathbf{q}} \neq \mathbf{0}

2.2 양반정치 (Positive Semi-Definite)

모든 벡터 \mathbf{x}에 대해 이차형식이 음이 아닌 값을 가지면 \mathbf{A}를 양반정치 행렬이라 한다.

\mathbf{A} \succeq 0 \iff \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} \geq 0, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n

양반정치이면서 양정치가 아닌 경우, \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = 0을 만족하는 영이 아닌 벡터 \mathbf{x}가 존재한다.

2.3 음정치 (Negative Definite)

모든 영이 아닌 벡터 \mathbf{x} \neq \mathbf{0}에 대해 이차형식이 항상 음수이면 \mathbf{A}를 음정치 행렬이라 한다.

\mathbf{A} \prec 0 \iff \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} < 0, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \setminus \{\mathbf{0}\}

이는 -\mathbf{A}가 양정치인 것과 동치이다.

2.4 음반정치 (Negative Semi-Definite)

모든 벡터 \mathbf{x}에 대해 이차형식이 양이 아닌 값을 가지면 \mathbf{A}를 음반정치 행렬이라 한다.

\mathbf{A} \preceq 0 \iff \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} \leq 0, \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n

2.5 부정치 (Indefinite)

양수와 음수 값을 모두 취하는 이차형식을 갖는 행렬을 부정치 행렬이라 한다.

\exists \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x}_1^\top \mathbf{A} \mathbf{x}_1 > 0 \;\text{이고}\; \mathbf{x}_2^\top \mathbf{A} \mathbf{x}_2 < 0

부정치 행렬은 안장점(saddle point)의 존재와 직접적으로 관련된다.

3. 고유값에 의한 판정

대칭 행렬 \mathbf{A}의 고유값을 \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n이라 하면, 정치성과 고유값 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

이 판정법의 근거는 스펙트럼 정리(spectral theorem)이다. 대칭 행렬 \mathbf{A}는 직교 행렬 \mathbf{P}에 의해 대각화된다.

\mathbf{A} = \mathbf{P} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{P}^\top, \quad \boldsymbol{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)

이를 이차형식에 대입하고 \mathbf{y} = \mathbf{P}^\top \mathbf{x}로 치환하면 다음을 얻는다.

\mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{y}^\top \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{y} = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2

\mathbf{x} \neq \mathbf{0}이면 \mathbf{y} \neq \mathbf{0}이므로, 이차형식의 부호는 고유값들의 부호에 의해 결정된다.

4. 주소행렬식에 의한 판정 (실베스터 판정법)

고유값을 직접 계산하지 않고도 정치성을 판정할 수 있는 방법으로 실베스터 판정법(Sylvester’s criterion)이 있다. \mathbf{A}의 k차 선행 주소행렬(leading principal minor)을 \Delta_k라 정의한다.

\Delta_k = \det(\mathbf{A}_k), \quad k = 1, 2, \ldots, n

여기서 \mathbf{A}_k는 \mathbf{A}의 처음 k개의 행과 열로 구성한 부분 행렬이다. 구체적으로 다음과 같다.

\Delta_1 = a_{11}, \quad \Delta_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad \Delta_3 = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

4.1 양정치 판정

대칭 행렬 \mathbf{A}가 양정치일 필요충분조건은 모든 선행 주소행렬식이 양수인 것이다.

\mathbf{A} \succ 0 \iff \Delta_k > 0, \quad k = 1, 2, \ldots, n

4.2 음정치 판정

대칭 행렬 \mathbf{A}가 음정치일 필요충분조건은 선행 주소행렬식의 부호가 교대로 바뀌는 것이다.

\mathbf{A} \prec 0 \iff (-1)^k \Delta_k > 0, \quad k = 1, 2, \ldots, n

이는 다음과 동치이다.

\Delta_1 < 0, \quad \Delta_2 > 0, \quad \Delta_3 < 0, \quad \ldots

4.3 반정치 판정

양반정치 또는 음반정치의 판정에는 모든 주소행렬식(principal minor)을 검사해야 한다. \mathbf{A}의 k차 주소행렬식은 \mathbf{A}에서 k개의 행과 같은 번호의 열을 선택하여 구성한 부분 행렬의 행렬식이다.

\mathbf{A} \succeq 0 \iff \text{모든 주소행렬식} \geq 0

\mathbf{A} \preceq 0 \iff \text{모든 } k \text{차 주소행렬식에 대해 } (-1)^k \cdot (\text{주소행렬식}) \geq 0

5. 촐레스키 분해에 의한 판정

대칭 행렬 \mathbf{A}가 양정치이면 촐레스키 분해(Cholesky decomposition)가 존재한다. 즉, 하삼각 행렬 \mathbf{L}이 존재하여 다음이 성립한다.

\mathbf{A} = \mathbf{L} \mathbf{L}^\top

여기서 \mathbf{L}의 대각 성분은 모두 양수이다. 역으로 촐레스키 분해가 성공적으로 수행되면 \mathbf{A}는 양정치이다. 이 방법은 수치적으로 안정하며 계산 복잡도가 O(n^3/3)으로 고유값 분해보다 효율적이다.

