31.25 3자유도 공간 매니퓰레이터의 DH 모델링

3자유도 공간 매니퓰레이터(3-DOF spatial manipulator)는 3차원 공간 내에서 엔드 이펙터의 위치를 결정할 수 있는 기본적 로봇 구조이다. 일반적으로 인간형 팔의 어깨-팔꿈치 구조를 모방한 형태로 구성되며, DH 표기법의 3차원 확장을 학습하는 데 유용하다. 본 절에서는 3자유도 공간 매니퓰레이터의 DH 모델링 절차를 다룬다.

1. 3자유도 공간 매니퓰레이터의 기구학적 구조

1.1 구조의 개요

3자유도 공간 매니퓰레이터는 세 회전 관절과 세 링크로 구성된다. 첫 번째 관절은 수직 축 주위의 회전이고, 두 번째와 세 번째 관절은 수평 축 주위의 회전이다. 이러한 구조는 안트로포모픽(anthropomorphic) 팔이라 불리기도 한다.

1.2 자유도

세 관절로 인해 엔드 이펙터의 위치가 3차원 공간에서 결정된다. 자세는 결정되지 않으며, 완전한 6자유도 자세 표현에는 추가 관절(손목)이 필요하다.

1.3 작업 공간

엔드 이펙터의 작업 공간은 3차원 구 영역의 일부로, 링크 길이와 관절 한계에 의해 결정된다.

2. 좌표계 배치

2.1 기저 좌표계

기저 좌표계(좌표계 0)는 로봇의 기저에 배치된다. $z_0$ 축은 관절 1의 축(수직)이다. $x_0$ 축은 전방 방향으로 설정된다.

2.2 중간 좌표계

좌표계 1은 관절 2의 위치에 배치된다. $z_1$ 축은 관절 2의 축(수평)이며, 이는 $z_0$ 축과 직교한다.

좌표계 2는 관절 3의 위치에 배치된다. $z_2$ 축은 관절 3의 축이며, $z_1$ 축과 평행(어깨-팔꿈치 구조) 또는 특정 각도를 이룬다.

2.3 말단 좌표계

좌표계 3(말단 좌표계)은 엔드 이펙터에 부착된다.

3. DH 매개변수의 결정

3.1 링크 1의 매개변수

관절 1과 관절 2의 축이 직교하므로 링크 비틀림 $\alpha_1 = \pi/2$ 이다. 링크 오프셋 $d_1$ 은 관절 1 축 방향의 거리이고, 링크 길이 $a_1$ 은 일반적으로 0(두 축이 교차)이다.

$a_1 = 0, \quad \alpha_1 = \pi/2, \quad d_1 = d_1$

31.25.3.2 링크 2의 매개변수

관절 2와 관절 3의 축이 평행하므로 링크 비틀림 $\alpha_2 = 0$ 이다. 링크 길이 $a_2$ 는 첫 번째 상박 링크의 길이이다. 링크 오프셋 $d_2 = 0$ 이다.

$a_2 = a_2, \quad \alpha_2 = 0, \quad d_2 = 0$

3.2 링크 3의 매개변수

링크 길이 $a_3$ 는 두 번째 하박 링크의 길이이다. 링크 비틀림과 링크 오프셋은 0이다.

$a_3 = a_3, \quad \alpha_3 = 0, \quad d_3 = 0$

31.25.4 DH 매개변수 표

31.25.4.1 표의 내용

3자유도 공간 매니퓰레이터(안트로포모픽)의 DH 매개변수 표는 다음과 같다.

링크	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$	관절 유형
1	0	$\pi/2$	$d_1$	$\theta_1^*$	회전
2	$a_2$	0	0	$\theta_2^*$	회전
3	$a_3$	0	0	$\theta_3^*$	회전

31.25.4.2 매개변수 값의 설계

각 매개변수 값은 로봇의 설계와 응용에 따라 결정된다. $d_1$ 은 기저로부터 관절 2까지의 높이, $a_2$ 와 $a_3$ 는 각 링크의 길이이다.

