31.18 회전 관절(Revolute Joint)의 DH 매개변수 설정

회전 관절(revolute joint)은 로봇 매니퓰레이터에서 가장 광범위하게 활용되는 관절 유형으로, 한 축 주위의 회전만을 허용하는 1자유도 관절이다. 본 절에서는 회전 관절에 대한 DH 매개변수의 체계적 설정 절차, 관절 변수와 상수 매개변수의 구분, 그리고 실무적 예시를 다룬다.

1. 회전 관절의 DH 매개변수 구조

1.1 관절 변수

회전 관절의 경우 관절 각도 $\theta_i$ 가 관절 변수이다. 관절 변수는 시간에 따라 변화하며, 로봇의 구성을 결정한다.

$q_i = \theta_i$

31.18.1.2 상수 매개변수

나머지 세 매개변수인 링크 길이 $a_i$ , 링크 비틀림 $\alpha_i$ , 링크 오프셋 $d_i$ 는 로봇의 기하학적 구조에 의해 결정되는 상수이다.

31.18.1.3 매개변수의 총 개수

자유도 $n$ 의 회전 관절 매니퓰레이터의 경우, 총 $3n$ 개의 상수 매개변수와 $n$ 개의 관절 변수가 존재한다.

31.18.2 설정 절차

31.18.2.1 단계 1: 회전 축 식별

각 회전 관절의 회전 축을 식별하고, 양의 회전 방향을 선택한다. 이 방향이 해당 좌표계의 $z$ 축이 된다.

31.18.2.2 단계 2: 인접 축의 공통 법선

인접한 두 회전 관절 축 사이의 공통 법선을 식별한다. 공통 법선의 방향이 해당 좌표계의 $x$ 축이 된다.

31.18.2.3 단계 3: 링크 길이 측정

두 인접 회전 축 사이의 공통 법선의 길이를 측정하여 링크 길이 $a_i$ 로 설정한다.

31.18.2.4 단계 4: 링크 비틀림 측정

두 인접 회전 축 사이의 각도를 측정하여 링크 비틀림 $\alpha_i$ 로 설정한다.

31.18.2.5 단계 5: 링크 오프셋 측정

해당 좌표계의 $z$ 축 상에서 두 공통 법선 사이의 거리를 측정하여 링크 오프셋 $d_i$ 로 설정한다.

31.18.2.6 단계 6: 관절 각도의 영점

관절 각도의 영점( $\theta_i = 0$ )을 정의한다. 일반적으로 기구학적으로 자연스러운 구성(예: 홈 위치)을 영점으로 선택한다.

31.18.3 회전 관절의 동차 변환 행렬

31.18.3.1 표준 DH

표준 DH에서 회전 관절의 동차 변환 행렬은 관절 변수 $\theta_i$ 의 함수로 표현된다.

${}^{i-1}\mathbf{T}_i(\theta_i) = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

1.2 수정 DH

수정 DH에서 회전 관절의 동차 변환 행렬은 유사하게 $\theta_i$ 의 함수이지만 구조가 다르다.

1.3 관절 변수의 의존성

동차 변환 행렬은 관절 변수 $\theta_i$ 에만 의존하며, 다른 매개변수는 상수이다.

2. 회전 관절의 매개변수 표

2.1 표의 형식

회전 관절의 DH 매개변수 표는 다음과 같은 형식으로 작성된다.

링크	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
$i$	상수	상수	상수	변수

2.2 변수 표시

회전 관절의 관절 변수 $\theta_i$ 는 표에서 변수임을 명시하거나 초기 값(영점)을 기재한다. 실무적으로 $\theta_i^*$ 등의 표기로 변수임을 표시한다.

2.3 상수 값의 기재

상수 매개변수의 값은 로봇의 물리적 측정 또는 설계 문서에서 가져온다.

3. 영점 위치의 정의

3.1 홈 위치

로봇의 홈 위치는 관절 변수가 모두 0인 구성으로 정의된다. 홈 위치에서의 물리적 구성이 DH 매개변수의 영점과 대응된다.

3.2 영점 오프셋

실제 로봇의 기계적 구성이 DH 영점과 일치하지 않을 수 있다. 이 경우 관절 각도 오프셋으로 보정한다.

