31.24 2자유도 평면 매니퓰레이터의 DH 모델링

2자유도 평면 매니퓰레이터(2-DOF planar manipulator)는 로봇 공학 교육과 학술적 분석에서 가장 기본이 되는 로봇 모델이다. 두 회전 관절이 평면 내의 운동을 허용하며, DH 표기법의 학습에 직관적이다. 본 절에서는 2자유도 평면 매니퓰레이터의 DH 모델링 절차를 다룬다.

1. 2자유도 평면 매니퓰레이터의 기구학적 구조

1.1 구조의 개요

2자유도 평면 매니퓰레이터는 두 회전 관절과 두 링크로 구성된다. 두 회전 축은 동일 평면에 수직이고 서로 평행하다. 따라서 엔드 이펙터는 평면 내에서만 운동한다.

1.2 자유도

두 관절은 각각 1자유도 회전 관절이므로, 전체 자유도는 2이다. 엔드 이펙터의 위치는 평면 내 2자유도로 표현된다.

1.3 작업 공간

엔드 이펙터의 작업 공간은 두 링크 길이의 합과 차를 반지름으로 하는 환형 영역이다.

2. 좌표계 배치

2.1 기저 좌표계

기저 좌표계(좌표계 0)는 로봇의 기저 점에 배치된다. $z_0$ 축은 관절 1의 회전 축 방향(평면에 수직)이다. $x_0$ 축은 첫 번째 링크의 기준 방향으로 설정된다.

2.2 중간 좌표계

좌표계 1은 링크 1의 끝(관절 2의 위치)에 부착된다. $z_1$ 축은 관절 2의 회전 축과 정렬되며, 이는 $z_0$ 축과 평행하다. $x_1$ 축은 두 번째 링크의 방향으로 설정된다.

2.3 말단 좌표계

좌표계 2(말단 좌표계)는 엔드 이펙터에 부착된다. $x_2$ 축은 엔드 이펙터의 방향으로 설정된다.

3. DH 매개변수의 결정

3.1 링크 길이

첫 번째 링크의 길이가 $a_1$ , 두 번째 링크의 길이가 $a_2$ 이다. 두 값은 로봇의 물리적 구조에 의해 결정되는 상수이다.

3.2 링크 비틀림

두 관절 축이 평행하므로 링크 비틀림은 0이다.

$\alpha_1 = \alpha_2 = 0$

31.24.3.3 링크 오프셋

평면 매니퓰레이터이므로 두 관절 축이 동일 평면에 있고, 링크 오프셋은 0이다.

$d_1 = d_2 = 0$

3.3 관절 각도

두 관절 각도 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 가 관절 변수이다. 이들은 시간에 따라 변화한다.

4. DH 매개변수 표

4.1 표의 내용

2자유도 평면 매니퓰레이터의 DH 매개변수 표는 다음과 같다.

링크	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$	관절 유형
1	$a_1$	0	0	$\theta_1^*$	회전
2	$a_2$	0	0	$\theta_2^*$	회전

4.2 단순성

2자유도 평면 매니퓰레이터는 링크 비틀림과 링크 오프셋이 모두 0이므로, DH 매개변수 표가 매우 단순하다.

4.3 교육적 가치

이 단순성으로 인해 2자유도 평면 매니퓰레이터는 DH 표기법 학습의 출발점으로 광범위하게 활용된다.

5. 동차 변환 행렬

5.1 첫 번째 변환

좌표계 0으로부터 좌표계 1로의 변환은 다음과 같다.

${}^{0}\mathbf{T}_1 = \begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 & 0 & a_1 \cos\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 & 0 & a_1 \sin\theta_1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.24.5.2 두 번째 변환

좌표계 1로부터 좌표계 2로의 변환은 다음과 같다.

${}^{1}\mathbf{T}_2 = \begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 & 0 & a_2 \cos\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 & 0 & a_2 \sin\theta_2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5.2 전체 변환

전체 순기구학 변환은 두 행렬의 곱이다.