31.25.4.3 변수 식별

세 관절 변수 $\theta_1^*, \theta_2^*, \theta_3^*$ 가 시간에 따라 변화한다.

31.25.5 동차 변환 행렬

31.25.5.1 개별 변환

각 링크의 동차 변환 행렬은 DH 매개변수로부터 계산된다. ${}^{0}\mathbf{T}_1, {}^{1}\mathbf{T}_2, {}^{2}\mathbf{T}_3$ 의 순차적 곱으로 전체 변환이 얻어진다.

31.25.5.2 엔드 이펙터 위치

엔드 이펙터의 위치는 다음과 같이 유도된다.

$x_e = c_1(a_2 c_2 + a_3 c_{23})$
$y_e = s_1(a_2 c_2 + a_3 c_{23})$
$z_e = d_1 + a_2 s_2 + a_3 s_{23}$

여기서 $c_i = \cos\theta_i$ , $s_i = \sin\theta_i$ , $c_{23} = \cos(\theta_2 + \theta_3)$ , $s_{23} = \sin(\theta_2 + \theta_3)$ 이다.

3.3 해석적 해석

첫 번째 관절은 수평면 내의 회전 방향을 결정하고, 두 번째와 세 번째 관절은 수직면 내의 위치를 결정한다.

4. 엔드 이펙터의 자세

4.1 자세 행렬

3자유도 매니퓰레이터의 엔드 이펙터 자세는 관절 변수의 함수이지만, 위치와 독립적으로 제어할 수 없다.

4.2 자유도의 제약

3자유도만으로는 임의의 위치와 자세를 독립적으로 달성할 수 없으므로, 3자유도 공간 매니퓰레이터는 주로 위치 제어에 활용된다.

4.3 추가 자유도

완전한 6자유도 조작을 위해 구형 손목 등의 추가 자유도가 결합된다.

5. 역기구학

5.1 $\theta_1$ 의 계산

$\theta_1$ 은 엔드 이펙터의 수평 위치로부터 계산된다.

$\theta_1 = \text{atan2}(y_e, x_e)$

31.25.7.2 $\theta_3$ 의 계산

$\theta_3$ 은 코사인 법칙을 활용하여 계산된다. 엔드 이펙터의 거리 $r = \sqrt{x_e^2 + y_e^2}$ 와 높이 $z_e - d_1$ 을 활용한다.

31.25.7.3 $\theta_2$ 의 계산

$\theta_2$ 는 $\theta_3$ 이 결정된 후 삼각법을 통해 계산된다.

31.25.8 특이점

31.25.8.1 팔꿈치 특이점

$\theta_3 = 0$ 또는 $\theta_3 = \pi$ 에서 두 링크가 펴진 상태 또는 겹친 상태가 되어 특이점이 발생한다.

31.25.8.2 수직 특이점

엔드 이펙터가 관절 1의 축 상에 있는 경우( $x_e = y_e = 0$ ), $\theta_1$ 이 결정되지 않는 특이점이 발생한다.

31.25.8.3 경계 특이점

작업 공간의 경계에 있는 특이점으로, 엔드 이펙터가 특정 방향으로 운동할 수 없다.

31.25.9 자코비안

31.25.9.1 위치 자코비안

엔드 이펙터 위치의 관절 변수에 대한 편미분으로 $3 \times 3$ 위치 자코비안이 계산된다.

31.25.9.2 자코비안의 역

특이점이 아닌 구성에서는 자코비안의 역을 통해 역운동학적 속도 관계를 계산할 수 있다.

31.25.9.3 특이점에서의 처리

특이점 근방에서는 의사 역행렬 또는 감쇠 최소 제곱법으로 수치적 안정성을 확보한다.

31.25.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 3자유도 공간 매니퓰레이터의 DH 모델링은 공간 로봇 공학의 기본 예시로 활용된다. 6자유도 매니퓰레이터의 위치 결정 부분을 이해하는 학술적 기반이 되며, 안트로포모픽 로봇의 설계와 분석의 출발점이다.

출처

Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.
Lynch, K. M. and Park, F. C., Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press, 2017.

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작성일: 2026-04-18