$\theta_i^{\text{DH}} = \theta_i^{\text{physical}} + \theta_i^{\text{offset}}$

31.18.5.3 오프셋의 식별

관절 각도 오프셋은 제조 시 측정되거나, 기구학적 보정을 통해 식별된다.

31.18.6 관절 한계

31.18.6.1 기계적 한계

회전 관절은 기계적 구조로 인해 회전 각도의 한계를 가진다. 일반적으로 하한 $\theta_i^{\min}$ 과 상한 $\theta_i^{\max}$ 이 정의된다.

$\theta_i^{\min} \leq \theta_i \leq \theta_i^{\max}$

3.3 연속 회전 관절

일부 회전 관절은 기계적 한계 없이 연속 회전 가능하다. 이 경우 $\theta_i \in \mathbb{R}$ 로 정의된다.

3.4 소프트웨어 한계

제어 시스템은 기계적 한계보다 안전 여유를 두어 소프트웨어 한계를 설정한다.

4. 실무적 예시

4.1 2자유도 평면 매니퓰레이터

두 회전 관절을 가진 평면 매니퓰레이터의 DH 매개변수는 다음과 같은 구조를 가진다.

링크	$a_i$	$\alpha_i$	$d_i$	$\theta_i$
1	$a_1$	0	0	$\theta_1^*$
2	$a_2$	0	0	$\theta_2^*$

여기서 $a_1, a_2$ 는 링크의 길이이고, $\theta_1^*, \theta_2^*$ 는 관절 변수이다.

4.2 3자유도 공간 매니퓰레이터

3자유도 공간 매니퓰레이터의 DH 매개변수는 링크 비틀림이 $\pm\pi/2$ 의 값을 가지는 경우가 일반적이다.

4.3 산업용 6자유도 매니퓰레이터

산업용 6자유도 매니퓰레이터는 6개의 회전 관절로 구성되며, 각 링크에 대해 $a_i, \alpha_i, d_i, \theta_i$ 가 설정된다.

5. 회전 관절의 운동학적 특성

5.1 속도

회전 관절의 관절 속도는 $\dot{\theta}_i$ 이며, 이는 각속도이다.

5.2 자코비안 열

자코비안의 관절 $i$ 에 대응하는 열은 관절 축 $\hat{z}_{i-1}$ 과 관절 축으로부터 엔드 이펙터까지의 벡터 $\vec{r}_{i-1,e}$ 의 외적으로 표현된다.

$\mathbf{J}_i = \begin{bmatrix} \hat{z}_{i-1} \times \vec{r}_{i-1,e} \\ \hat{z}_{i-1} \end{bmatrix}$

31.18.8.3 관절 토크

회전 관절은 회전 축 주위의 토크를 발생시킨다. 관절 토크는 구동기의 설계와 제어에 직접 관련된다.

31.18.9 설정의 검증

31.18.9.1 순기구학 검증

설정된 DH 매개변수로 순기구학을 계산하고, 실제 로봇의 엔드 이펙터 위치와 비교하여 검증한다.

31.18.9.2 시각화

DH 매개변수를 활용한 3D 시각화를 통해 좌표계와 링크의 배치가 실제와 일치하는지 확인한다.

31.18.9.3 기구학적 보정

초기 설정의 오차를 식별하고 보정하기 위해 기구학적 보정 절차를 수행한다.

31.18.10 학술적 활용

본 절에서 다룬 회전 관절의 DH 매개변수 설정 절차는 산업용 매니퓰레이터와 협동 로봇의 기구학 모델링에서 가장 빈번히 활용된다. 학술적·실무적 로봇 설계와 시뮬레이션의 기반이 된다.

출처

Denavit, J. and Hartenberg, R. S., “A kinematic notation for lower-pair mechanisms based on matrices”, ASME Journal of Applied Mechanics, Vol. 22, pp. 215–221, 1955.
Spong, M. W., Hutchinson, S., and Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control, 2nd edition, Wiley, 2020.
Craig, J. J., Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 4th edition, Pearson, 2018.
Siciliano, B., Sciavicco, L., Villani, L., and Oriolo, G., Robotics: Modelling, Planning and Control, Springer, 2009.
Paul, R. P., Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control, MIT Press, 1981.

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작성일: 2026-04-18