31.5 좌표계 부착 규칙의 기본 원리

좌표계 부착(frame attachment)은 데나빗-하르텐버그 표기법의 학술적 토대를 이루는 절차이다. 로봇의 기하학적 구조를 정량적으로 표현하기 위해, 각 링크에 체계적으로 좌표계를 부착하고, 연속된 좌표계 사이의 상대 변환을 표준화된 매개변수로 기술한다. 본 절에서는 좌표계 부착 규칙의 기본 원리와 학술적 의의를 다룬다.

1. 좌표계 부착의 학술적 정의

좌표계 부착은 로봇의 각 링크에 강체에 고정된 직교 좌표계를 할당하는 절차이다. 이로써 로봇의 기구학적 구조는 일련의 좌표계와 좌표계 사이의 상대 변환의 집합으로 표현된다. 이 변환은 링크의 기하학적 매개변수와 관절 변수에 의해 결정된다.

2. 좌표계 부착의 학술적 목적

2.1 표준화

좌표계 부착 규칙의 가장 기본적 목적은 로봇의 기구학적 표현을 표준화하는 것이다. 동일 구조의 로봇에 대해 동일한 좌표계 배치가 얻어지도록 규칙을 정의함으로써, 학술적·실무적 의사 소통의 혼란을 방지한다.

2.2 매개변수 최소화

좌표계 부착 규칙은 두 좌표계 사이의 변환을 기술하는 데 필요한 매개변수의 개수를 최소화하도록 설계된다. 일반적 강체 변환은 6개 매개변수(3 위치 + 3 자세)로 기술되지만, 데나빗-하르텐버그 표기법은 이를 4개 매개변수로 축약한다.

2.3 기구학적 의미의 명확화

각 매개변수는 링크의 특정 기하학적 특성(길이, 비틀림, 오프셋, 각도)과 직접 대응하도록 정의되며, 이를 위해 좌표계의 원점과 축 방향이 기하학적으로 의미 있는 위치에 배치된다.

3. 좌표계 번호 부여

3.1 기저 좌표계

로봇의 가장 기저 링크(link 0)에 부착된 좌표계를 기저 좌표계(base frame) 또는 좌표계 0이라 한다. 기저 좌표계는 로봇의 고정된 기준점을 제공한다.

3.2 링크 좌표계

자유도가 $n$ 인 로봇은 $n$ 개의 관절과 $n+1$ 개의 링크를 가진다. 각 링크 $i$ ( $i = 0, 1, \ldots, n$ )에 좌표계 $i$ 를 부착한다.

3.3 말단 좌표계

가장 먼 링크(link $n$ )에 부착된 좌표계를 말단 좌표계(end-effector frame) 또는 좌표계 $n$ 이라 한다. 말단 좌표계는 엔드 이펙터의 위치와 자세를 기술하는 기준이 된다.

4. 좌표계 부착의 기본 규칙

4.1 관절 축과 $z$ 축의 정렬

좌표계 $i$ 의 $z$ 축은 관절 $i+1$ (표준 DH) 또는 관절 $i$ (수정 DH)의 회전 축 또는 이동 축과 정렬된다. 이 규칙으로 관절 변수가 좌표계의 $z$ 축 주위의 회전 또는 $z$ 축 방향의 이동으로 자연스럽게 표현된다.

4.2 $x$ 축의 방향 규칙

$x$ 축은 두 연속 관절 축 사이의 공통 법선(common normal) 방향으로 설정된다. 공통 법선은 두 축에 모두 수직한 가장 짧은 선분이며, 이의 방향이 링크 길이(link length)의 학술적 정의와 연결된다.

4.3 $y$ 축의 결정

$y$ 축은 오른손 좌표계 규약에 따라 $z$ 축과 $x$ 축의 외적으로 결정된다.

$\hat{y}_i = \hat{z}_i \times \hat{x}_i$

이로써 각 좌표계는 완전한 오른손 직교 좌표계를 이룬다.

31.5.4.4 원점의 결정

좌표계의 원점은 관절 축과 공통 법선의 교점에 배치된다. 두 관절 축이 교차하는 경우 원점은 교점에 배치되고, 평행한 경우 공통 법선의 무한성으로 인한 모호성이 있다.

31.5.5 좌표계 부착의 기하학적 의의

31.5.5.1 링크의 기하학적 특성화

각 링크는 두 관절 축의 상대 배치로 완전히 기하학적으로 특성화된다. 좌표계 부착은 이 기하학적 특성을 4개의 매개변수로 표현한다.

