7.145 B-스플라인 기반 궤적 표현

1. B-스플라인의 정의

B-스플라인(B-spline)은 구분적(piecewise) 다항식으로 정의되는 매끄러운 매개변수 곡선으로, 제어점(control point)의 가중 결합으로 표현된다. 차수 $p$ , 매듭 벡터(knot vector) $\mathbf{t} = [t_0, t_1, \ldots, t_{m}]$ , 제어점 $\mathbf{d}_0, \ldots, \mathbf{d}_n$ 이 주어질 때, B-스플라인 곡선은 다음과 같다.

$\mathbf{s}(\tau) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(\tau) \mathbf{d}_i$

여기서 $N_{i,p}(\tau)$ 는 콕스-드보어(Cox-de Boor) 재귀 공식으로 정의되는 $p$ 차 B-스플라인 기저 함수이다.

$N_{i,0}(\tau) = \begin{cases} 1 & t_i \leq \tau < t_{i+1} \\ 0 & \text{그 외} \end{cases}$

$N_{i,p}(\tau) = \frac{\tau - t_i}{t_{i+p} - t_i}N_{i,p-1}(\tau) + \frac{t_{i+p+1} - \tau}{t_{i+p+1} - t_{i+1}}N_{i+1,p-1}(\tau)$

2. B-스플라인의 주요 성질

국소 지지(local support): $N_{i,p}(\tau)$ 는 $[t_i, t_{i+p+1})$ 에서만 비영이다. 따라서 제어점 $\mathbf{d}_i$ 의 변경은 국소 영역의 곡선에만 영향을 미친다.

비음성: $N_{i,p}(\tau) \geq 0$ (모든 $\tau$ ).

단위 분할: $\sum_i N_{i,p}(\tau) = 1$ (모든 $\tau$ ).

연속성: 내부 매듭에서 $C^{p-1}$ 연속이다. 차수 $p = 3$ (3차 B-스플라인)이면 $C^2$ 연속이다.

볼록 포(convex hull): 곡선은 제어점의 볼록 포 내에 놓인다.

미분: $p$ 차 B-스플라인의 도함수는 $(p-1)$ 차 B-스플라인으로 표현된다.

$\frac{d\mathbf{s}}{d\tau} = \sum_{i=0}^{n-1} N_{i,p-1}(\tau) \frac{p}{t_{i+p+1} - t_{i+1}}(\mathbf{d}_{i+1} - \mathbf{d}_i)$

3. 궤적 표현으로서의 B-스플라인

로봇 궤적 $\mathbf{q}(t)$ 를 B-스플라인으로 매개변수화하면, 궤적 최적화의 결정 변수가 제어점 $\{\mathbf{d}_i\}$ 로 축소된다.

$\mathbf{q}(t) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(t) \mathbf{d}_i$

속도와 가속도도 B-스플라인으로 해석적으로 표현된다.

$\dot{\mathbf{q}}(t) = \sum_{i} \dot{N}_{i,p}(t) \mathbf{d}_i, \quad \ddot{\mathbf{q}}(t) = \sum_{i} \ddot{N}_{i,p}(t) \mathbf{d}_i$

4. B-스플라인 기반 궤적 최적화의 장점

매끄러움의 내재적 보장: $p$ 차 B-스플라인은 내부 매듭에서 $C^{p-1}$ 연속을 자동으로 만족한다. 3차 B-스플라인은 위치, 속도, 가속도의 연속성을 보장하며, 별도의 연속성 제약을 부과할 필요가 없다.

결정 변수의 축소: 직접 배치법에서 각 격자점의 상태를 결정 변수로 사용하는 것에 비해, B-스플라인의 제어점 수가 적으므로 최적화 문제의 규모가 축소된다.

국소 수정: 제어점의 변경이 국소적 영향만 미치므로, 궤적의 일부를 수정할 때 전체 궤적이 영향받지 않는다.

경계 조건의 용이한 부과: 시작점과 끝점의 위치, 속도, 가속도 조건이 소수의 제어점에 대한 선형 제약으로 표현된다.

5. 궤적 최적화에서의 B-스플라인 정식화

제어점을 결정 변수로 하는 궤적 최적화 문제는 다음과 같다.

$\min_{\{\mathbf{d}_i\}} \quad J(\{\mathbf{d}_i\})$

$\text{s.t.} \quad \mathbf{q}(t_0) = \mathbf{q}_0, \; \dot{\mathbf{q}}(t_0) = \dot{\mathbf{q}}_0$

$\mathbf{q}(t_f) = \mathbf{q}_f, \; \dot{\mathbf{q}}(t_f) = \dot{\mathbf{q}}_f$

$\mathbf{q}_{\min} \leq \mathbf{q}(t) \leq \mathbf{q}_{\max}, \quad \forall t$

비용 함수의 예로 에너지 비용은 다음과 같이 제어점의 이차 형식으로 표현된다.

$J = \int_{t_0}^{t_f} \ddot{\mathbf{q}}^T\ddot{\mathbf{q}} \, dt = \mathbf{d}^T\mathbf{Q}\mathbf{d}$

여기서 $\mathbf{d}$ 는 모든 제어점의 벡터이고, $\mathbf{Q}$ 는 B-스플라인 기저 함수의 적분으로 구성되는 양의 반정치 행렬이다. 이 경우 문제가 이차 계획(QP)으로 환원된다.

6. 경로 제약의 처리

관절 한계나 장애물 회피와 같은 경로 제약 $\mathbf{g}(\mathbf{q}(t)) \leq \mathbf{0}$ 은 연속 시간 제약이므로, 이산적 검사점에서 부과하거나 B-스플라인의 볼록 포 성질을 활용하여 충분 조건으로 변환한다.

볼록 포 기반 충분 조건: 제어점이 허용 영역 내에 있으면 ( $\mathbf{q}_{\min} \leq \mathbf{d}_i \leq \mathbf{q}_{\max}$ ), B-스플라인의 볼록 포 성질에 의해 곡선 전체가 허용 영역 내에 놓인다. 이 조건은 충분 조건이므로 보수적이지만, 연속 시간 제약을 유한 개의 선형 부등식으로 환원하는 실용적 이점이 있다.

7. 시간 최적화와 B-스플라인

궤적의 기하학적 형상을 B-스플라인으로 표현하고, 경로를 따르는 시간 할당을 별도로 최적화하는 이단계 접근법이 사용된다. 시간 할당의 최적화는 매듭 간격을 조절하거나, 경로 매개변수의 시간 사상(time parameterization)을 추가 B-스플라인으로 표현하여 수행된다.

8. 참고 문헌

De Boor, C. (2001). A Practical Guide to Splines (Revised ed.). Springer.
Piegl, L., & Tiller, W. (1997). The NURBS Book (2nd ed.). Springer.
Mercy, T., Van Loock, W., & Pipeleers, G. (2017). “Real-Time Motion Planning in the Presence of Moving Obstacles.” Proceedings of the European Control Conference (ECC), 1586–1591.
Betts, J. T. (2010). Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming (2nd ed.). SIAM.

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