31.19 직동 관절(Prismatic Joint)의 DH 매개변수 설정

직동 관절(prismatic joint)은 한 축 방향의 이동만을 허용하는 1자유도 관절이다. 직교 좌표 매니퓰레이터, SCARA 로봇의 수직 축, 갠트리 로봇 등에서 활용되며, DH 표기법에서 관절 변수가 회전 관절과 다른 위치에 배치된다. 본 절에서는 직동 관절의 DH 매개변수 설정 절차와 특성을 다룬다.

1. 직동 관절의 DH 매개변수 구조

1.1 관절 변수

직동 관절의 경우 링크 오프셋 $d_i$ 가 관절 변수이다. 관절 변수는 이동 거리이며, 시간에 따라 변화한다.

$q_i = d_i$

31.19.1.2 상수 매개변수

나머지 세 매개변수인 링크 길이 $a_i$ , 링크 비틀림 $\alpha_i$ , 관절 각도 $\theta_i$ 는 로봇의 기하학적 구조에 의해 결정되는 상수이다.

31.19.1.3 회전 관절과의 대비

회전 관절에서 관절 변수가 $\theta_i$ 이고 $d_i$ 가 상수였던 반면, 직동 관절에서는 반대로 $d_i$ 가 관절 변수이고 $\theta_i$ 가 상수이다.

31.19.2 설정 절차

31.19.2.1 단계 1: 이동 축 식별

각 직동 관절의 이동 축을 식별하고, 양의 이동 방향을 선택한다. 이 방향이 해당 좌표계의 $z$ 축이 된다.

31.19.2.2 단계 2: 인접 축의 공통 법선

인접한 두 관절 축 사이의 공통 법선을 식별한다. 이는 회전 관절의 경우와 동일하다.

31.19.2.3 단계 3: 링크 길이 측정

두 인접 축 사이의 공통 법선의 길이를 측정하여 링크 길이 $a_i$ 로 설정한다.

31.19.2.4 단계 4: 링크 비틀림 측정

두 인접 축 사이의 각도를 측정하여 링크 비틀림 $\alpha_i$ 로 설정한다.

31.19.2.5 단계 5: 관절 각도의 결정

$x_{i-1}$ 축과 $x_i$ 축 사이의 각도를 측정하여 관절 각도 $\theta_i$ 로 설정한다. 직동 관절의 경우 $\theta_i$ 는 상수이다.

31.19.2.6 단계 6: 영점 위치 정의

직동 변위의 영점( $d_i = 0$ )을 정의한다. 일반적으로 직동 관절의 이동 범위의 특정 기준점을 영점으로 선택한다.

31.19.3 직동 관절의 동차 변환 행렬

31.19.3.1 표준 DH

표준 DH에서 직동 관절의 동차 변환 행렬은 관절 변수 $d_i$ 의 함수로 표현된다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i(d_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

여기서 $\theta_i, a_i, \alpha_i$ 는 상수이고 $d_i$ 가 관절 변수이다.

1.2 선형 의존성

직동 관절의 동차 변환 행렬은 관절 변수 $d_i$ 에 선형적으로 의존한다. 병진 성분의 $z$ 성분이 $d_i$ 에 직접 비례한다.

1.3 수정 DH

수정 DH의 경우에도 직동 관절의 변환 행렬은 $d_i$ 의 함수로 표현되며, 병진 성분에서의 선형 의존성을 가진다.

2. 직동 관절의 매개변수 표

2.1 표의 형식

직동 관절의 DH 매개변수 표는 다음과 같은 형식으로 작성된다.

링크	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
$i$	상수	상수	변수	상수

2.2 변수 표시

직동 관절의 관절 변수 $d_i$ 는 표에서 변수임을 명시하거나 초기 값을 기재한다. 실무적으로 $d_i^*$ 등의 표기로 변수임을 표시한다.