31.5.5.2 링크 길이와 공통 법선

인접한 두 관절 축 사이의 공통 법선의 길이가 해당 링크의 링크 길이(link length)이다. 이 값은 링크의 길이에 대한 기하학적 측정이 된다.

31.5.5.3 링크 비틀림

인접한 두 관절 축 사이의 각도가 링크 비틀림(link twist)이다. 이 값은 두 축이 공간에서 이루는 상대 자세에 대한 기하학적 측정이 된다.

31.5.6 좌표계 배치의 모호성과 해소

31.5.6.1 $x$ 축의 방향 모호성

공통 법선은 방향이 두 가지(양 또는 음)일 수 있으므로 $x$ 축의 방향 선택에 모호성이 존재한다. 실무적으로 인접한 관절 축과 더 자연스러운 기하학적 관계를 가지는 방향을 선택한다.

31.5.6.2 관절 축 정렬의 모호성

관절 축이 일치하는 경우(예: 동일 축을 공유하는 두 연속 관절), 원점 위치와 $x$ 축 방향에 모호성이 존재한다. 이 경우 해당 링크의 길이를 0으로 선택하는 실무적 규칙을 따른다.

31.5.6.3 평행 축의 모호성

두 관절 축이 평행한 경우, 공통 법선은 무한히 많으며, 원점 위치에 모호성이 존재한다. 이 경우 실무적으로 기구학적 의미를 최대한 명확히 하는 방향으로 원점을 선택한다.

31.5.7 표준 DH와 수정 DH의 차이

31.5.7.1 표준 DH 규칙

표준 DH 표기법은 좌표계 $i$ 의 $z$ 축을 관절 $i+1$ 의 축에 배치한다. 즉, 좌표계 $i$ 는 링크 $i$ 에 부착되며, 그 $z$ 축은 다음 관절의 축과 일치한다.

31.5.7.2 수정 DH 규칙

수정 DH 표기법(Craig 표기법)은 좌표계 $i$ 의 $z$ 축을 관절 $i$ 의 축에 배치한다. 즉, 좌표계 $i$ 는 링크 $i$ 에 부착되며, 그 $z$ 축은 해당 관절의 축과 일치한다.

31.5.7.3 좌표계 개수

두 표기법 모두 $n+1$ 개의 좌표계를 사용하나, 좌표계 번호와 관절 번호의 대응 관계에 차이가 있다.

31.5.8 부착 규칙의 일반화

31.5.8.1 기저 좌표계의 자유도

기저 좌표계의 배치에는 일정 자유도가 존재한다. 일반적으로 기저 좌표계의 $z$ 축을 첫 번째 관절의 축과 정렬하여 설정한다.

31.5.8.2 말단 좌표계의 자유도

말단 좌표계의 배치에도 자유도가 존재한다. 엔드 이펙터의 도구 중심점(tool center point, TCP)과 도구의 주 방향을 기준으로 실무적으로 설정한다.

31.5.8.3 중간 좌표계의 강제성

DH 규칙을 엄격히 따를 경우, 기저 좌표계와 말단 좌표계 사이의 중간 좌표계들은 그 위치와 방향이 규칙에 의해 강제로 결정된다.

31.5.9 좌표계 부착의 체계적 절차

좌표계 부착의 학술적 절차는 다음과 같이 요약된다. 첫째, 모든 관절 축을 식별하고 번호를 부여한다. 둘째, 기저 좌표계를 설정한다. 셋째, 각 인접 관절 축 쌍에 대해 공통 법선을 식별한다. 넷째, 각 좌표계의 원점과 $x$ 축을 규칙에 따라 배치한다. 다섯째, 오른손 좌표계 규약으로 $y$ 축을 결정한다. 여섯째, 말단 좌표계를 설정한다. 일곱째, 모호성이 있는 경우 실무적 선택 기준에 따라 해소한다.

31.5.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 좌표계 부착의 기본 원리는 데나빗-하르텐버그 표기법의 후속 학술적 전개에서 반복적으로 활용된다. DH 매개변수의 정의, 동차 변환 행렬의 유도, 매개변수표의 작성, 보정 방법론 등이 모두 좌표계 부착의 규칙에 기반하여 전개된다.

출처

Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
Hartenberg, R. S. and Denavit, J., Kinematic Synthesis of Linkages, McGraw-Hill, 1964.

버전

문서 버전: 1.0
작성일: 2026-04-18