7.2 도함수의 정의와 기하학적 의미

1. 도함수의 정의

도함수(derivative)는 함수의 순간 변화율을 나타내는 개념으로, 극한을 이용하여 엄밀하게 정의된다.

1.1 한 점에서의 미분 가능성

함수 f(x)가 점 x = a에서 미분 가능(differentiable)하다 함은 다음의 극한이 존재하는 것이다.

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

이 극한값 f'(a)를 함수 f의 점 a에서의 도함수(derivative)라 한다. 동치인 다른 표현으로 \Delta x = x - a로 놓으면 다음과 같다.

f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}

1.2 도함수 함수

정의역의 모든 점에서 미분 가능한 경우, 도함수를 함수로 정의할 수 있다.

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

도함수의 표기법에는 여러 가지가 있으며, 각각 다른 맥락에서 사용된다.

로봇공학에서는 시간에 대한 미분에 뉴턴 표기법 \dot{q}(t)를 주로 사용하고, 일반적인 변수에 대한 미분에는 라이프니츠 표기법 \frac{\partial f}{\partial q_i}를 사용한다.

1.3 미분 가능성과 연속성의 관계

정리: 함수 f가 점 a에서 미분 가능하면, f는 점 a에서 연속이다.

증명: f가 a에서 미분 가능하므로 f'(a)가 존재한다. 이때

\lim_{x \to a} [f(x) - f(a)] = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) = f'(a) \cdot 0 = 0

따라서 \lim_{x \to a} f(x) = f(a)이므로 f는 a에서 연속이다. \square

그러나 그 역은 성립하지 않는다. 대표적인 반례로 f(x) = \lvert x \rvert는 x = 0에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. 좌미분과 우미분이 다르기 때문이다.

\lim_{h \to 0^+} \frac{\lvert h \rvert}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-} \frac{\lvert h \rvert}{h} = -1

2. 기하학적 의미

2.1 접선의 기울기

도함수 f'(a)의 기하학적 의미는 곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기이다. 두 점 (a, f(a))와 (a+h, f(a+h))를 지나는 할선(secant line)의 기울기는 다음과 같다.

m_{\text{sec}} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

h \to 0으로 보내면 할선이 접선으로 수렴하며, 접선의 기울기는 다음과 같다.

m_{\text{tan}} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)

점 (a, f(a))에서의 접선 방정식은 다음과 같다.

y - f(a) = f'(a)(x - a)

2.2 선형 근사

도함수는 함수의 국소적 선형 근사(local linear approximation)를 제공한다. x가 a에 충분히 가까울 때 다음의 근사가 성립한다.

f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)

이를 1차 테일러 근사(first-order Taylor approximation)라 하며, 오차는 다음과 같이 표현된다.

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \mathcal{O}((x-a)^2)

로봇공학에서 이 선형 근사는 매우 빈번하게 사용된다. 비선형 기구학 방정식 \mathbf{x} = f(\mathbf{q})를 현재 관절 값 \mathbf{q}_0 주위에서 선형화하면 다음과 같다.

\mathbf{x} \approx f(\mathbf{q}_0) + \mathbf{J}(\mathbf{q}_0)(\mathbf{q} - \mathbf{q}_0)

여기서 \mathbf{J}(\mathbf{q}_0)는 자코비안 행렬이며, 이것은 다변수 함수에서의 도함수의 일반화에 해당한다.

2.3 순간 변화율로서의 도함수

물리적으로 도함수는 순간 변화율(instantaneous rate of change)을 나타낸다. 로봇의 관절 변수 q(t)가 시간의 함수일 때:

• \dot{q}(t) = \frac{dq}{dt}는 관절 속도(angular velocity 또는 linear velocity)이다.
• \ddot{q}(t) = \frac{d^2q}{dt^2}는 관절 가속도(angular acceleration 또는 linear acceleration)이다.

예를 들어, 회전 관절의 각도가 q(t) = A\sin(\omega t + \phi)로 주어지면, 관절 속도와 가속도는 각각 다음과 같다.

\dot{q}(t) = A\omega\cos(\omega t + \phi)

\ddot{q}(t) = -A\omega^2\sin(\omega t + \phi)

3. 고계 도함수

도함수 f'(x)가 다시 미분 가능하면, 2계 도함수를 정의할 수 있다.

f''(x) = \frac{d^2f}{dx^2} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}

일반적으로 n계 도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

f^{(n)}(x) = \frac{d^nf}{dx^n} = \frac{d}{dx}f^{(n-1)}(x)

2계 도함수의 기하학적 의미는 곡선의 오목·볼록(concavity)을 나타낸다.

• f''(a) > 0: 점 a에서 곡선은 아래로 볼록(concave up)하다.
• f''(a) < 0: 점 a에서 곡선은 위로 볼록(concave down)하다.
• f''(a) = 0: 변곡점(inflection point)의 후보이다.

로봇공학에서 2계 도함수는 가속도에 해당하며, 이는 관성력 및 토크 계산에 직접적으로 관여한다. 로봇 동역학 방정식

\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}} + \mathbf{C}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}} + \mathbf{g}(\mathbf{q}) = \boldsymbol{\tau}

에서 \ddot{\mathbf{q}}는 관절 가속도 벡터로서, 관절 변수의 2계 도함수이다.

4. 미분의 물리적·공학적 해석

로봇공학에서 도함수가 사용되는 주요 맥락을 정리하면 다음과 같다.

도함수의 부호는 함수의 증가·감소를 결정하며, 이는 최적화에서 탐색 방향을 결정하는 핵심 정보가 된다. 경사하강법에서는 -\nabla J(\mathbf{q}) 방향으로 이동하여 비용함수를 감소시킨다.

참고 문헌

• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning.
• Apostol, T. M. (1967). Calculus, Volume 1. 2nd ed. Wiley.
• Craig, J. J. (2005). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. 3rd ed. Pearson.
• Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., & Oriolo, G. (2009). Robotics: Modelling, Planning and Control. Springer.

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