31.6 공통 법선(Common Normal)의 기하학적 의미

공통 법선(common normal)은 데나빗-하르텐버그 표기법의 기하학적 근간을 이루는 수학적 개념이다. 두 관절 축 사이의 기하학적 관계를 정량적으로 기술하기 위해 도입되며, 좌표계 부착과 DH 매개변수의 정의에서 핵심적 역할을 수행한다. 본 절에서는 공통 법선의 학술적 정의, 기하학적 특성, 계산 방법, 그리고 DH 표기법에서의 의의를 다룬다.

1. 학술적 정의

공통 법선은 3차원 공간의 두 직선(일반적으로 두 관절 축)에 동시에 수직한 직선이다. 두 직선 $L_1$ 과 $L_2$ 가 주어질 때, 공통 법선 $N$ 은 다음의 조건을 만족한다.

$N \perp L_1, \quad N \perp L_2$

교차하지 않고 평행하지 않은 두 직선(왜곡선, skew line)의 경우, 공통 법선은 유일하게 존재하며, 두 직선 사이의 최단 거리를 제공한다.

31.6.2 두 직선의 상대 배치

3차원 공간에서 두 직선의 상대 배치는 다음과 같이 분류된다.

31.6.2.1 일치

두 직선이 동일한 경우이다. 공통 법선은 정의되지 않는다.

31.6.2.2 평행

두 직선이 평행하지만 일치하지 않는 경우이다. 공통 법선은 무한히 많이 존재하며, 그 길이는 두 직선 사이의 일정 거리이다.

31.6.2.3 교차

두 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. 공통 법선은 두 직선이 이루는 평면에 수직한 방향으로 존재하며, 그 길이는 0이다.

31.6.2.4 왜곡선

두 직선이 평행하지도 교차하지도 않는 경우이다. 공통 법선은 유일하게 존재하며, 두 직선 사이의 양의 최단 거리를 제공한다.

31.6.3 공통 법선의 수학적 표현

31.6.3.1 직선의 매개변수 표현

각 직선은 한 점과 방향 벡터로 매개변수화된다. 직선 $L_i$ 는 점 $\vec{p}_i$ 와 단위 방향 벡터 $\hat{u}_i$ 로 다음과 같이 표현된다.

$L_i: \vec{r}(t) = \vec{p}_i + t \hat{u}_i, \quad t \in \mathbb{R}$

1.1 공통 법선의 방향

왜곡선인 두 직선의 공통 법선의 방향은 두 방향 벡터의 외적으로 결정된다.

$\hat{n} = \frac{\hat{u}_1 \times \hat{u}_2}{\|\hat{u}_1 \times \hat{u}_2\|}$

이 방향은 두 직선에 모두 수직하다.

31.6.3.3 공통 법선의 길이

공통 법선의 길이(두 직선 사이의 최단 거리)는 다음과 같이 계산된다.

$d = \frac{|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \cdot (\hat{u}_1 \times \hat{u}_2)|}{\|\hat{u}_1 \times \hat{u}_2\|}$

1.2 공통 법선의 기저점

공통 법선이 각 직선과 만나는 점(기저점)은 다음의 연립 방정식으로 결정된다.

$\vec{p}_1 + t_1 \hat{u}_1 - \vec{p}_2 - t_2 \hat{u}_2 = s \hat{n}$

두 기저점 사이의 거리가 공통 법선의 길이이다.

31.6.4 공통 법선의 기하학적 특성

31.6.4.1 유일성

왜곡선인 두 직선의 공통 법선은 유일하다. 이 특성이 DH 표기법의 표준화를 가능하게 한다.

31.6.4.2 최단 거리

공통 법선의 길이는 두 직선 사이의 최단 거리이며, 이는 링크 길이(link length)의 기하학적 정의가 된다.

31.6.4.3 각도와의 독립성

공통 법선의 존재와 유일성은 두 직선 사이의 각도와 독립적이다. 단, 두 직선이 평행(각도 0)하거나 일치하는 경우에는 예외가 발생한다.