2.3 관절 각도의 명시

직동 관절에서는 관절 각도 $\theta_i$ 가 상수이므로, 그 상수 값을 표에 명시해야 한다. 이는 $\theta_i$ 가 변수인 회전 관절과 다른 점이다.

3. 영점 위치의 정의

3.1 홈 위치

직동 관절의 홈 위치는 이동 범위의 특정 기준점(예: 최하단, 중심)으로 정의된다. 홈 위치에서 $d_i = 0$ 이 되도록 영점을 설정한다.

3.2 영점 오프셋

기계적 홈 위치가 DH 영점과 일치하지 않을 수 있다. 이 경우 링크 오프셋 오프셋으로 보정한다.

$d_i^{\text{DH}} = d_i^{\text{physical}} + d_i^{\text{offset}}$

31.19.5.3 오프셋의 식별

직동 관절의 오프셋은 제조 시 측정되거나, 기구학적 보정을 통해 식별된다.

31.19.6 관절 한계

31.19.6.1 기계적 한계

직동 관절은 기계적 구조로 인해 이동 거리의 한계를 가진다. 일반적으로 하한 $d_i^{\min}$ 과 상한 $d_i^{\max}$ 이 정의된다.

$d_i^{\min} \leq d_i \leq d_i^{\max}$

3.3 작동 범위

직동 관절의 작동 범위는 실린더의 길이, 가이드의 길이, 리드 스크류의 길이 등에 의해 제한된다.

3.4 소프트웨어 한계

제어 시스템은 기계적 한계보다 안전 여유를 두어 소프트웨어 한계를 설정한다.

4. 실무적 예시

4.1 직교 좌표 매니퓰레이터

세 직동 관절을 가진 직교 좌표 매니퓰레이터의 DH 매개변수는 다음과 같은 구조를 가진다.

링크	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	$\pi/2$	$d_1^*$	0
2	$\pi/2$	$d_2^*$	$\pi/2$
3	0	$d_3^*$	0

여기서 $d_i^*$ 는 각 축의 이동 변위(관절 변수)이다.

4.2 SCARA 로봇의 수직 축

SCARA 로봇의 수직 축은 직동 관절이며, 수평면에서의 두 회전 관절과 결합되어 사용된다.

4.3 갠트리 로봇

갠트리 로봇은 일반적으로 세 개의 직동 관절로 구성되며, 각각 $x$ , $y$ , $z$ 방향의 이동을 담당한다.

5. 직동 관절의 운동학적 특성

5.1 속도

직동 관절의 관절 속도는 $\dot{d}_i$ 이며, 이는 선속도이다.

5.2 자코비안 열

자코비안의 관절 $i$ 에 대응하는 열은 관절 축 방향의 단위 벡터로 표현된다.

$\mathbf{J}_i = \begin{bmatrix} \hat{z}_{i-1} \\ \vec{0} \end{bmatrix}$

직동 관절의 자코비안 열은 회전 성분이 없으므로, 하단 절반은 영 벡터이다.

31.19.8.3 관절 힘

직동 관절은 이동 축 방향의 힘을 발생시킨다. 관절 힘은 구동기의 설계와 제어에 직접 관련된다.

31.19.9 구동 방식

31.19.9.1 유압 실린더

유압 실린더는 대형 직동 관절에 활용되며, 큰 힘을 발생시킬 수 있다.

31.19.9.2 공압 실린더

공압 실린더는 경량 직동 관절에 활용되며, 응답 속도가 빠르다.

31.19.9.3 전기 구동

볼 스크류, 리니어 모터 등 전기 구동 방식이 정밀 직동 관절에 활용된다.

31.19.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 직동 관절의 DH 매개변수 설정 절차는 직교 좌표 매니퓰레이터, SCARA 로봇, 갠트리 로봇의 기구학 모델링에 직접 활용된다. 또한 회전 관절과 결합된 복합 매니퓰레이터의 학술적 분석에서도 핵심적 역할을 수행한다.

출처

Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.

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작성일: 2026-04-18