7.159 전신 운동 제어에서의 계층적 최적화

1. 계층적 과업 제어의 필요성

다자유도 로봇(휴머노이드, 사족 보행 로봇 등)은 다수의 과업을 동시에 수행해야 한다. 균형 유지, 말단 장치 위치 제어, 시선 추적, 자세 정규화 등의 과업이 동시에 요구되며, 이들은 서로 다른 우선순위를 갖는다. 가중 합으로 과업을 결합하면 가중치의 선택에 따라 안전 필수 과업(균형 유지)이 위협받을 수 있다. 계층적 최적화(hierarchical optimization)는 엄격한 우선순위(strict priority)를 부여하여, 상위 과업이 하위 과업에 의해 방해받지 않음을 보장한다.

2. 우선순위 기반 역기구학

2.1 영공간 투영법

고전적인 계층적 제어는 야코비안의 영공간(null space) 투영에 기반한다. 과업 1의 관절 속도 해를 구하고, 과업 2의 해를 과업 1의 영공간으로 투영하여 과업 1을 방해하지 않는 범위 내에서 과업 2를 달성한다.

$\dot{\mathbf{q}} = \mathbf{J}_1^\dagger\dot{\mathbf{x}}_1 + (\mathbf{I} - \mathbf{J}_1^\dagger\mathbf{J}_1)\mathbf{J}_2^\dagger(\dot{\mathbf{x}}_2 - \mathbf{J}_2\mathbf{J}_1^\dagger\dot{\mathbf{x}}_1)$

3개 이상의 우선순위 수준으로 재귀적으로 확장된다.

2.2 한계

영공간 투영법은 부등식 제약(토크 한계, 관절 한계)을 직접 처리하기 어렵다. 또한 특이점 근방에서 의사 역행렬의 수치적 불안정이 발생하며, 제약이 활성일 때 과업 간 간섭이 완전히 방지되지 않을 수 있다.

3. 계층적 이차 계획(Hierarchical QP, HQP)

3.1 순차적 해법(Cascade of QPs)

$L$ 개의 우선순위 수준이 있을 때, 수준 $l = 1, 2, \ldots, L$ 에 대해 순차적으로 QP를 풀어야 한다.

수준 1 (최고 우선순위):

$\mathbf{w}_1^* = \arg\min_{\mathbf{w}_1} \lVert \mathbf{A}_1\mathbf{z} - \mathbf{b}_1 + \mathbf{w}_1 \rVert^2$

$\text{s.t.} \quad \text{물리적 제약}$

수준 $l$ ( $l \geq 2$ ):

$\mathbf{w}_l^* = \arg\min_{\mathbf{w}_l} \lVert \mathbf{A}_l\mathbf{z} - \mathbf{b}_l + \mathbf{w}_l \rVert^2$

$\text{s.t.} \quad \lVert \mathbf{A}_j\mathbf{z} - \mathbf{b}_j + \mathbf{w}_j^* \rVert^2 = \lVert \mathbf{w}_j^* \rVert^2, \quad j = 1, \ldots, l-1$

$\text{물리적 제약}$

각 수준에서 이전 수준의 최적 달성도를 등식 제약으로 보존하면서, 현재 수준의 과업 오차를 최소화한다.

3.2 에스칸데 등의 효율적 해법

에스칸데(Escande) 등(2014)은 HQP를 능동집합법의 변형으로 효율적으로 풀어내는 알고리즘을 제안하였다. 상위 수준의 QP에서 능동이 된 제약이 하위 수준에서 추가 등식 제약으로 전파되며, 전체 계층의 해가 일관되게 산출된다.

4. 가중 계층 접근과 엄격 계층의 비교

4.1 가중 합(Weighted Sum)

$\min_{\mathbf{z}} \quad \sum_{l=1}^{L} w_l \lVert \mathbf{A}_l\mathbf{z} - \mathbf{b}_l \rVert^2$

단일 QP로 풀 수 있으나, 가중치 $w_l$ 의 선택이 어렵고 상위 과업의 완벽한 보존이 보장되지 않는다. 가중치 비율이 극단적으로 큰 경우( $w_1/w_2 > 10^6$ ) 수치적 불안정이 발생한다.

4.2 엄격 계층(Strict Hierarchy)

상위 과업의 달성이 수학적으로 보장되며, 하위 과업은 잔여 자유도 내에서만 최적화된다. 구현이 복잡하지만 안전 필수 과업의 보존이 보장된다.

4.3 실용적 절충

일부 프레임워크에서는 최상위 과업(균형, 접촉 유지)만 엄격 우선순위로 보호하고, 나머지 과업은 가중 합으로 결합하는 혼합 접근이 채택된다.

5. 전형적 우선순위 구조

우선순위	과업	구현
1 (최고)	동역학 일관성, 접촉 유지	등식 제약
2	물리적 한계 (토크, 관절, 마찰)	부등식 제약
3	무게 중심 제어, 자세 안정화	과업 비용 (높은 가중)
4	말단 장치 위치/자세 제어	과업 비용 (중간 가중)
5 (최저)	기본 자세 유지, 에너지 최소화	과업 비용 (낮은 가중)

6. 참고 문헌

Escande, A., Mansard, N., & Wieber, P.-B. (2014). “Hierarchical Quadratic Programming: Fast Online Humanoid-Robot Motion Generation.” IJRR, 33(7), 1006–1028.
Sentis, L., & Khatib, O. (2005). “Synthesis of Whole-Body Behaviors through Hierarchical Control of Behavioral Primitives.” International Journal of Humanoid Robotics, 2(4), 505–518.
De Lasa, M., Mordatch, I., & Hertzmann, A. (2010). “Feature-Based Locomotion Controllers.” ACM Transactions on Graphics, 29(4), 131.
Kanoun, O., Lamiraux, F., & Wieber, P.-B. (2011). “Kinematic Control of Redundant Manipulators: Generalizing the Task-Priority Framework to Inequality Task.” IEEE Transactions on Robotics, 27(4), 785–792.

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