31.6.5 공통 법선과 관절 축

31.6.5.1 관절 축의 직선 해석

관절 축은 회전 관절의 경우 회전 축, 직동 관절의 경우 이동 축으로, 모두 3차원 공간의 직선으로 해석된다.

31.6.5.2 인접 관절 축 사이의 공통 법선

로봇의 인접한 두 관절 축 사이의 공통 법선이 DH 매개변수의 기하학적 기반이 된다. 공통 법선의 길이와 방향이 링크의 기하학적 특성을 결정한다.

31.6.5.3 링크의 기하학적 표현

한 링크는 그 양 끝에 부착된 두 관절 축의 상대 배치로 완전히 기하학적으로 표현된다. 공통 법선은 이 상대 배치를 정량화한다.

31.6.6 공통 법선의 특이 상황

31.6.6.1 평행 관절 축

인접한 두 관절 축이 평행한 경우, 공통 법선은 무한히 많이 존재한다. 이 경우 공통 법선의 길이는 일정하게 결정되지만, 그 위치는 모호하다. 실무적으로 추가적 규칙(예: 이전 좌표계의 연장선 활용)으로 모호성을 해소한다.

31.6.6.2 교차 관절 축

인접한 두 관절 축이 한 점에서 교차하는 경우, 공통 법선의 길이는 0이다. 이 경우 공통 법선의 방향은 두 축에 수직한 임의 방향이며, 실무적으로 두 축의 외적 방향을 선택한다.

31.6.6.3 동일 축

인접한 두 관절 축이 동일한 경우, 공통 법선은 정의되지 않는다. 이 경우 해당 링크의 기하학적 의미가 모호하며, 실무적으로 해당 링크를 생략하거나 링크 길이를 0으로 처리한다.

31.6.7 공통 법선과 $x$ 축

좌표계 부착에서 $x$ 축은 일반적으로 공통 법선 방향으로 설정된다. 구체적으로 좌표계 $i$ 의 $x$ 축은 관절 축 $i$ 와 관절 축 $i+1$ 사이의 공통 법선 방향으로 배치되며, 관절 축 $i+1$ 에서 관절 축 $i$ 방향 또는 반대 방향으로 향한다.

31.6.8 공통 법선의 계산 절차

공통 법선의 학술적 계산 절차는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 두 관절 축을 점과 방향 벡터로 매개변수화한다. 둘째, 두 방향 벡터의 외적으로 공통 법선 방향을 결정한다. 셋째, 공통 법선이 두 관절 축과 만나는 기저점을 연립 방정식으로 계산한다. 넷째, 두 기저점 사이의 거리로 공통 법선의 길이를 결정한다. 다섯째, 기저점의 위치를 좌표계의 원점 배치에 활용한다.

31.6.9 공통 법선의 학술적 의의

31.6.9.1 기하학적 최소성

공통 법선은 두 관절 축 사이의 기하학적 관계를 최소한의 정보(길이와 방향)로 표현한다. 이 최소성이 DH 표기법의 4개 매개변수 효율성의 기하학적 근거이다.

31.6.9.2 표준화 가능성

공통 법선의 유일성이 좌표계 부착의 표준화를 가능하게 한다. 모호한 경우에도 실무적 규칙으로 일관된 처리가 가능하다.

31.6.9.3 계산의 객관성

공통 법선은 수학적으로 명확히 정의되므로, 계산이 객관적이고 반복 가능하다. 이는 자동화된 기구학적 분석 도구의 구현에 유리하다.

31.6.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 공통 법선의 기하학적 의미는 DH 매개변수의 정의, 좌표계 배치 규칙, 그리고 동차 변환 행렬의 유도의 학술적 기반이 된다. 특히 링크 길이, 링크 비틀림, 링크 오프셋의 기하학적 해석에 직접 활용된다.

출처

Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.
Hartenberg, R. S. and Denavit, J., Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, 1964.

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작성일: 2026-04-18