${}^{0}\mathbf{T}_2 = {}^{0}\mathbf{T}_1 \cdot {}^{1}\mathbf{T}_2$

31.24.6 엔드 이펙터의 위치

31.24.6.1 위치 계산

엔드 이펙터의 위치는 ${}^{0}\mathbf{T}_2$ 의 병진 벡터로 주어진다.

$\vec{p}_e = \begin{bmatrix} a_1 \cos\theta_1 + a_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ a_1 \sin\theta_1 + a_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\ 0 \end{bmatrix}$

5.3 해석적 형태

이 수식은 두 링크의 벡터 합으로 해석된다. 첫 번째 링크는 $\theta_1$ 방향으로 길이 $a_1$ 의 벡터이고, 두 번째 링크는 $\theta_1 + \theta_2$ 방향으로 길이 $a_2$ 의 벡터이다.

5.4 평면 운동

$z$ 성분이 항상 0이므로, 엔드 이펙터는 평면 내에서만 운동한다.

6. 엔드 이펙터의 자세

6.1 자세의 표현

엔드 이펙터의 자세는 ${}^{0}\mathbf{T}_2$ 의 회전 부분으로 주어진다.

${}^{0}\mathbf{R}_2 = \begin{bmatrix} \cos(\theta_1 + \theta_2) & -\sin(\theta_1 + \theta_2) & 0 \\ \sin(\theta_1 + \theta_2) & \cos(\theta_1 + \theta_2) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

31.24.7.2 단일 각도

2자유도 평면 매니퓰레이터의 경우 엔드 이펙터의 자세는 단일 각도 $\theta_1 + \theta_2$ 로 표현된다.

31.24.7.3 자세의 독립성

관절 변수의 선형 결합이 엔드 이펙터 자세이므로, 위치와 자세를 독립적으로 제어할 수는 없다(2자유도이기 때문).

31.24.8 자코비안

31.24.8.1 자코비안 행렬

엔드 이펙터 위치의 관절 변수에 대한 편미분으로 자코비안을 계산한다.

$\mathbf{J} = \begin{bmatrix} -a_1 \sin\theta_1 - a_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) & -a_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \\ a_1 \cos\theta_1 + a_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) & a_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \end{bmatrix}$

6.2 특이점

자코비안의 행렬식이 0인 구성이 특이점이다. 2자유도 평면 매니퓰레이터의 경우 $\theta_2 = 0$ 또는 $\theta_2 = \pi$ 에서 특이점이 발생한다.

6.3 특이점의 의미

$\theta_2 = 0$ 은 두 링크가 일직선으로 펴진 상태, $\theta_2 = \pi$ 는 두 링크가 겹친 상태이다. 두 경우 모두 엔드 이펙터가 추가적 방향으로 운동할 수 없다.

7. 역기구학

7.1 해석적 해

2자유도 평면 매니퓰레이터의 역기구학은 해석적으로 풀린다. 코사인 법칙을 활용하여 관절 각도를 계산한다.

7.2 $\theta_2$ 의 계산

$\cos\theta_2 = \frac{x^2 + y^2 - a_1^2 - a_2^2}{2 a_1 a_2}$

여기서 $(x, y)$ 는 엔드 이펙터의 원하는 위치이다.

31.24.9.3 다중 해

일반적으로 팔꿈치 위(elbow up)와 팔꿈치 아래(elbow down)의 두 해가 존재한다.

31.24.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 2자유도 평면 매니퓰레이터의 DH 모델링은 DH 표기법의 교육적 학습과 기본 기구학 분석의 표준 예시이다. 자코비안, 특이점, 역기구학 등의 학술적 개념을 직관적으로 이해하는 데 활용된다.

출처

Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.
Lynch, K. M. and Park, F. C., Modern Robotics: Mechanics, Planning, and Control, Cambridge University Press, 2017.

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작성일: 2026-04-18