양반정치의 경우 대각 성분에 0이 나타날 수 있으며, 이때 피벗 촐레스키 분해(pivoted Cholesky decomposition)를 사용한다.

\mathbf{P}^\top \mathbf{A} \mathbf{P} = \mathbf{L} \mathbf{L}^\top

여기서 \mathbf{P}는 순열 행렬(permutation matrix)이다.

6. 2 \times 2 행렬의 판정 예제

2 \times 2 대칭 행렬에 대해 정치성 판정을 구체적으로 살펴보자.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}

고유값은 다음과 같다.

\lambda_{1,2} = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a - d)^2 + 4b^2}}{2}

선행 주소행렬식은 다음과 같다.

\Delta_1 = a, \quad \Delta_2 = ad - b^2

양정치 조건은 다음과 같다.

\mathbf{A} \succ 0 \iff a > 0 \;\text{이고}\; ad - b^2 > 0

음정치 조건은 다음과 같다.

\mathbf{A} \prec 0 \iff a < 0 \;\text{이고}\; ad - b^2 > 0

부정치 조건은 다음과 같다.

\mathbf{A} \;\text{가 부정치} \iff ad - b^2 < 0

7. 로봇공학에서의 응용

7.1 관성 행렬의 양정치성

n자유도 로봇 매니퓰레이터의 관성 행렬 \mathbf{M}(\mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{n \times n}은 대칭이고 양정치이다. 이는 운동 에너지가 항상 양수라는 물리적 사실에서 기인한다.

T = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^\top \mathbf{M}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}} > 0, \quad \forall \dot{\mathbf{q}} \neq \mathbf{0}

관성 행렬의 양정치성은 로봇 동역학 방정식의 해의 존재성과 유일성을 보장하며, 역관성 행렬 \mathbf{M}^{-1}(\mathbf{q})의 존재를 보장한다.

7.2 리아푸노프 안정성 해석

리아푸노프 안정성 이론에서, 리아푸노프 함수 후보 V(\mathbf{x})는 양정치이어야 하며, 그 시간 도함수 \dot{V}(\mathbf{x})가 음반정치이면 안정성을, 음정치이면 점근 안정성을 보장한다.

이차형식 리아푸노프 함수의 경우 다음과 같다.

V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top \mathbf{P} \mathbf{x}, \quad \mathbf{P} \succ 0

선형 시스템 \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x}에 대해 시간 도함수는 다음과 같다.

\dot{V}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\top (\mathbf{A}^\top \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A}) \mathbf{x} = -\mathbf{x}^\top \mathbf{Q} \mathbf{x}

리아푸노프 방정식 \mathbf{A}^\top \mathbf{P} + \mathbf{P} \mathbf{A} = -\mathbf{Q}에서, \mathbf{Q} \succ 0이면 \dot{V} \prec 0이 되어 점근 안정성이 보장된다.

7.3 최적화에서의 정치성

비용 함수 f(\mathbf{x})의 임계점 \mathbf{x}^*에서의 헤시안 행렬 \mathbf{H}(\mathbf{x}^*)의 정치성은 극값의 종류를 결정한다.

\mathbf{H}(\mathbf{x}^*) \succ 0 \implies \mathbf{x}^* \text{는 극소점}

\mathbf{H}(\mathbf{x}^*) \prec 0 \implies \mathbf{x}^* \text{는 극대점}

\mathbf{H}(\mathbf{x}^*) \text{가 부정치} \implies \mathbf{x}^* \text{는 안장점}

이 판정법은 로봇의 역기구학, 경로 최적화, 파라미터 추정 등 다양한 최적화 문제에서 해의 최적성을 확인하는 데 사용된다.

8. 수치적 고려사항

수치 계산에서 정치성 판정 시 유한 정밀도 연산에 의한 오차를 고려해야 한다. 실질적으로 양정치성을 판정할 때는 최소 고유값이 기계 정밀도(machine epsilon) \epsilon_{\text{mach}}보다 충분히 큰지 확인한다.

\lambda_{\min}(\mathbf{A}) > \epsilon_{\text{tol}}, \quad \epsilon_{\text{tol}} \gg \epsilon_{\text{mach}} \lVert \mathbf{A} \rVert

조건수(condition number) \kappa(\mathbf{A}) = \lambda_{\max} / \lambda_{\min}가 매우 큰 경우, 수치적으로 양정치 판정이 불안정해질 수 있다. 이러한 경우 정규화(regularization)를 통해 행렬을 안정화한다.

\mathbf{A}_{\text{reg}} = \mathbf{A} + \mu \mathbf{I}, \quad \mu > 0

참고 문헌

• Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra. 5th Edition. Wellesley-Cambridge Press.
• Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis. 2nd Edition. Cambridge University Press.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.
• Khalil, H. K. (2002). Nonlinear Systems. 3rd Edition. Prentice Hall.
• Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.

v 0.1